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绝密★启用前
桃都中学第一次月考检测
八年级数学 试题
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分。在每小题给出的选项中，只有一
项是符合题目要求的。
3 4 2+1 7 1
1.代数式 ， ， + ， ， ， 中是分式的有( )
2 2 8
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.若 、 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是( )
+ 2
A. B. C. D.
+1 +1 + 3
2 +3 5
3.关于 的方 程 = 的根为 = 2，则 应取值( ) 4
A. 1 B. 3 C. 2 D. 3
4.暑假期间，小明一家计划自驾去离宁波1200 远的某风景区游玩.途中…设原计划以
1200 1200
每小时 的速度开往该景区，可得方程 = 1，根据此情景，题中“…”表
+15
示的缺失条件应为( )
A. 实际每小时比原计划快15 ，结果提前1小时到达
B. 实际每小时比原计划慢15 ，结果提前1小时到达
C. 实际每小时比原计划快15 ，结果延迟1小时到达
D. 实际每小时比原计划慢15 ，结果延迟1小时到达
5.我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等
式.例如由图1可以得到 2 + 3 + 2 2 = ( + 2 )( + ).若已知 2 + 2 + 2 = 45，
+ + = 38，由图2所表示的数学等式，则 + + 的值为( )
A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
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1 1 1 1 1 5
6.对于正数 规定 ( ) = ，例如： (3) = = ， ( ) = = ，则 (2024) +
1+ 1+3 4 5 1 1+ 6
5
1 1 1 1
(2023) + + (2) + (1) + ( ) + ( ) + + ( ) + ( )的值为( )
2 3 2023 2024
1 1
A. 2023 B. 2024 C. 2024 D. 2023
2 2
7.下列说法正确的是( )
2( + ) 2
A. 代数式 化简后得
+3( + ) +3

B. 分式 中 ， 都扩大3倍，分式的值不变
3 2
2 9
C. 分式 的值为0，则 的值为±3
3
+1
D. 分式 2 是最简分式 +1
12
8.“若关于 的方程 = + 1无解，求 的值.”尖尖和丹丹的做法如下：
3 9 3 9
丹丹：
尖尖： 去分母，得 = 12 + 3 9，
去分母，得 = 12 + 3 9， 移项、合并同类项，得( 3) = 3，
移项，得 3 = 12 9， 3
解得 = ，
合并同类项，得(
3
3) = 3，
∵原方程无解，
∵原方程无解，
∴ 为增根，
∴ 3 = 0，
∴ 3 9 = 0，解得 = 3，
∴ = 3 ．
3
∴ = 3，解得 = 4 3
下列说法正确的是( )
A. 尖尖对，丹丹错 B. 尖尖错，丹丹对
C. 两人的答案合 起来也不完整 D. 两人的答案合起来才完整
9.小明家1至6 月份的用水量统计如图所示，关于这组数
据，下列说法中错误的是( )
．．
A. 众数是6吨
B. 平均数是5吨
C. 中位数5.5吨
D. 方差是1.2
( 1)( +2)
10.若分式 2 可以进行约分化简，则该
分式中的 不可以是( )
( )
A. 1 B. C. D. 4
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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11.若一组数据 1， 2， 3，…， 的平均数为5，方差为4，则对于数据 1 3， 2 3，
3 3，…， 3，平均数和方差分别是( )
A. 2，1 B. 2，4 C. 5，4 D. 5，1
1 1 1
12.照相机成像应用了一个重 要原理，用公式 = + ( ≠ )表示，其中 表示照相机

镜头的焦距， 表示物体到镜头的距离， 表示胶片(像)到镜头的距离．已知 ， ，则
=( )

A. B. C. D.

二、填空题：本题共 5 小 题，每小题 4 分，共 20 分。
2 2
13.若分式方程 = 1+ 有 增根，则 = ______．
4 4
2 7
14.若关于 的方程 = 1的解为非负整数，则所有符合条件的正整数 的和为
3 3
______．

15.已知 为整 式，若计算 2 2 的结果为 ，则 = ______． + +
2 2+
16.对于任意实数 ， ，定义关于“※”的一种运算如下： ※ = ，例如：5※2 =
3
2×52+2 26
= ， 若4※ = 3， = ______．3×2 3
1 1 2 14 2
17.已知 = 3，则 =______．
2
三、解答题：本题共 7 小题，共 82 分。解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤。
18.(本小题8分)
把下列各式因式分解：
(1) 3 + 2 2 + ；
(2)( 2 2 )2 (1 2 )2．
19.(本小题8分)
解方程：
2 3
(1) = ；
+2
4
(2) 1 = 2 ． 2 4 +4
20.(本小题16分)
计算：
(1)化简下列各式：
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2 2 2 3 ①( ) ÷ ( )2 ( )3；
2 3

② 2 2 ÷ (1 )；
+
2 4 2 4 +1
(2)化简求值：( + 1) ÷ ，再从 1 ≤ < 2中选一个你认为合适的整数
1 1
值，对式子 进行代入求值．
21.(本小题12分)
在某购物电商平 台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货
速度”“快递服务 ”等方面给予商家分值评价(分值为1分、2分、3分、4分和5分).该平
台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款 恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商
家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值
进行统计分析．
【数据描述】
如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答 问题(1)(2)．
(1)平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
(2)求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角 的度数．
【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答问题(3)(4)．
统计量
商家
中位数众数平均数方差
甲商家 3 3.5 1.05

乙商家 4 1.24

(3)直接写出表中 和 的值，并求 的值；
(4)小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款 恤 衫.你认为小
亮应该选择哪一家 ？说明你的观点．
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22.(本小题14分)
阅读下列解题过程：
1 2
已知 2 = ，求 的值． +1 3 4+1
1 2+1 1
解：由 2 = ，知 ≠ 0，所以 = 3，即 + = 3． +1 3
4 +1 1 1
∴ = 2 + = ( + )2 2 = 32 2 = 7
2 2
2 1
∴ 4 的值为7的倒数，即 ．
+1 7
以上解法中先 将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题
的这种解法叫做“ 倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
1 2
(1)已知 2 = ， 求 4 的值． +1 2 +1
1 2
(2)已知 2 = ，求 4 2 的值． +1 7 +1
4 4
(3)已知 = 2， = ， = ，求 的值．
+ + 3 + 3 + +
23.(本小题12分)
中国是最早发现并利用茶的国家， 形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以
“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元 购进了
种茶叶若干盒，用8400元购进 种茶叶若干盒，所购 种茶叶比 种茶叶多10盒，且 种
茶叶每盒进价是 种茶叶每盒进价的1.4倍．
(1) ， 两种茶叶每盒进价分别为多少元？
(2)第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进 ， 两种茶叶共100盒(进价不变)， 种茶
叶的售价是每盒300元， 种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝
国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元(不
考虑其他因素)，求本次 购进 ， 两种茶叶各多少盒？
24.(本小题12分)
阅读下列材料，并解答相应问题：
对于二次三项式 2 + 2 + 2这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成( + )2的形
式，但是对于二次三项式 2 + 2 3 2，就不能直接应用完全平方式，我们可以在二次
三项式 2 + 2 3 2中先加一项 2，使其一部分成为完全平方式，再减去 2项，使整
个式子的值不变，于是有下面的因式分解：
2 + 2 3 2
= 2 + 2 + 2 2 3 2
= ( + )2 4 2
= ( + )2 (2 )2
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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= ( + 3 )( )
仔细领会上述的解决问题的思路、方法，认真分析完全平方式的构造，结合自己对完全
平方式的理解，解决下列问题：
(1)因式分解：
① 2 4 + 3；
②( 2 + 2 )2 2( 2 + 2 ) 3．
(2)拓展：因式分解： 4 + 4．
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