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数学试题卷
注意事项:
1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.
2. 作答时,务必将答案写在答题卡上. 写在本试卷及草稿纸上无效.
3. 考试结束后, 将答题卡交回.
一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的)
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ,其中 是虚数单位,则 的虚部为
A. 1 B. i C. -1 D. -i
3. 已知 为实数,则 “ ” 是 “ 为双曲线方程” 的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知函数 ,若 为偶函数,则 的值为
A. B. C D.
5. 若两条直线 与圆 的四个交点能构成长方形,其中较长边长度为 4,则
A. B.
C. 或 D. 或
6. 拉格朗日中值定理是微分学里的关键定理,具体内容为: 若函数 在闭区间 上连续,在开区间 内可导,则在区间 内至少存在一个点 ,使得 是 在 处的导数值 ,其中 称为函数 在闭区间 上的中值点. 现在有这样的问题: 若函数 在区间 上的 “中值点” 个数为 ,函数 (其中 为自然对数的底数) 在区间 上的 “中值点” 的个数为 ,则有
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
7. 某学校随机将 16 名学生平均分成两个小组, 分别参加数学和物理兴趣小组, 学生学号为 1, 2, 3, ...,16,设数学小组里的学生最小学号为 ,最大学号为 ,物理小组里的学生最小学号为 ,最大学号为 ,则 “ ” 的概率为
A B. C. D.
8. 设 ,则
A. B. C. D.
二、多项选择题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有链错的得 0 分)
9. 关于等差数列和等比数列,下列说法正确的是
A. 若数列 为等差数列,且 ,则
B. 若数列 的前 项和为 ,且 ,则 是等差数列.
C. 若数列 为等比数列, 为前 项和, , ,则
D. 若数列 为等比数列,且 ,则
10. 已知抛物线 ,点 、 、 为抛物线 上三点,且 的重心为抛物线 的焦点 ,记直线 的斜率分别为 . 若 ,则
A.
B. 的三个顶点到 轴的距离之和为 3
C. 若 点坐标为 ,则
D. 当点 的横坐标为 4 时,
11. 已知 不是直角三角形,内角 所对边分别为 ,则
A. B. 的最大值为
C. D.
三、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分)
12. 已知向量 , ,若 ,则 的值为_____.
13. 已知 , 且 ,则 的最小值为_____
14. 设 为数列 的前 项和, ,则
四、解答题 (共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
在信号处理中,形如 (其中 是自然对数的底数) 的函数称为 “衰减多项式包络”, 常用于电磁波、声波在介质中的能量衰减模型以及神经元膜电位的发放后电位衰减等领域. 某学习小组对 的情况开展研究,请回答下列问题.
(1) 当 时,求 在 处的切线方程;
(2)当 且 时 恒成立,求正实数 的取值范围.
16. (本小题满分 15 分)
把多项式 (其中 )的展开式中 的一次项的系数记为 ,数列 的前 项和记作 .
(1)写出数列 的前 2 项; 并求其通项公式;
(2) 求 .
17. (本小题满分 15 分)
在锐角 中, 所对边分别为 ,满足 且 .
(1) 求 ;
(2)若点 为 的垂心, , ,则求线段 的长度.
18. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 的离心率为 ,长轴长与短轴长之积为 8,椭圆的一条弦 的中点为 ,满足: 在直线 上且 不为坐标原点,点 分别为椭圆 的左、右焦点.
(1) 求 的方程；
(2) (i) 记椭圆右顶点为 ,线段 上是否存在点 ,使得 若存在,请求 点横坐标的范围; 若不存在,请说明理由;
(ii) 若点 均在 轴上方,且点 在点 上方,证明四边形 的面积小于 2 .
19. (本小题满分 17 分)
某珍稀植物保育点设有 4 个独立苗床. 初始时,1 个苗床定植成功,3 个为空置. 每季度,保育员随机巡查 1 个苗床 (4 个等概率):若该苗床为空置,则补种,成活概率为 50%；若该苗床已成功,则仅进行养护 (状态不变). 记第 季度后成功苗床数为随机变量 为 的期望.
(1) 求 ；
(2)(i)对 ,请用 , 和 这三个量表示 ； (ii) 证明点 在一条直线上,并求出该直线的方程.

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