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2025-2026学年广东省佛山市九江中学高二（上）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，在斜率为的直线l上，则( )
A. B. C. D.
2.气象台预报“本市未来三天降雨的概率都为”，现采用随机模拟的方法估计未来三天降雨的情况：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9，0表示不降雨；再以每三个随机数为一组，代表三天降雨的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 815 458 569 683
431 257 393 027 556 481 730 113 537 989
据此估计，未来三天恰有一天降雨的概率为( )
A. B. C. D.
3.一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，n个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球．若取出的2个球都是红球的概率为，则n的值为( )
A. 4 B. 5 C. 12 D. 15
4.已知A，B，C为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且，，则( )
A. B. C. D.
5.先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b，4能够构成等腰三角形的概率是( )
A. B. C. D.
6.若点关于平面Oxz和x轴对称的点分别为，，则( )
A. B. C. 1 D. 9
7.在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点且一个方向向量为的直线l方程为，经过点且法向量为的平面方程为，已知：在空间直角坐标系Oxyz中，经过点的直线l方程为，经过点P的平面的方程为，则直线l与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.直三棱柱，，点，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件“第一次正面朝上”，事件“第二次反面朝上”，则( )
A. A与B互斥 B. A与B相互独立 C. A与B相等 D.
10.已知三条直线，，能构成三角形，则实数m可能为( )
A. B. C. D. 6
11.在四棱锥中，，，，，，则下列结论正确的有( )
A. 四边形ABCD为正方形
B. 四边形ABCD的面积为
C. 在上的投影向量的坐标为
D. 点P到平面ABCD的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两条平行直线与间的距离是______.
13.某电路由A，B，C三种部件组成如图，若在某段时间内A，B，C正常工作的概率分别为，则该电路正常运行的概率为______.
14.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，则当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的余弦值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知的顶点，边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为
求顶点C的坐标；
求直线BC的方程.
16.本小题15分
在平行六面体中，，，，E为与的交点.
用向量，，表示；
求线段AE的长；
求异面直线AE与BD所成的角.
17.本小题15分
如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，F为棱的中点.
Ⅰ求证：；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值.
18.本小题17分
新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分；
学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了不选和错误判断的概率如下表：
选项 作出正确判断 判断不了不选 作出错误判断
A
B
C
D
若此题的正确选项为求学生甲答此题得6分的概率；
某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ随机选一个选项；Ⅱ随机选两个选项.
①若，且学生乙选择方案Ⅰ，求学生乙本题得0分的概率.
②若，且学生乙选择方案Ⅱ，求学生乙本题得4分的概率.
19.本小题17分
如图，在正方体中，，
当取得最小值时，求与的值.
设BC与平面所成的角为
①若，求的值；
②证明：存在常数t，使得为定值，并求该定值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：点，在斜率为的直线l上，
则，
故
故选：
根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．
本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：20组随机数中恰有1天下雨的随机数为：925，815，683，257，027，481，730，537，共8个，
故未来三天恰有一天降雨的概率为
故选：
先求出20组随机数中恰有1天下雨的随机数，再结合频率与频数的关系，即可求解．
本题主要考查模拟方法估计概率，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，n个绿球，
从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是，
则，解得，负值舍去，
故选：
利用古典概型概率计算公式列出方程，能求出n的值．
本题考查根据古典概型的概率求参数，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查对立事件的概率公式，互斥事件的概率加法公式，属于基础题．
根据对立事件和互斥事件的概率公式求解即可．
【解答】
解：
因为B与C互为对立事件，且，
所以，
又因为A与B是互斥事件，
所以
故选：
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，易得基本事件总数是36，
则a，b，4能够构成等腰三角形的情况有：
当时，，有1种情况；
当时，，有1种情况；
当时，或，有2种情况；
当时，，2，3，4，5，6，有6种情况；
当时，或，有2种情况；
当时，或，有2种情况．
故要求的概率
故选：
根据题意，利用乘法原理求出基本事件总数，按照分类讨论的方法求出a，b，4能够构成等腰三角形的基本事件数，利用古典概率公式求解．
本题考查古典概型的计算，涉及列举法的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：点关于平面Oxz对称的点为，
点关于x轴对称的点为，
所以，，故
故选：
根据已知条件，结合空间点对称的性质，即可求解．
本题主要考查空间点对称的性质，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：经过点的直线l方程为：，
即，故直线l的一个方向向量为，
又经过点P的平面的方程为，即，
故的一个法向量为，
设直线l与平面所成的角为，
则，
故选：
根据题意可得直线的方向向量与平面的法向量，进而可得直线l与平面所成角的正弦值．
本题考查平面的法向量的求法及直线的方向向量的求法，用向量夹角的余弦值求直线与平面的夹角的正弦值，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：直三棱柱，，
以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
点，分别是，的中点，，
设，
则，，，，
，，
设与所成角为，
则
与所成角的余弦值为
故选：
以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
9.【答案】BD
【解析】解：根据题意，抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则正正，正反，反正，反反，
正正，正反，正反，反反，正反，
则，，
则有，A与B相互独立，
分析选项：BD正确．
故选：
根据题意，由古典概型公式求出、和，分析可得A与B相互独立，分析选项可得答案．
本题考查相互独立事件的判断，涉及互斥事件的定义，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：根据题意，若三条直线，，不能构成三角形，
分3种情况讨论：
①与平行或重合，则，解得；
②与平行或重合，则，解得；
③三条直线交于同一点，由，解得，
代入，解得
综合可得：m的值为、、
故选：
对三条直线的位置关系分三种情况分别讨论，即可得解．
本题考查直线平行的判断以及直线的交点，涉及直线的一般式方程，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查空间向量数量积的计算，空间向量的投影向量，点面距离的向量求法，属于中档题．
根据题意，判断，是否相等，，是否垂直，即可判断A；求出，
再根据即可判断B；根据投影向量的定义即可判断C；根据点到平面的距离的向量求法即可判断
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，，，，
则，，，
则，但，
所以且，但AB与AD不垂直，
所以四边形ABCD为平行四边形不是矩形，故A错误；
对于B，，
所以，
所以四边形ABCD的面积为，故B正确；
对于C，，
则在上的投影向量为，故C正确；
对于D，设平面ABCD的法向量为，且，
则有，令，可得，，故可取，
所以点P到平面ABCD的距离为，故D正确．
故选：
12.【答案】1
【解析】解：与，
则，解得，
故，即，
所求两平行直线距离的距离为
故答案为：
结合直线平行的性质，求出a，再结合平行直线间的距离公式，即可求解．
本题主要考查平行直线间的距离公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：要使电路正常运行，则需要A正常，两个B至少有一个正常，C正常，
所以电路正常运行的概率为
故答案为：
要使电路正常，则需要A正常，两个B至少有一个正常，C正常，利用的概率公式求概率即可．
本题主要考查了相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：以B原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，由，
得，
则，
当时，MN取得最小值，此时，M，N为中点，，
取MN的中点G，连接AG，BG，则，
由，，得，，
所以是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角，
而，，
因此，
所以平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是
故答案为：
建立空间直角坐标系，写出点的坐标，运用两点间的距离公式可求得MN，借助二次函数，求出MN最小时对应的a的值，然后找出二面角的平面角，借助向量夹角公式计算求解即可．
本题考查向量法的应用，属于中档题．
15.【答案】解：已知的顶点，
边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为，
则，C在直线CM上，
设，
则，解得，
即点C坐标为；
设，
则，解得，即，
所以直线BC的方程为，
即
【解析】根据直线垂直和点在线上，设坐标，联立方程组即可求解；
结合先求H点坐标可得H与A重合，再利用AB中点M在直线上，即可求出B点坐标，进而得出直线BC的方程．
本题考查了直线方程的计算，属于中档题．
16.【答案】解：在平行六面体中，，
，，E为与的交点，
由空间向量线性运算法则得：
由向量数量积性质得：
，
线段AE的长为
由向量数量积性质得：
，
，
异面直线AE与BD所成的角为
【解析】结合题意根据向量加法的三角形法则和平行四边形法则即可求解；
由的结论，结合向量的数量积公式及模长定义进行运算即可．
利用向量的减法运算及数量积公式运算即可求解．
本题考查向量加法的三角形法则和平行四边形法则、向量的数量积公式及模长定义、向量的减法运算及数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】Ⅰ证明：由题意知，，
因为F是棱的中点，所以，
由三棱柱的性质知，，
因为平面ABC，平面平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
因为平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以
Ⅱ解：以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
取，则，所以，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，，
故平面与平面夹角的余弦值为
【解析】Ⅰ先证平面平面，由等腰三角形的性质知，结合面面垂直的性质可得平面，从而得证；
Ⅱ以B为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面所成角即可．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握面面垂直的判定与性质定理，利用向量法求平面与平面所成角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】；
①；②
【解析】根据题意，设事件M表示“学生答此题得6分”，
即对于选项A、C作出正确的判断，且对于选项B、D作出正确的判断或判断不了，
所以；
①根据题意，记E为“学生乙本题得0分”，
对于方案I，若正确答案是两个选项，选错的概率是，若正确答案是三个选项，选错的概率是，
则；
②记事件Y为“学生乙本题得4分”，
对于方案Ⅱ：应该正确答案是三个选项里选对两题，假设ABC为正确项．
故而所有可能为：AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种，满足条件的有AB，AC，BC，有3种．
则
根据题意利用独立事件的乘法公式即可求解；
对于①，结合答案是两个选项或三个选项，利用古典概型即可求解；
对于②，应为正确答案是三个里面选对两道，假设正确答案，写出所有可能，利用古典概型即可求解．
本题考查相互独立事件的概率计算，涉及古典概型的计算，属于基础题．
19.【答案】解：以DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，
即，
，
当时，取得最小值，
此时，
，
；
①，
设平面的法向量为，
则，则，即，
令，得\，
，
，
，
，
又，
；
②证明：由①知，
则，，
，
存在常数，使得为定值，
且该定值为
【解析】先建立空间直角坐标系，得到点的坐标以及向量的坐标，即可求出两个向量夹角的余弦值；
①根据直线与平面夹角的正弦值就是该直线方向向量与该平面法向量夹角的余弦值可得到结果；②根据①得到的值，化简即可得到结果．
本题考查向量法在立体几何中的应用，属于中档题．

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