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思南中学2025-2026学年高三上学期数学10月月考试卷
一、单选题（本大题共9小题）
1．若（i为虚数单位），则（ ）
A． B．1 C． D．
2．设是集合的子集，只含有2个元素，且不含相邻的整数，则这种子集的个数为（ ）
A．11 B．12 C．10 D．13
3．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．已知一组数据为50，40，39，45，32，34，42，37，则这组数据第40百分位数为（ ）
A．39 B．40 C．45 D．32
6．如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
7．已知，且恰能被14整除，则m的取值可以是（ ）
A．1 B．12 C．7 D．27
8．已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作直线l与双曲线C的右支交于A,B两点.若△F1AB的周长为10b,则双曲线C的离心率的取值范围是 (　　)
A． B．
C． D．[2,+∞)
9．已知实数，满足，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共2小题）
10．(多选)下列函数中，在区间(－∞，0)上单调递增的是（ ）
A．f(x)＝－ B．f(x)＝x
C．f(x)＝－x2 D．f(x)＝1－x
11．一个书架有两层，第一层放有3本数学书和5本语文书，第二层放有4本数学书和3本语文书，先从第一层随机取出一本书放入第二层，用事件，分别表示从第一层取出的是数学书、语文书，再从第二层随机取出一本书，用事件表示从第二层取出的是数学书，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．直线被圆截得的弦长为 ．
13．已知函数，当时，，则 .
14．已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为,，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．函数y=3sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈[0,2π))的部分图象如图所示,试求函数y=3sin(ωx+φ)的解析式.
16．已知函数.
(1)若是函数的极值点，求a的值；
(2)求函数的单调区间.
17．如图，四棱锥的底面为直角梯形，底面ABCD，，，，E为棱CP上一点.
(1)证明：平面平面ADP；
(2)若，求平面ABE与平面CDP所成二面角的平面角的正弦值.
18．近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2.
(1)顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率；
(2)顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率
19．设为正整数，集合.对于集合中的任意元素和，定义.
（1）当时，若，直接写出所有使同时成立的的元素；
（2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同元素.求集合中元素个数的最大值；
（3）给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由可得，
故，
故选：C
2．【答案】C
【详解】含有2个元素的子集个数为，其中两个数相邻的有5个，
所以所求子集个数为．
故选C．
3．【答案】A
【分析】先求出导函数，然后利用导数几何意义求出切线斜率，代入点斜式方程即可求解.
【详解】因为，所以，所以，.
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
故选：A.
4．【答案】B
【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高．
则球的体积，圆柱的体积，
∴.
故选B．
5．【答案】A
【详解】将这组数据从小到大排列为：32，34，37，39，40，42，45，50，共8个，
因为，所以这组数据第40百分位数为第4个数据，即为39，
故选：A
6．【答案】C
【详解】由，解得.
设，
则.
故选C.
7．【答案】D
【分析】根据二项式展开式，即可求解.
【详解】，故若恰能被14整除，只需要能14整除即可，所以m的取值可以是：-1，13，27等
故选：D
8．【答案】A
【详解】热门考点：双曲线的离心率的取值范围
设|AF2|=m,|BF2|=n,则由双曲线的定义知|AF1|=2a+m,|BF1|=2a+n.又△F1AB的周长为10b,所以|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=2a+m+2a+n+m+n=4a+2(m+n)=10b,所以m+n=5b-2a,即|AB|=5b-2A．由双曲线的性质知|AB|=5b-2a≥(提示:当过焦点的直线与双曲线交于同支时,形成的弦长不小于通径;但当过焦点的直线与双曲线交于两支时,弦长就不具有这一性质),化简得2b2-5ab+2a2≤0,同时除以a2,得2-5+2≤0,解得≤≤2,则≤≤4,即≤e2-1≤4,解得≤e≤.故选A．
9．【答案】D
【分析】
A、B、C三个选项只需要举出反例即可判定，D选项结合函数的单调性即可判断.
【详解】
A：当满足，但是，所以，故A错误；
B：当满足，但是，所以，故B错误；
C：当满足，但是，所以，故C错误；
D：因为函数在上单调递增，且，所以，故D正确，
故选：D.
10．【答案】ABC
【详解】由函数的图象知f(x)＝－ ，f(x)＝x，f(x)＝－x2在(－∞，0)上单调递增．
11．【答案】ABD
【详解】对于A，由题可得，故A正确；
对于B，，又，则，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选ABD
12．【答案】
【详解】圆化为标准方程为，则圆心为，半径为，
因为圆心到直线的距离，
所以直线被圆截得的弦长为．
故答案为：.
13．【答案】2
【分析】由题意条件得到的图象关于直线对称，从而得到，再代入求值即可.
【详解】由可知，函数的图象关于直线对称，
而函数的图象关于直线对称，所以，
所以，
所以.
故答案为：2
14．【答案】
【解析】设正三棱柱的棱长为，如图，正三棱柱上、下底面中心分别为，,连线的中点为外接球的球心，取中点，中点，连接，，，，，设外接球的半径为,则，，
所以.
因为，所以为棱切球的球心，设棱切球的半径为,则，
所以.
15．【答案】见详解
【解析】由题图知,最小正周期T=2=π,所以ω==2,即y=3sin(2x+φ).又图象过点,所以当x=时,y=0,由五点法作图得2×+φ=2kπ+π(k∈Z),又φ∈[0,2π),解得φ=,故所求函数的解析式为y=3sin.
【易错警示】在利用“五点法”画函数图象时,图象中五个关键点的横坐标自左到右分别是由ωx+φ取0,,π,,2π解得的,三个函数值为零的点自左到右对应的ωx+φ的值为0,π,2π,不能随便乱取,这一点很容易出错.在本例中,由函数图象知,点是图象中的第二个函数值为零的点,从而2×+φ只能对应在一个周期内五值中的π,而不能是0或2π.
16．【答案】(1)1
(2)见解析
【分析】（1）由是函数的极值点，，求解验证即可；
（2）利用导函数求解函数的单调区间即可.
【详解】（1）函数定义域为，，
因为是函数的极值点，
所以，解得或，
因为，所以.此时，
令得，令得，
∴在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点.
所以.
（2）.
因为，所以，令得；令得；
∴所以时，函数的增区间为,
时函数的单调减区间为，单调增区间为.
17．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由线面垂直证明面面垂直；
（2）建立坐标系，利用空间向量即可求二面角的正弦值.
【详解】（1）由题意可知，
因为底面ABCD，平面ABCD，所以，
又，所以平面ADP，
又平面ABE，所以平面平面ADP.
（2）由题意可知为等边三角形，且.
连接AC，作于F，连接BF，则有，且平面ABCD，
因为，所以，所以，故E为CP的中点.
以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，.
设平面ABE的一个法向量，
，，
则，即，可取.
设平面CDP的一个法向量，，，
则，即，可取,
则，
即所求角的正弦值为，
故平面ABE与平面CDP所成二面角的平面角的正弦值为.
【方法总结】利用空间向量求解立体几何问题的一般步骤
（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；
（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；
（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；
（4）将空间位置关系转化为向量关系；
（5）根据公式求出相应的角或距离.
18．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用独立事件的概率乘法公式结合对立事件运算求解；
（2）根据题意列举所以可能性情况，利用独立事件的概率乘法公式运算求解.
【详解】（1）由题意可得：甲不购买一盒猕猴桃情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个时抽到这个烂果，
甲购买一盒猕猴桃的概率.
（2）用“√”表示购买，“╳”表示不购买，乙第5周购买有如下可能：
第1周 第2周 第3周 第4周 第5周
√ √ √ √ √
√ ╳ √ √ √
√ √ ╳ √ √
√ ╳ √ ╳ √
√ √ √ ╳ √
故乙第5周网购一盒猕猴桃的概率.
19．【答案】（1）；
（2）满足条件的集合B的元素的个数的最大值为4；
（3）当n=3时，
【详解】（1）
满足条件的 有
0 1 0 1
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 0 0
1 1 1 1
又 ，
满足条件的 有
1 1 0 1
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 1 0
（2）列出集合A的元素
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素α，β，d(α，β)≥2
满足条件的集合B的元素的个数的最大值为4.
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
（3） d(α，β)≥2
B中的元素应该含有奇数个1
若n=2，则含有奇数个1的元素有 个；
若n=3，则含有奇数个1的元素有 个；
若n=4，则含有奇数个1的元素有 个；
若n=5，则含有奇数个1的元素有 个；
当n=3时，
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