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2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试卷
（总分120分 时间120分钟）
一、单选题（本大题共10小，每小题3分，共30分）
1．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于x的一元二次方程有一个非零根b，则的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．
6．如图，绕点A按顺时针方向旋转后得到，且点D恰好是边的中点，交于F，则的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
7．已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（ ）
A．5 B．3 C． D．
8．抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
9．某文具店将进价为12元的口风琴按照每个20元出售时，平均每天能够售出8个．若这种商品每件降低元能多售出4个．若该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，那么每个口风琴的售价应该是多少元，设售价定为每件x元，下列列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，与x轴交于两点，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为_____．
12．在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点旋转，得到点B，则点B的坐标是_____．
13．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_____名同学．
14．点在以y轴为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于_____．
15．如图，在四边形中，，则的长为_____．
三、解答题（共9题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（6分）解下列方程：
（1） （2）．
17．（6分）已知：关于x的方程．
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若该方程的一个根为3，求m的值及该方程的另一根．
18．（6分）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题：
（1）分别写出点A、B两点的坐标并作出以原点为旋转中心逆时针旋转的；
（2）作出点C关于x轴的对称点P．若点P向右平移x个单位长度后落在的内部，请直接写出x的取值范围．
19．（8分）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆人数达到288人，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下．校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
20．（8分）如图，函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
（1）已知一次函数的图象过点B，C，求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于x的每一个值，函数（b为常数）的值小于函数的值，直接写出b的取值范围．
21．（8分）先阅读例题，再解答问题：
例：解方程．
解：当时，，解得（不合题意，舍去），；
当时，．解得（不合题意，舍去），．
综上所述，原方程的解为或，
依照上例解法解方程：．
22．（10分）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件，售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（，且x是按元的倍数上涨），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
23．（本小题满分11分）问题背景 如图（1），都是等边三角形，可以由通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．
尝试应用 如图（2），在中，，分别以为边，作等边和等边，连接，并延长交于点F，连接．若，求的值．
拓展创新 如图（3），在中，，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，直接写出的最大值．
24（12分）如图，已知点，抛物线直线．
（1）如果抛物线经过A点，求m的值；
（2）如果抛物线l的最高点正好落在直线n上，求抛物线的解析式及顶点坐标；
（3）当抛物线l与线段有公共点时，直接写出m的取值范围．

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