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北京二中教育集团2025-2026学年度第一学期
初二数学阶段练习（一）试卷
考查目标
1.知识：人教版八年级上册《三角形》、《全等三角形》、《整式的乘法》、《因式分解》的全部内容. 2.能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力.
考生须知 1.本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共14页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷5页，答题卡7页.全卷共三大题，27道小题. 2.本试卷满分100分，考试时间100分钟. 3.在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号. 4.考试结束，将答题卡交回.
第Ⅰ卷（选择题共16分）
一、选择题（共16分，每题2分，以下每题只有一个正确的选项）
1. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图的两个三角形全等，则的度数为（ ）
A. 50° B. 58° C. 60° D. 62°
5. 对任意整数，都能（　　）
A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除
6. 东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　）
A. 的角平分线与边上中线的交点
B. 的角平分线与边上中线的交点
C. 的角平分线与边上中线的交点
D. 的角平分线与边上中线的交点
7. 小新以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，四个正方形面积之和为26，则长方形的面积为（ ）
A. B. 4 C. 5 D. 6
8. 若非零实数，，满足，且有，，，则关于、、取值的说法中正确的是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共84分）
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若有意义，则的取值范围是______．
10. 一个长方形的面积为，若这个长方形的宽为a，则长为__________．
11. 若，则a的值为______．
12. 已知，则_______（填“”“”或“”号）
13. 若关于的二次三项式是完全平方式，则_____________．
14. 已知，则的值是______．
15. 若关于多项式展开后不含有一次项，则实数的值为_______________．
16. 已知自然数是一个不超过5000的四位数，若用的后两位数去除可以得到一个完全平方数（如果它的十位数字是0，就只用个位数字去除），且这个完全平方数正好是前两位数加1的平方，则称这个四位数是一个“奇妙数”，请你根据以上材料回答下列问题：
（1）判断：四位数1805否为“奇妙数”？ （填“是”或者“否”）
（2）是否存在其它“奇妙数”？若存在，请你写出所有可能的结果；若不存在，请你简述理由．
三、解答题（共68分，其中第17、20、24-25题每题6分，第18、23题每题7分，第19题8分，第21-22、26题每题5分，第27题7分）
17. 已知，，求下列式子的值．
（1）；
（2）．
18. 计算．
（1）；
（2）．
19. 因式分解：
（1）；
（2）
20. 用乘法公式计算
（1）；
（2）．
21. 嘉嘉在计算：时，解答过程如下．
…第一步
……第二步
．………第三步
（1）嘉嘉的解答从第______步开始出错；
（2）请写出正确的解答过程．
22. 已知．求代数式的值．
23. 如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，．
（1）求证：．
（2）若，，求∠F的度数．
24. 填式游戏：在“□”内填入适当的单项式，使多项式能因式分解．
（1）若在“□”内填入，分解因式：；
（2）若在“□”内填入不超过10的整数，使能在有理数范围内因式分解，共有几种填法？请选择一种进行分解因式．
25. 如图是某酒店一层办公用房的平面结构示意图（长度单位：m），注：（图形中的四边形均是长方形或正方形）．
（1）用含的式子分别表示会客室的面积为 ，会议厅的面积为 ．
（2）如果，，会议厅比会客室大多少？
26. 【例题讲解】因式分解：．
为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，
展开等式右边得：，
恒成立．
等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即，
解得，
．
【方法归纳】
设某一多项式全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】
（1）若，则________；
（2）若有一个因式是，求值及另一个因式．
27. 如图，在等腰中，，点是斜边上的动点，且，连接．
（1）过点作的垂线，垂足为，在线段上取点，使得，连接、.
①请你依据题意，补全图形；
②求证：；
（2）在（1）的条件下，若点为线段的中点，连接，试判断线段与线段之间的位置关系，并证明．
参考答案
第Ⅰ卷（选择题共16分）
一、选择题（共16分，每题2分，以下每题只有一个正确的选项）
1. D．
2. C．
3. A．
4. C．
5. B．
6. A．
7. D．
8. B．
第Ⅱ卷（非选择题共84分）
二、填空题（共16分，每题2分）
9. ．
10.
11. ．
12. ．
13. 6或0.
14. 25．
15. ．
16. 已（1）；（2）存在；4802，2304
三、解答题（共68分，其中第17、20、24-25题每题6分，第18、23题每题7分，第19题8分，第21-22、26题每题5分，第27题7分）
17. （1）6 （2）
18. （1）
（2）
19. （1）
（2）
20. （1）1 （2）10000
21. （1）一 （2）
解：原式
．
22. 10
23. （1）证明：
，
即
又，
（2）解：，，
24. （1）
（2）2种，（答案不唯一）
25. （1）；
（2）
26.
（1）∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）设多项式另一个因式为，
则
，，，
，，
，即另一个式子为：．
27.
（1）解：①如图所示
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），理由如下，
如图，连接并延长至，使得，连接，
∵是的中点
∴，
又∵，
∴，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得，
∴，
在中，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵是的中点，，
∴，
∴．

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