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浙江省宁波市子陵教育集团2025-2026学年八年级（上）
期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
1.在回收、不可回收、绿色食品、节能四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.已知，则下列不等式中，正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图，点、、、共线，，，添加一个条件，不能判断≌的是( )
A. B.
C. D.
4.若点关于原点对称的点在第二象限，则的取值范围为( )
A. B. C. D. 或
5.我国是最早了解勾股定理的国家之一，在周髀算经中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”下列四幅图中，不能证明勾股定理的是( )
A. B. C. D.
6.如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是( )
A.
B.
C.
D.
7.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
8.已知关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.在中，边，的垂直平分线、相交于点，若，则的度数是．
A. B.
C. D.
10.如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题： ．
12.不等式的正整数解为 ．
13.如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且若与的距离为，与的距离为，则的面积为 ．
14.如图，在直角中，，，，按以下步骤作图：
以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
分别以点，为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点；
连接交与点；
则 ．
15.在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形，，的面积依次为，，，则正方形的面积是 ．
16.如图，已知在中，，点，分别在边，上，连接将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点，分别落在点处，且边与在同一直线上，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则 ．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解不等式：，并把解表示在数轴上；
解不等式组：．
18.本小题分
如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上．
作关于直线对称的图形；
若网格中最小正方形的边长为，求的面积；
在直线上找一点，则的最小值为______．
19.本小题分
如图，已知，，与交于，．
求证：
；
是等腰三角形．
20.本小题分
如图，已知点是等边内一点，连接，，，为外一点，且，连接，，．
求证：．
若，，，求的度数．
21.本小题分
如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且．
求证：；
若，求的度数；
若，，求证：平分．
22.本小题分
年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表：
款式 成本元件 售价元件
甲
乙
根据以上信息，解答下列问题：
列方程组解应用题
若该厂投入元来生产甲、乙两款服装共件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？
工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎工厂计划生产甲、乙两款服装共件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的倍假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？某电器
23.本小分
在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”如图中的，两点即为“等距点”．
已知点的坐标为，在点，，中，为点的“等距点”的是 ；
若，两点为“等距点”，求的值．
在的条件下，在备用图中画出这些“等距点”，并求出所围成的凸多边形的面积．
24.本小题分
如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可以证明≌，我们将这个模型称为“一线三直角”接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：
如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在第二象限，点坐标为，的坐标为，求点的坐标；
如图，在平面直角坐标系中，等腰，，，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标；
如图，等腰，，，当点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点，请直接写出，，之间的关系．答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、、选项中的图形均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，不符合题意；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形，符合题意；
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，，，
四个选项中，只有选项的不等式正确，符合题意，，，不符合题意；
故选：．
3.【答案】
【解析】根据全等三角形的判定定理，即可一一判定．
【详解】
解：在与中，已知，，，
A.由可得，所以添加条件，根据可证≌，故本选项不符合题意；
B.添加条件，根据可证≌，故本选项不符合题意；
C.添加条件，不能证明≌，故本选项符合题意；
D.由可得，所以添加条件，根据可证≌，故本选项不符合题意；
故选：．
4.【答案】
【解析】解：点关于原点的对称点为，
在第二象限，
，
解得，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：、梯形的面积为：，
也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，
，
，故A选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：，
也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
，故B选项能证明勾股定理；
C、大正方形的面积为：；
也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：，
，
选项不能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：；
也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
，
，故D选项能证明勾股定理；
故选：．
6.【答案】
【解析】解：在上截取，连接，如图所示：
平分，
，
，
≌，
，
，
当、、在同一直线上，且时，最小，即最小，过点作于点，交于点，如图所示：
，，
，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】根据，可得，，根据三角形的外角性质可知据三角形的外角性质即可求出数，进而求出的度数．
【详解】，
，，
设，
，
，
，
，
即，
解得：，
．
故答案为．
8.【答案】
【解析】先分别求出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后根据整数解的个数确定的范围即可．
【详解】解：
解不等式得：
解不等式得：，
不等式组的解集是，
原不等式组的整数解有个为，
．
故答案为．
9.【答案】
【解析】连接、，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】解：连接、，
边，的垂直平分线、相交于点，
，，
，，，
，，
，
解得，，
，
，
故选：．
10.【答案】
【详解】解如图，分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、，此时周长取最小值．
，，；
，
，
在中，，，
；
在和中，，，，
≌，
，
同理，
．
故选：．
11.【答案】两直线平行，内错角相等
故答案为：两直线平行，内错角相等．
12.【答案】，
【解析】本题考查一元一次不等式的整数解，解不等式求出的范围，再取符合条件的正整数即可．
【详解】解：，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得：，
系数化为，得：，
所以，不等式的正整数解为，．
13.【答案】
【解析】【详解】过点作，交于，交于，如图，
，，
，
，，
又，
，
，
在和中，
≌，
，，
在中，，
，
．
故答案是．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，得，
，，，
，
，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：由图可知，，，
，正方形，，的面积依次为，，，
正方形的面积，
正方形的面积．
故答案为：
16.【答案】或
【详解】解：由折叠性质得，，，
当时，设，
得，
，
，
在中，，
，
；
当时，
，
是的中点，
，
，
设，则，
，
，
，
，
当或时，是以为腰的等腰三角形．
故答案为：或．
17.【答案】，；
不等式组的解集为
【解析】，
，
，
，
数轴表示如下：
；
解不等式得，，
解不等式得，，
所以不等式组的解集为．
先去括号移项合并同类项，化系数为，再用数轴表示即可；
先求出两个不等式的解集，再求其公共解；
本题主要考查了解一元一次不等式组、解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
18.【答案】如图，即为所求．
的面积为．
．
【解析】解：如图，即为所求．
的面积为．
连接，交直线于点，连接，
此时，为最小值．
由勾股定理得，，
的最小值为．
故答案为：．
19.【答案】【小题】
，，
与是直角三角形，
在和中，，，，
≌
．
【小题】
≌，
，
．
是等腰三角形．

20.【答案】【小题】
证明：是等边三角形，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
在与中，
；
【小题】
解：，
，，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
．

21.【答案】【小题】
证明：，
，
在和中，
；
【小题】
解：，，
，
，
，
，
，
；
【小题】
证明：如图，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
．，
平分．

22.【答案】可以生产甲款服装件，乙款服装件；
生产甲款服装件，乙款服装件时，能获得最大利润
【解析】设生产甲款服装件，生产乙款服装件，
根据生产甲、乙两款服装共件，可得，
又投入元且资金刚好用完，
，
将变形为，代入中，
，
，
，
，
把代入，
得，
可以生产甲款服装件，乙款服装件；
设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，
甲款服装的数量至少是乙款服装的倍，
，
，
，
，
，
为服装件数，
取整数，，
甲的利润为元件，乙的利润为元件，
总利润，
，
总利润随的增大而减小，
当时，有最大值，此时，
生产甲款服装件，乙款服装件时，能获得最大利润．
23.【答案】【小题】
，
【小题】
，两点为“等距点”，
当为最大值时，
或，
解得：舍去或．
当为最大值时，
或，
解得：或舍去，
或；
【小题】
如图，由知，这些“等距点”分别为，，，，
这些“等距点”所围成的凸多边形的面积为．

24.【答案】；
；

【解析】过点作交直线于点，如图，
，，，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
点坐标为，的坐标为，
，，
，
则点的坐标为；
过点作交于点，如图，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
则，
那么，点的坐标；
；理由如下：
如图，作轴于点，过点作交于点，
则，，
点在轴正半轴上运动，点在第四象限，
，，，
同理可证，≌，
，，
，
，
则．

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