资源简介

福州恒一高级中学、福州中加学校、匠心恒一学校
2026届高三年级第一学段质量检测（A6）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|log x≤2,x∈N}, B={x|=14≤0},则A∩B=(
A. {x|-1≤x≤4} B. {x|02.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1，1)，则
A. 2i B. i C. - i D. - 2i
3. “a>b>0”是 的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量 则m=( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 0
5. 已知函数f(x)是定义在R 上的周期为2 的奇函数, 当0A. - 2 C. D. 2
6.已知向量 其中θ∈R, 则|a-b|的最大值是 ( )
A. 4 B. 2 C. 3 D. 1
7.已知函数 若方程f(x)=1 在区间上 0,2π)恰有3个实根，则ω的取值范围是 ()
A. [1,4/3) B. (1,4/3] C. ( ,1]
8.已知函数 若 g(x)=f(x)-ax+a-1有三个不等零点，则实数a的取值范围是 ()
A. ( ,4) B.(e,3) C. (e,4) D. ( ,3)
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得.0分.
9. 已知函数 f(x)= Asin(ωx+φ) (其中A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示.则下列结论正确的是()
A.函数 f(x)的图象关于直线 对称
B.函数 f(x)的图象关于点( 对称
C.函数 f(x)在区间 上单调递增
D. y=1与图象 的所有交点的横坐标之和为
10. 已知α, β为锐角, 则( )
11.定义区间[0，1]上的函数f(x)，规定其具有以下性质：①任意( 1,f(x )≤f(x ); ②f(x)=2f(); ③f(x)+f(1-x)=1,则关于该函数下列说法正确的是()
A. f(x)在[0,1]上单调递增 B. f(x)的图象关于点 对称
C, 当 时 D. 当 时，
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 则
13.已知函数 相邻两条对称轴之间的距离为 , 且: , 则f(x)在[0,2π]上的零点个数为 .
14. 已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若 则 的 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.已知等差数列{an}满足
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列 是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{b }的前n项和.
16. 如图1, 在直角梯形ABCD 中, AB⊥AD,AB∥DC,AB=2,AD=8,DC=5,E,F分别是AD,BC的中点,将四边形ABFE 沿EF 折起,如图2,连接AD,BC,BE.
(1)求证: EF⊥AD;
(2)若Q为线段BE 上一动点, BF⊥ED, 求CQ的最小值.
17. 在△ABC中, a,b,c分别是角 A,B,C所对的边, 且满足
(1)求∠BAC 的大小;
(2)点D 是边 BC 上一点,且满足
①求sinBsinC 的值;
②求b/t的值.
18.已知函数
(1)若a=1, 求f(x)的图象在x=1处的切线方程;
(2)若f(x)恰有两个极值点x
①求a 的取值范围；
②证明：
19.数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数y=Asinωx.我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音。复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动。已知刻画某声音的函数为：f(x)=
(1)求函数 f(x)在(0,π)上的单调区间;
(2)函数g(x)=f(x)+2sinx-mx, 若g(x)在(0,π)上有三个不同的极值点 证明： 为定值。
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B B D A C B C BCD ABC BCD
1. D
【详解】由 可得解得-1≤x<4, 所以B ={x|-1≤x<4},又A ={x|log x≤2,x∈N}={x|log x≤log 4,x∈N}={x|02. B
【分析】利用复数的坐标表示，共轭复数的定义以及复数除法运算计算可得答案.
【详解】由题意可知, z=-1+i, 则z=-1-i, 所以
故选：B
3. B
【详解】因为a>b>0,所以 反之a=-2,b=1满足( 但是不满足a>b>0,所以“a>b>0”是‘ ’的充分不必要条件.故选：B.
4. D
【详解】由α/β可得1×m=0×2, 解得m=0.
故选: D.
5. A
【详解】因为函数f(x)是定义在R的周期为2的奇函数,所以则有f(-1)=f(1)且f(-1)=-f(1), 即f(1)=-f(1), 则 则 故选A.
6. C
【分析】先计算向量差的坐标，再通过模长公式得出模长的表达式，利用三角函数辅助角公式化简，最后根据正弦函数的性质求出最大值。
【详解】
当且仅当 时取等号， |的最大值是3.故选：C.
7. B
【详解】若方程 则 即 或2kπ+ 当x∈(0, 2π)时,( 则 的可能取值为 因为原方程在区间(0，2π)上恰有3个实根，所以 解得
8. C
【详解】若 g(x)=f(x)-ax+a-1有三个不等零点, 等价于f(x)-ax+a-1=0有三个不等的实数根，当x<0时， 由f(x)-ax+a-1=0得. a(x-1), 即 令 由复合函数的单调性可得, 当x<0时, φ(x)单调递增, 故φ(x)<φ(0)=4, 故当a≥4时,方程 无实根；当a<4时，方程( 在x∈(-∞,0)上有一个实根；当x≥0时， 由f(x)-ax+a-1=0得 当a=0时，显然方程无实根；当a≠0时， 令 则 0, 当00, h(x)单调递增; 当x>2时, h′(x)<0, h(x)单调递减;即当x =2时,h(x)取得极大值 当01时, h(x)>0,
作出图像如下：
要使f(x)-ax+a-1=0有三个不等的实数根,
需满足：在x∈(-∞，0)上有一个实数根，在[0，+∞)上有两个实数根，
由图可知 与h(x)有两个交点时，
综上, e故选: C.
9. BCD
【详解】由题意， 所以 又 φ)=-2, 可得 又|φ|<π, 所以 所以
因为 所以 不是函数的对称轴，A错；
所以 是对称中心，B正确；
时， 所以f(x)在 上单调递增，C正确；
所以 或 即x = kπ或 又 所以 它们的和为 ,D 正确.
故选: BCD
10. ABC
【详解】因为α，β为锐角，所以 所以 所以 cos(α-β)>0, 因为 所以 因为 所以
选项 所以选项A 正确；
选项B < 所以选项B正确；
选项CD：因为 所以 所以 所以C 正确，D错误.
故选: ABC.
11. BCD
【详解】A:由 ,令x=0,可得f(0)=2f(0),即f(0)=0,由f(x)+f(1-x)=1,令x=0,可得f(0)+f(1)=1,即f(1)=1,由 ,令x=1,可得
即 由f(x)+f(1-x)=1,令 可得 即
因为 可知f(x)在[0，1]上不是单调递增，故A 错误；
B: 由f(x)+f(1-x)=1可知: f(x)的图象关于点( 对称，故B正确；
C：且任意( ，注意到 可知当 时， 由 令 可得 即 故C 正确；
D: 由f(x)+f(1-x)=1,令 可得 即
且任意 可知当 时，
又因为当 时， 可知当 时， 所以 故D正确；故选: BCD.
【点睛】思路点睛：对于含有x，y，的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有x，y双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.
【分析】根据二倍角公式和诱导公式，对已知条件进行变换，进而求出结果.
【详解】根据二倍角公式，由 得
即
根据诱导公式
所以 故答案为：
13. 6【详解】由函数f(x)相邻两条对称轴之间的距离为π/3，得 故
又因为 即
所以 或 所以 或
2kπ,k∈Z,
因为 所以
故
因为x∈[0,2π],故 结合正弦函数的图象可知，
函数在[0，2π]上的零点个数为6.
故答案为：6.
14. 2
【分析】正弦定理边角转换，将原式转化为关于角的式子，根据已知信息求出角B的取值范围，利用角的关系，将变量都转化为角B，根据角B的取值范围求出原式的取值范围.
【详解】在锐角△ABC中，若
则 有
法一：由余弦定理知， 所以
所以
由正弦定理得
又 所以 所以
所以 的取值范围为[2, 所以 的最小值为2.
法二：由正弦定理知， 又 从而 又
设函数 由双勾函数性质可知，f(x)在[1，2)上单调递增，故 所以 的取值范围为
所以 的最小值为2.
故答案为：2
15. (1) an=n
【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d，因为
则 即 解得
所！以 则 数列{an}的通项公式为：
(2)因为数列 是首项为1，公比为2 的等比数列，则(
又因为 所以 设数列{b }的前n项和为S ，
则
所以数列{b }的前n项和为
16.【详解】(1) ∵E,F分别是AD,BC的中点, AB∥DC, ∴EF∥AB.
∵AB⊥AD, ∴EF⊥AE,EF⊥DE.∵AE∩DE =E, AE 平面AED, DE 平面AED∴EF⊥平面AED.∵AD 平面AED, ∴EF⊥AD.
(2) 因为EF⊥DE, BF⊥DE, EF与BF相交于点F, 且EF 平面ABFE, BF 平面ABFE.所以DE⊥平面ABFE.因为AE 平面ABFE, 所以DE⊥AE.
以E为原点，ED，EF，EA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.
则E(0,0,0), B(0,2,4), C(4,5,0).设Q(0,2t,4t),t∈[0,1],
所以CQ的最小值为6.
17. (1) (2)① ; ②
【详解】(1) 因为 由正弦定理可得： 由于B∈(0,π), 则sinB>0, 所以2sinC-sinB =2sinAcosB,由于在△ABC中, sinC = sin[π-(A+B)]= sin(A+B)= sinAcosB+cosAsinB,代入上式化简得: 2cosAsinB = sinB, 则
由于A∈(0,π), 所以
(2) ①由于 则 在△ADC中，由正弦定理可得 在△ADB中，由正弦定理可得 所以 由于满足 所以 ②法1.由于在△ABC中, sinC = sin(A+B),所以 即 所以 所以 由于 则 所以则 或 π/ ,解得 或 当 时， 所以 当 时, 2B =π, 则 sin2B = 0, 与已知矛盾.综上，
法2.由①知 又由(1)知
且 cos(B+C)= cosBcosC-sinBsinC, 在△ABC中, cos(B +C) =-cosA,
又 故 又 所以 所以
18. (1)4x-2y-3=0(2)①0【详解】(1) 当a=1时,
则 则f(x)的图象在x =1处的切线方程为 即4x-2y-3=0.
令 由f(x)恰有两个极值点 则 有两个不同实数根x ，x ，且( 则有 即00,x∈(x ,4)时, h'(x)<0,即h(x)在(0,x )上单调递增, 在(x ,4)上单调递减, 则 由对勾函数性质可知， 在(1，2)上单调递增，由 则 即 即a+ lna-alna-2<0,即可得证：
19. (1)f(x)的增区间为: (0,π/4)和( 减区间为： 和
(2)证明见解析
(1) 由于 所以f′(x)= cosx+cos2x+cos3x=2cosxcos2x+cos2x=cos2x(2cosx+1),当x∈(0,π), 令f'(x)=0,解得 则令f'(x)>0,解得： 或 令f'(x)<0, 解得: 或
所以f(x)的增区间为：( 和 减区间为： 和
(3)证明：由于
所以 由于(
1 所以g'(x)=
r+1),
因为g(x)在(0，π)上有三个不同的极值点
所以g'(x)=0在(0，π)上有三个不同的根，即 在(0,π)上有三
个不同的根, 令t= cosx(x∈(0,π)时, t∈(-1,1)且t≠0, 因为: 方程转化为
设方程的根为 则
化简可得：
则 即 即
即 所以
所以 为定值.

展开更多......

收起↑