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2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷（杭州专用）
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转后，得到对应点Q的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．甲、乙两人用两个骰子做游戏，两个骰子同时抛出，如果出现两个5点，那么甲赢；如果出现一个4点和一个6点，那么乙赢；如果出现其他情况，那么重新抛掷．你对这个游戏公平性的评价是（ ）
A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法评价
3．抛物线与x轴的一个交点坐标为，则方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．如图，在平面直角坐标系中，该函数图象的解析式是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式中，是关于的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，圆内接四边形，，，，则四边形的面积为（ ）
A．4 B．2 C． D．
7．如图所示，是的直径，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，点是点B关于所在直线的对称点，的半径为1，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．质地均匀的一个红球和一个白球随机放入三个不同的盒子中，则恰好有一个盒子为空的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度v（cm/s）与弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．若图2中，则n的值是（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
10．如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知抛物线与x轴的一个交点为，则 ．
12．如图，已知半径为的上有三点、、，与交于点，，，则阴影部分的扇形面积是 ．
13．在，，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为关于x的一元二次方程中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为 ．
14．从数，，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n．若，则函数的图像经过第一、三象限的概率是 ．
15．已知二次函数的图象如图，有下列4个结论：①；②；③；④（的实数）其中正确的结论有 （填序号）．
16．如图，是的弦，半径于点，为直径，，，则线段的长为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．某商场以每件40元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：．
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润（元）与每件销售价（元）之间的函数关系式．
(2)求每件销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
18．如图，在中，弦，点在上．
(1)如图①，若是的直径，求的度数；
(2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数．
19．名著赏析课上，张老师要求每位同学讲述一个关于西游记的小故事，因此制作了一个可以自由转动的转盘，将其分成四个完全相同的扇形，把西游记中的部分人物名称（师父：唐僧，徒弟：孙悟空、猪八戒、沙悟净）分别写在每个扇形区域内（如图所示）．每位同学转动一次转盘，转盘停止后，指针所指区域内的人物即为所要讲述小故事的主角（若指针指向两个扇形的分界线，则不计次数，重新转动，直到指针指向一个扇形区域为止）．
(1)求该班同学小明讲述的小故事的主角是徒弟的概率；
(2)请你用列表或画树状图的方法，求该班同学小美和小丽所讲述的小故事的两个主角是师徒关系的概率．
20．有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张．
(1)直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率；
(2)小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由．
21．如图，已知抛物线L：与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．且，
(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)将抛物线L：的图象向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好经过点，求m的值；
(3)连接、，在抛物线上是否存在一点N，使？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图为某学校大门的示意图，门拱的形状可以近似地看作抛物线，将门拱底部与地面的交点记为、，最高点记为点，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．学校综合实践小组的成员测得，，，且于点，点在此抛物线上．
(1)求门拱所在抛物线的解析式；
(2)线段和线段分别表示大门两侧的钢笔造型的建筑（点、在轴上，点、在抛物线上，该造型建筑物的宽度忽略不计）．已知与等高，、均垂直于轴，且与之间的水平距离为，求这两个钢笔造型的建筑的高度（即线段和线段的长）．
23．如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．

(1)若，则正方形的面积为　 　；
(2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16
①求的值；
②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比．
24．抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式；
(2)如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值；
(3)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标．(共5张PPT)
浙教版 九年级上册
九年级数学上学期期中模拟卷
【杭州专用】试卷分析
二、知识点分布
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题 1 0.85 求绕原点旋转90度的点的坐标
2 0.85 游戏的公平性；列表法或树状图法求概率
3 0.84 求抛物线与x轴的交点坐标
4 0.84 y=ax 的图象和性质
5 0.75 二次函数的识别
6 0.74 等边三角形的判定和性质；已知圆内接四边形求角度；用勾股定理解三角形；根据旋转的性质求解
7 0.65 利用弧、弦、圆心角的关系求解；根据成轴对称图形的特征进行求解；用勾股定理解三角形
8 0.64 根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率
9 0.64 其他问题(实际问题与二次函数)
10 0.4 正多边形和圆的综合
二、知识点分布
二、填空题 11 0.84 抛物线与x轴的交点问题；已知式子的值，求代数式的值
12 0.65 求扇形面积；三角形内角和定理的应用；三角形的外角的定义及性质
13 0.75 根据判别式判断一元二次方程根的情况；根据概率公式计算概率
14 0.74 正比例函数的图象；列表法或树状图法求概率
15 0.64 y=ax +bx+c的图象与性质；根据二次函数的图象判断式子符号；二次函数图象与各项系数符号
16 0.4 利用垂径定理求值；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形；与三角形中位线有关的求解问题
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 y=ax +bx+c的最值；销售问题(实际问题与二次函数)
18 0.65 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度；等腰三角形的性质和判定；同弧或等弧所对的圆周角相等
19 0.75 列表法或树状图法求概率；根据概率公式计算概率
20 0.74 列表法或树状图法求概率；游戏的公平性；根据概率公式计算概率
21 0.65 二次函数图象的平移；面积问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式
22 0.64 拱桥问题(实际问题与二次函数)
23 0.4 用勾股定理解三角形；根据正方形的性质求线段长；正多边形和圆的综合
24 0.4 待定系数法求二次函数解析式；特殊四边形(二次函数综合)；y=ax +bx+c的最值；线段周长问题(二次函数综合)
2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷（杭州专用）
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D C D B C B A
1．B
本题主要考查了坐标与图形变化-旋转．根据旋转定义作出图形即可找到点Q的坐标．
解：如图所示，
点绕原点O顺时针旋转得点Q，则点Q坐标为，
故选：B．
2．C
本题主要考查了概率公式和游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，解题的关键是熟练掌握概率公式以及列举出所有的等可能情况．
两个骰子同时抛出，列举出所有可能情况，利用概率公式分别求出甲赢和乙赢的概率，再比较即可．
根据题意列表如下：
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
由表可知，共有36种等可能的结果，其中出现两个5点的结果有1种，出现一个4点和一个6点的结果有2种，
甲赢的概率为，乙赢的概率为，
这个游戏对乙有利．
故选：C.
3．B
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键．
将已知交点代入抛物线解析式，求出参数关系，从而求出该函数的对称轴为直线，再根据对称性求出与x轴的另一个交点坐标，从而求出方程的两实数根．
解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，
把代入得，
，可得，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标，
∴方程的根是，．
故选：B．
4．D
本题考查了二次函数的性质，由图象可得，该图象的解析式经过点，再逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
解：由图象可得，该图象的解析式经过点，
A、当时，，故不符合题意；
B、当时，，故不符合题意；
C、当时，，故不符合题意；
D、当时，，故符合题意；
故选：D．
5．C
本题考查二次函数．
根据二次函数的定义，对各选项进行分析判断即可．
解：A．不是二次函数，不符合题意；
B．不是二次函数，不符合题意；
C．是二次函数，符合题意；
D．不是二次函数，不符合题意．
故选：C．
6．D
本题考查了等边三角形的判定与性质及旋转的性质，圆内接四边形对角互补，全等三角形的性质与判定，勾股定理，将绕点逆时针旋转到，则与全等，证明、、三点共线，再根据为等边三角形即可求解．
解：如图，将绕点逆时针旋转到， 过点作于点，
，
，，，，
四边形的面积等于，
圆内接四边形，
，
，
、、三点共线，
，
，
，
为等边三角形，
，．
的面积为．
四边形的面积为．
故选：D．
7．B
本题主要考查圆弧与圆心角之间的关系以及勾股定理的应用、轴对称性质，熟记圆的性质并灵活应用是解题关键．如图，连接、，由题意可得，，由点B是的中点可得，即，所以，进而得出， 由勾股定理即可求出的长度．
解：如图，连接、，
由题意可得，，
点B是的中点，
，
，
点是点B关于所在直线的对称点，
，
，
又，
．
故选：B．
8．C
本题考查树状图或表格法求概率，掌握相关知识是解决问题的关键．用树状图或表格法表示出所有等可能的结果和恰好有一个盒子为空的结果，利用概率公式计算即可．
解：将三个盒子分别记为1，2，3，
共有9种等可能性结果，其中恰好有一个盒子为空的结果有6种，故恰好有一个盒子为空的概率为．
故选：C．
9．B
本题考查二次函数的实际应用，设二次函数的解析式为，待定系数法进行求解即可．
解：由题意，二次函数的顶点坐标为，抛物线过点，
∴设，
把代入，得，
解得；
故选B．
10．A
本题考查正多边形与圆，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H．证明，可得结论．
解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H．
∵，
∴，
∴，
∴四边形是等腰梯形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
11．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，正确理解题意是解题的关键．
把代入得，再利用整体代入的方法，即可求得结果．
解：抛物线与轴的一个交点为，
，
，
，
故答案为：．
12．
本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及扇形面积公式，熟练掌握这些知识是解题的关键．
先利用三角形外角性质求出，再由等腰三角形性质得出，进而求出圆心角，最后根据扇形面积公式计算扇形的面积．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的扇形面积，
故答案为：．
13．
考查了概率公式及根的判别式的知识，解题的关键是确定能使得方程无解的未知数的值．首先根据根的判别式确定方程无实数解时a的值，然后利用概率公式求解即可．
解：当一元二次方程无实数解时，，
解得：，
∴在，，1，2，3，4这6个数中随机选取一个数作为一元二次方程中的a的值，使得一元二次方程没有实数解的a的值为3和4，一共2个，
∴在，，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为一元二次方程中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为，
故答案为：．
14．
本题主要考查了树状图法求解概率，正比例函数图像的性质，当函数的图像经过第一、三象限时，，据此画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到k为正数的结果数即可得到答案．
解：当函数的图像经过第一、三象限时，，
画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中k的值为正数的结果数有2种，
∴函数的图像经过第一、三象限的概率是，
故答案为：．
15．②③④
本题主要考查了二次函数的图象与各项系数符号的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的方法解题，是解此题的关键．由抛物线的开口方向可以得出，由抛物线与轴的交点可以判断，由抛物线的对称轴可以判断，再根据抛物线与轴的交点情况以及抛物线的顶点进行推理即可得到答案．
解：①二次函数的图象开口方向向下，与轴交于正半轴，对称轴为直线，
，
，
，故①错误，不符合题意；
②二次函数的图象与轴的右侧交点在的右边，图象开口方向向下，
当时，，
，故②正确，符合题意；
③二次函数的图象与轴的交点在的右边，图象开口方向向下，
当时，，
，
∵，
，
∵，
，
，故③正确，符合题意；
④二次函数的图象的对称轴为直线，
当时，取最大值，最大值为，
当时，，
，故④正确，符合题意；
综上所述：正确的结论有：②③④，
故答案为：②③④．
16．
本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形中位线的性质等，连接，可得，设的半径为，则，在中，利用勾股定理可得，即得，，进而根据三角形中位线的性质得到，再根据勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
解：连接，如图所示，
∵，，
∴，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得，，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
故答案为：．
17．(1)
(2)每件销售价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润是1800元
本题考查二次函数的实际应用（利润模型），涉及二次函数的解析式推导和最值求解（顶点式、公式法），运用建模思想将利润问题转化为二次函数问题．解题关键是正确推导利润函数，熟练掌握二次函数最值的求解方法；易错点是配方时符号处理错误，或忽略销售量为正的实际意义验证．
（1）根据“利润 = （售价 - 进价）× 销售量”，代入进价40元、售价x元、销售量，推导得利润函数．
（2）通过顶点式配方或公式法求二次函数的最大值：
顶点式：将配方为，由，得当时，w最大为1800元．
公式法：利用顶点横坐标公式，代入利润函数得最大利润1800元，再验证销售量，确认结果合理．
（1）由题意得，单件进价40元，单件售价元，销售量．
∴．
展开得：．
∴ 函数关系式为：．
（2）方法一（顶点式）：
．
∵ ，∴有最大值．
当 时，（元）．
方法二（公式法）：
．
．
将 代入：（元）．
售价元，代入销售量，合理．
答：每件销售价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润是1800元．
18．(1)
(2)
本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的关键．
（1）根据圆周角的性质和圆内接四边形性质即可求解；
（2）连接，根据等弦对等弧，等弧对等角并结合圆内接四边形性质即可得到和的关系．
（1）∵是的直径，
又
是等腰直角三角形，
∵四边形是的内接四边形，
（2）如图，连接，
∵四边形是的内接四边形，
19．(1)；
(2)．
本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式以及列表法求概率是解题的关键．
（1）先确定总情况数和主角是徒弟的情况数，再根据概率公式计算．
（2）通过列表法列出所有可能的结果，再找出两个主角是师徒关系的结果数，最后用概率公式计算．
（1）解：∵ 转盘被分成四个完全相同的扇形，分别写有唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净，其中徒弟有孙悟空、猪八戒、沙悟净，共种情况，
∴ （主角是徒弟）；
（2）解：设唐僧为，孙悟空为，猪八戒为，沙悟净为，列表如下：
小美 \ 小丽
共有种等可能的结果，其中两个主角是师徒关系的有、、、、、，共种结果，
∴ （两个主角是师徒关系）．
20．(1)小丽取出的卡片恰好是的概率为
(2)这个游戏不公平，对小明有利，理由见解析
本题考查概率与游戏公平性的判断．
（1）根据概率公式求解即可；
（2）采用列表法可得小丽获胜的概率和小明获胜的概率，比较大小，判断公平性即可．
（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为．
（2）解：小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下：
小丽 小明 数字之积
∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，
∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率，
∵，
∴这个游戏不公平，对小明有利．
21．(1)
(2)
(3)或
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、三角形的面积、待定系数法求函数解析式，明确题意，熟练掌握二次函数的性质和数形结合的思想是解答本题的关键．
（1）计算出点坐标，待定系数法计算解析式即可；
（2）根据平移法则，写出平移后的解析式，代入点坐标计算即可解答；
（3）设出点N的坐标，表示出面积，分类讨论计算出点N的坐标．
（1）解：，，
，
，，
把A，B，C的坐标代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：，
将向上平移2个单位，向左平移个单位，
得到，
平移后图象过，
，
解得，，
，
；
（3）解：存在，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，，，
当时，，，
点N的坐标为或
22．(1)
(2)这两个钢笔造型的建筑的高度为
本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相应的二次函数解析式是解决本题的关键．
（1）先求出点B和点D的坐标，设抛物线解析式为：，把点B和点D的坐标代入可得a和h的值；
（2）根据题意，关于对称轴对称，即，把代入（1）中的解析式进行求解即可．
（1）解：由题意垂直平分，，
，
，
且 ，
∴，
，
设抛物线的表达式为，
将 分别代入得
，
，
抛物线的表达式为；
（2）∵，
∴对称轴为轴，
由题意，关于对称轴对称，
∴，
当时，；
故这两个 钢构造型的建筑的高度为．
23．(1)16
(2)①；②
本题考查了正多边形与圆，勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）连接，根据正方形和圆的性质得出，然后根据勾股定理求解即可；
（2）①连接，，设，分别在、中，利用勾股定理关键关于x的方程求解即可；
②连接，，，先证明共线，然后求出，最后根据正方形面积公式求解即可．
（1）解：连接，
四边形是正方形，
，
解得：，
正方形的边长为4，
正方形的面积为16．
（2）解：①连接，，
四边形是正方形，且其面积为16，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得（舍）
，
．
②连接，，，
，且，
，，
又，
，
共线，
，
．
24．(1)，
(2)；最大值为
(3)或或
（）利用待定系数法解答即可求解；
（）由题意可知，，，进而可得，再根据二次函数的性质解答即可求解；
（）分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别画出图形，利用平行四边形的性质解答即可求解；
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
（1）解：把和代入得，
，
解得，
∴抛物线的函数解析式为，
设直线的解析式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：若点的横坐标为，则，，
∴，
∵，
∴当时，取最大值，最大值为；
（3）解：①当为平行四边形的边，点在对称轴右侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点，
则，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴点到对称轴的距离为，
又∵，
∴抛物线对称轴为直线，
设点，则，
解得 或（不合，舍去），
当时，，
∴，
∴；
②当为平行四边形的边，点在对称轴左侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点，
同理①可证，
∴，，
∴点到对称轴的距离为，
设点，则，
解得或（不合，舍去），
当时，，
∴，
∴
③当为平行四边形的对角线时，如图，设的中点为，
∵，，
∴，
∵点在对称轴上，
∴点的横坐标为，
设点的横坐标为，根据中点公式得，
∴，
把代入，得，
∴，
∵，
∴点在轴上，
∴；
综上所述，点的坐标为或或．

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