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2025-2026学年重庆市江津中学高二（上）第一次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四条直线中，倾斜角最大的是（　　）
A. B. x-y=0 C. x-1=0 D.
2.已知圆，圆，则圆C1与圆C2的位置关系是（　　）
A. 相交 B. 内含 C. 内切 D. 外切
3.长轴长是短轴长的3倍，且经过点P（3，0）的椭圆的标准方程为（　　）
A. B.
C. 或 D. 或
4.若两直线l1：x+2ay+2=0，l2：（3a-1）x-ay-1=0平行，则实数a的取值集合是（　　）
A. B. {0} C. D.
5.已知直线与椭圆相交于A、B，且AB的中点为M（-1，），则椭圆C的离心率为（　　）
A. B. C. D.
6.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=BC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（　　）
A.
B.
C.
D.
7.已知椭圆C：分别为左右焦点，P为椭圆上一点，满足cos∠F1PF2=，则|OP|的长为（　　）
A. B. C. D.
8.在等腰直角△ABC中，AB=AC=3，点P是边AB上异于端点的一点，光线从点P出发经BC，CA边反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQR的周长等于（　　）
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.对于直线l：x=my+1，下列说法错误的是（　　）
A. m=时直线l的倾斜角为60°
B. 直线l斜率必定存在
C. 直线l恒过定点（1，0）
D. m=2时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为
10.已知，，，则下列结论正确的是（　　）
A.
B.
C. 为钝角
D. 在方向上的投影向量为（4，0，4）
11.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段AD1上一动点，AA1=2AB=2，则下列说法正确的是（　　）
A. 直线BD1⊥平面BC1D
B. 三棱锥P-BC1D的体积为
C. 三棱锥C-BC1D外接球的表面积为6π
D. 存在点P使直线PC1与平面BC1D所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+1）2+y2=4，若直线x=ay+3被圆C截得弦长为，则实数a的值为______.
13.在空间直角坐标系中，点A（-1，1，1），B（-2，0，1），P（0，1，3），则P到直线AB的距离为______.
14.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：（x-3）2+（y-2）2=1上任意一点，则|MN|-|MF1|的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知△ABC的三个顶点是A（1，5），B（-5，-7），C（3，-3），求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）∠ABC的角平分线所在直线的方程.
16.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，点D，E，F分别为AB，BC，BB1的中点.
（1）证明：A1C1∥平面B1DE；
（2）若AC=2AB=2AA1=2，求直线DC1与平面A1FC1所成角的正弦值.
17.(本小题12分)
已知x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0（m∈R）表示圆C的方程.
（1）求实数m的取值范围；
（2）当圆C的面积最大时，求过点A（4，-4）圆的切线方程；
（3）P为圆上任意一点，已知B（6，0），在（2）的条件下，求|PA|2+|PB|2的最小值.
18.(本小题12分)
如图，在平面四边形ABCD中，△ABC为等腰直角三角形，△ACD为正三角形，∠ABC=90°，AB=2，现将△DAC沿AC翻折至△SAC，形成三棱锥S-ABC，其中S为动点.
（1）证明：AC⊥SB；
（2）若SC⊥BC，三棱锥S-ABC的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面SAC的距离；
（3）求平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值.
19.(本小题12分)
已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率，点P，Q分别是椭圆的右顶点和上顶点，△POQ的边PQ上的中线长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点H（-2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1⊥BF1，求直线AB的方程；
（3）直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为，设l1，l2分别与椭圆交于点C，D和E，F.若M，N分别是线段CD和EF的中点，求△OMN面积的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】AB
10.【答案】BD
11.【答案】BC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）B（-5，-7），C（3，-3），
BC中点D（-1，-5），
中线过A（1，5）和D（-1，-5）两点，根据两点式，
即，化简得y-5=5（x-1），即5x-y=0．
（2）先求BC边的斜率，已知B（-5，-7），C（3，-3），
根据斜率公式，
设高的斜率为k,则，解得k=-2，
又因为高过A（1，5）点，根据点斜式y-5=-2（x-1），即2x+y-7=0．
（3）先求AB边的斜率，BC边的斜率，
设角平分线斜率为k,根据夹角公式得，化简，
整理得|（k-2）（2+k）|=|（1-2k）（1+2k）|，
即k2-4=4k2-1或k2-4=1-4k2，
继续化简k2=-1（舍去），或k2=1，即k=±1，
因为角平分线的斜率应该在kAB和kBC之间，所以k=1，
又因为角平分线过B（-5，-7）点，根据点斜式y+7=1×（x+5），即x-y-2=0．
16.【答案】证明：由于点D，E分别为AB，BC的中点，即DE为△ABC的中位线，
故DE∥AC，又AC∥A1C1，所以DE∥A1C1，
又A1C1 平面B1DE，DE 平面B1DE，
故A1C1∥平面B1DE；

17.【答案】解：（1）由题可知：（x-2）2+（y+m）2=3+2m-m2，
该方程表示圆，则3+2m-m2＞0，
即m2-2m-3＜0，解得-1＜m＜3，
则实数m的取值范围为（-1，3）；
（2）令y=3+2m-m2=-（m-1）2+4，m∈（-1，3），开口向下，
对称轴为m=1∈（-1，3），当m=1时，圆C的面积取得最大值，
此时圆的方程为（x-2）2+（y+1）2=4，
当切线方程斜率存在时，设切线方程为y+4=k（x-4），即kx-y-4k-4=0，
圆心（2，-1）到切线的距离等于半径长，即，
解得；
当切线斜率不存在，切线方程为x=4，与圆相切于点（4，-1），满足题意.
即切线方程为，即5x+12y+28=0；另一条切线方程为x=4；
（3）设P（x,y），则|PA|2+|PB|2=（x-4）2+（y+4）2+（x-6）2+y2
=2[（x-5）2+（y+2）2]+10，
设M（5，-2），则（x-5）2+（y+2）2表示圆C上的点P与点M的距离的平方，
由（2）知C（2，-1），又因为，
则点M在圆C外面，
所以，
则，
则可知|PA|2+|PB|2的最小值为．
18.【答案】解：（1）取AC的中点E，连接SE，BE，
因为AB=BC，SA=SC，且AC的中点E，
所以SE⊥AC，BE⊥AC，
又SE∩BE=E，SE，BE 平面SBE，
故AC⊥平面SBE，
由于SB 平面SBE，
故AC⊥SB，
（2）当SC⊥BC时，由△CBS≌△ABS，则SA⊥BA，
取BS的中点O，连接OA，OC，
故O到A，B，C，S四点的距离相等，故O为三棱锥S-ABC外接球的球心，
因为AB=BC=2，，故，SB=，，
设S到平面ABC的距离为h1，B到平面ABC的距离为h2，
由等体积法可得，
而，
由于∠SEB∈（0，π），故，
所以，
从而，
故O到平面SAC的距离为．
（3）以B为原点，BC，BA，BZ分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系B-xyz,
过点S作平面ABC的垂线，垂足为Q，
设∠SEQ=θ为翻折过程中所旋转的角度，则，
，，
故B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），，
，
则，，
设平面SBC的法向量为，
则，
取，则，
所以，
设平面SAC的法向量为，
，，，
则，
取x2=sinθ，则y2=sinθ，
则，
设平面SBC平面与SAC的夹角为α，
故，
，
令，，
故，
由于，
故，
当且仅当t=1，即时取等号，
故平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值为，
此时．
19.【答案】解：（1）由题意，因为P（a,0），Q（0，b），△POQ为直角三角形，
所以．
又，所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2）由（1）知，F1（-1，0），显然直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y=k（x+2）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y得，（1+2k2）x2+8k2x+8k2-2=0，
所以Δ=（8k2）2-4（1+2k2）（8k2-2）=8（1-2k2）＞0，即．
且，
因为AF1⊥BF1，所以，
所以（-1-x1，-y1）（-1-x2，-y2）=0，即1+x1+x2+x1x2+y1y2=0，
所以1+x1+x2+x1x2+k（x1+2） k（x2+2）=0，
整理得，
即，
化简得4k2-1=0，即满足条件，
所以直线AB的方程为或，
即直线AB的方程为x-2y+2=0或x+2y+2=0．
（3）由题意，F2（1，0），
设直线l1的方程为y=k（x+1），C（x3，y3），D（x4，y4），
则直线l2的方程为，E（x5，y5），F（x6，y6），
联立消去y得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，
所以，
所以，，
所以，
同理联立，消去y得（1+2k2）x2-2x+1-4k2=0，
所以，
所以，，
所以，
即MN的中点．
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以△OMN的面积最大值为．

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