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2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷（绍兴专用）
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列是关于x 的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列关于抛物线的描述中，错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是
C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为
3．如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心坐标．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，C、D是以为直径的上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦始终保持不变，M是弦的中点，过点C作于点P．若，则最大值是（ ）
A．1 B． C．2 D．2.5
6．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ）
A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜；
B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜；
C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜；
D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜．
8．不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）．
A． B． C． D．
9．二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（为常数）；④．
其中正确的个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，连接，现有一宽度为，且长与轴平行的矩形沿轴方向平移，交直线于点和，周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④，则的大小关系为 ．
12．已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是 ．
13．一只不透明的袋子中，装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球有 个．
14．“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000
合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880
合格头盔的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960
请由此估计抽查一个头盔，合格的概率为 ．
15．如图，是半圆O的直径，，点C是上一点不与B，D重合，则 ．
16．在中，，则与的大小关系为： ．（填“、、”）
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．已知抛物线的对称轴是直线．
(1)求m的值；
(2)求抛物线与x轴的交点坐标；
(3)当x为何值时，y随x的增大而增大．
18．如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
19．某公园草坪上有一个喷水装置，喷出的水流呈抛物线状，喷水头P距离地面，喷出的水流在距喷水头P水平距离处达到最高，最高点距离地面．建立如图1所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水流距喷水头的水平距离，是水流距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，这个喷水装置的喷头P能左右旋转，它的喷灌区域是一个扇形，求出它能喷灌的草坪的面积（结果用含的式子表示）．
20．旅客在某网站购高铁票，系统会随机分配座位．李某和张某打算购票，如图所示一排中座位编号为A，B，C，D，F，若系统已将两人分配到同一排，在同一排分配各个座位的概率一样．
A B C 过道 D F
(1)“分给李某座位A”是随机事件，这一事件的概率是________；
(2)试用列表法或画树状图法求分给这两人相邻座位（过道两侧座位C，D算相邻）的概率．
21．小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看．
(1)这个方案公平吗 请用列表或画树状图的方法说明理由；
(2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案．
22．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于20元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)若此类产品的日销售利润为150元，求销售价应定为多少元；
(3)求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
23．如图，在半径为的扇形中，，点是弧上的一个动点（不与点、重合），，垂足分别为、．
(1)当时，求线段的长；
(2)在点运动的过程中，中的边的长度是否保持不变？如果不变，请说明理由，并求其长度；
(3)设，线段的长度为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点，的坐标分别为，，对称轴交轴于点，点为顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线上方一点，且，求直线的解析式；
(3)点是抛物线上一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷（绍兴专用）
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A A D B A A C A
1．D
本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的一般式进行逐项分析，即可作答．
解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意；
B、不是二次函数，故该选项不符合题意；
C、不是二次函数，故该选项不符合题意；
D、是二次函数，故该选项符合题意；
故选：D．
2．C
该题考查了二次函数的性质，通过将二次函数化为顶点式 ，分析开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标．
解：∵ 抛物线为 ，
∴ 与顶点式对比，得 ， ， ．
对于 A：∵ ，
∴ 开口向下，正确．
对于 B：对称轴为 ，正确．
对于 C：∵ 开口向下，对称轴为 ，
∴ 当 时，y 随 x 的增大而增大，故选项描述错误．
对于 D：顶点坐标为 ，正确．
∴ 错误的是 C．
故选：C．
3．A
本题主要考查了坐标与图形，点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键．
由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以 2 为半径的圆的周长，据此找到规律求解即可．
解：由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以 2 为半径的圆的周长，
，
∴当圆心经过的路径长为时，图形旋转了圈，
∵图形每旋转一圈圆心横坐标增加，
∴当图形旋转 506圈时的横坐标为，再转圈横坐标增加，
∴当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是，
故选：A．
4．A
本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，连接，根据圆周角定理得出，再根据得到，从而得到，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．
解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
5．D
本题主要考查垂径定理，添加辅助线，构造中位线，是解题的关键.
延长交于点，连接，根据垂径定理得，结合，可得，进而即可得到答案.
延长交于点，连接，
∵，
∴.
∵点是弦的中点，
∴，
∴，
∴当为的直径时，的值最大，此时的值取最大值，最大值为.
故选D．
6．B
本题考查了旋转的性质，由旋转可知，，即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
解：由旋转可知，，
∵，
∴，
故选：B．
7．A
本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握“概率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键．
画树状图，共有16种可能的结果，分别求出各个选项中甲、乙获胜的概率，再分别判断即可．
解：画树状图如下：
A、由树状图可知，共有16可能的结果，其中在直线上的点有、、、，在直线上的点有、、，
甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
而，故选项A符合题意；
B、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积不大于15的结果有8种，乘积大于15的结果有8种，
甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项B不符合题意；
C、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积大于等于20时甲得5分的结果有6种，乙得3分的结果有10种，，
甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项C不符合题意；
D、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中得到的和为奇数的结果8种，得到的和为偶数的结果8种，
甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项D不符合题意；
故选：A．
8．A
本题主要考查了运用列表法与树状图法求概率，根据题意正确画出树状图是解题的关键．
先根据题意画出相应的树状图，即可确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，再运用概率公式求解即可．
解：树状图如下所示，
由上可得，一共有4种等可能性，其中两次摸球摸到的小球都是红球的可能性有1种，
∴两次摸出的都是红球的概率是．
故选A．
9．C
本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解题的关键．根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点，即可判断、、的大小，从而即可判断①，根据对称轴和经过，得到，代入进行求解即可判断②④，根据当时二次函数取得最大值，即可判断③．
解：∵抛物线的开口向下，
，
∵抛物线的对称轴为直线，
，
∵抛物线交轴正半轴，
，
∴，故①正确，
∵抛物线的对称轴为直线，
，
∵图象过点，
，
，
，
∴，故②错误，
当时，函数有最大值，
，
∴（为常数），故③正确，
，
∴，故④正确，
正确的个数有3个，
故选：C．
10．A
本题考查抛物线与x轴的交点、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、正方形的性质、轴对称等知识．作正方形，连接、作，使得，连接交于，此时的值最小．
解：如图，
令，则；
令，则，解得或；
∵抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，
∴，，，
∴，
作正方形，连接、作，使得，连接交于，此时的值最小．
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴的周长
，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的周长的最小值为，
故选：A．
11．
本题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．
设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
解：直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，，
，
故答案为：．
12．或
此题主要考查了二次函数与不等式．根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
解：∵二次函数与一次函数的交点横坐标分别为，
∴使成立的的取值范围为或，
故答案为：或．
13．4
设有x个红球，根据题意，得，解方程即可．
本题考查了简单的概率公式应用，解分式方程，熟练掌握公式和解方程是解题的关键．
解：设有x个红球，根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
故有4个红球，
故答案为：4．
14．0.960
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
利用频率估计概率即可．
解：∵头盔的合格频率稳定在0.960附近，
∴抽查一个头盔，合格的概率约为0.960．
故答案为：0.960．
15．122
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．由为直径可知，进而可得，再利用圆内接四边形对角互补即可得解．
解：是直径，
，
，
，
∵四边形是圆内接四边形，
．
故答案为：122．
16．
本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，过点作交于点，连接，可得，，进而得到，由得，即得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
解：如图，过点作交于点，连接，
则，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．(1)
(2)和
(3)
本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．
先把抛物线的解析式化为一般式，再根据对称轴，求出m的值；
根据的结论求出函数解析式，再令，解关于x的一元二次方程即可得出结论；
抛物线开口向上，对称轴为直线，根据函数的性质即可得出结论．
（1）解：
，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得：；
（2）把代入解析式得：
，
令，则，
解得：，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为和；
（3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大．
18．(1)
(2)
（1）连接，先根据圆周角定理的推论得到，进而可知是的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质结合等边对等角即可求出的度数；
（2）由题意可知四边形是的内接四边形，可得，根据等边对等角结合三角形内角和求出，最后根据三角形外角的性质即可求出的度数．
（1）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴；
（2）解：∵以为直径的分别交，于点D，E，
∴四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴．
本题考查了圆周角定理的推论，垂直平分线的判定和性质，等边对等角，内接四边形的判定和性质，三角形内角和，三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
19．(1)；
(2)
本题考查二次函数的应用．
（1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式；
（2）当时，，解得或，得到喷灌区域的半径为，再利用扇形面积公式可得结论．
（1）解：由题意知，抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，
将代入得：，
解得，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：当时，，
解得或，
∴喷灌区域的半径为，
∴喷灌的草坪的面积．
20．(1)
(2)
本题考查事件的分类，树状图求概率：
（1）根据事件的分类进行判断，概率公式进行计算即可；
（2）画出树状图，再利用概率公式进行计算即可．
（1）解：“分给李某座位A”是随机事件；
分给李某座位有5种等可能情况，其中分给李某座位A的概率为；
（2）根据题意画树状图如下：

共有种等可能情况，其中相邻座位的情况数有种，
∴分给李某和张某相邻座位（过道两侧座位C，D算相邻）的概率是．
21．(1)这个游戏公平，详见解析
(2)拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键．
（1）画出树状图，根据概率公式即可求出概率，比较概率即可得出结论；
（2）让二者的概率相同即可．
（1）解：游戏方案不公平．
理由如下：
由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一白一红”有4种，摸到“一红一蓝”的情况有2种，
故小颖获胜的概率为= ，小亮获胜的概率为=，所以这个游戏不公平．
（2）拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了．
22．(1)
(2)销售价应定为15元
(3)，当销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元
本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题．
（1）设函数关系式，把，代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于20元/千克，得出自变量x的取值范围；
（2）根据日销售利润为150元，列出一元二次方程，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值；
（3）根据销售利润销售量每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可．
（1）解：设y与x之间的函数关系式，把，代入得
，
解得，
∴y与x之间的函数关系式；
（2）解：根据题意得：，
解得，（不合题意，舍去），
答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元；
（3）解：根据题意得：，
对称轴为直线，在对称轴的左侧随着x的增大而增大，
∵，
∴当时，最大，最大为200．
即当销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
23．(1)
(2)不变，理由见解析，长度为
(3)
（1）根据可得出，在中利用勾股定理即可求出的长；
（2）连接，由是等腰直角三角形可得出的长，再根据和分别是线段和的中点可得出；
（3）由，可知，由于，，得到，过作，，，即可得出结论．
（1），，
，
，
；
（2）的长度不变，
如图，连接，
则，
，，
和分别是线段和的中点，
是的中位线，
；
（3）如图，连接，
，
，
，，，
，，
，
过作，
，
由（2）已知，
，
，
即．
本题是圆的综合题，考查的是垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，一次函数与几何图形，灵活运用相关知识是解题的关键．
24．(1)抛物线解析式为；
(2)直线解析式为；
(3)点的坐标为．
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数应用——面积问题，二次函数与平行四边形，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）把点，代入解析式即可求解；
（）先求出直线解析式为，顶点，根据点是直线上方一点，且，则有点在过点且平行的平行线上，即，然后利用待定系数法即可求解；
（）先求出，然后分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况分析即可．
（1）解：∵抛物线过点，，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设直线解析式为且过点，，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
由，
∴顶点，
如图，
∵点是直线上方一点，且，
∴点在过点且平行的平行线上，即，
设直线解析式为且过，
∴，解得，
∴直线解析式为；
（3）解：如图，设，
由，
∴，
∵，的坐标分别为，，
∴当为对角线时，
∴，，
解得：，，
∴，在抛物线上，符合题意；
当为对角线时，
∴，，
解得：，，
∴，不在抛物线上，不符合题意；
当为对角线时，
∴，，
解得：，，
∴，不在抛物线上，不符合题意；
∴当以为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为．(共5张PPT)
浙教版 九年级上册
九年级数学上学期期中模拟卷
【绍兴专用】试卷分析
二、知识点分布
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题 1 0.94 把y=ax +bx+c化成顶点式；y=ax +bx+c的图象与性质；求抛物线与y轴的交点坐标
2 0.94 y=ax +k的图象和性质
3 0.84 列表法或树状图法求概率
4 0.65 同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角；直角三角形的两个锐角互余
5 0.75 利用垂径定理求值；利用弧、弦、圆心角的关系求解
6 0.75 根据正方形的性质求线段长；根据旋转的性质求解；用勾股定理解三角形
7 0.65 已知概率求数量；由频率估计概率
8 0.64 根据一次函数解析式判断其经过的象限；二次函数图象与各项系数符号
9 0.64 图形运动问题(实际问题与二次函数)
10 0.4 与三角形中位线有关的求解问题；点与圆上一点的最值问题；用勾股定理解三角形；斜边的中线等于斜边的一半
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 列表法或树状图法求概率；游戏的公平性
12 0.75 已知概率求数量；分式方程的其它实际问题
13 0.74 利用垂径定理求值；圆周角定理
14 0.65 正多边形和圆的综合；求弧长
15 0.64 二次函数图象与各项系数符号；根据二次函数的图象判断式子符号；y=ax +bx+c的图象与性质
16 0.60 y=a（x-h） +k的图象和性质；求一元一次不等式的解集
二、知识点分布

三、解答题 17 0.85 y=ax +bx+c的图象与性质
18 0.64 用勾股定理解三角形；利用垂径定理求值；圆周角定理
19 0.75 y=ax +bx+c的图象与性质；利用二次函数对称性求最短路径；待定系数法求二次函数解析式
20 0.75 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度；用勾股定理解三角形
21 0.65 列表法或树状图法求概率；游戏的公平性
22 0.64 根据概率公式计算概率；分式方程的其它实际问题；已知概率求数量
23 0.64 全等三角形综合问题；其他问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式
24 0.4 三角形的外角的定义及性质；全等三角形综合问题；等边三角形的判定和性质；正多边形和圆的综合

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