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北京二中 2025—2026学年度第一学段高二年级学段考试试卷
数学选择性必修 第一册
有一项
是符合题目要求的，请将答案
．．．．填．在．答．题．纸．上．）
1.已知 ， 是平面， ， 是直线，给出下列命题：
①若 ⊥ ， ，则 ⊥ ；
②若 ， ， // ， // ，则 // ；
③若 ， ， ， 是异面直线，那么 与 相交；
④若 ∩ = ， // ，则 // 且 //
其中正确的命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.已知△ 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若直线 1与直线 2的方程分别为
sin + + = 0与 sin + sin = 0，则直线 1与 2的位置关系是( )
A. 重合 B. 平行 C. 垂直 D. 不确定
3.点 ( 2, 1)到直线 : (1 + 3 ) + (1 + ) 2 4 = 0 ( ∈ )的距离最大时，其最大
值以及此时的直线方程分别为( )
A. √ 13；3 + 2 5 = 0 B. √ 11；3 + 2 5 = 0
C. √ 13；2 3 + 1 = 0 D. √ 11；2 3 + 1 = 0
4.已知三条直线 1： 2 + 2 = 0， 2： 2 = 0， 3： + = 0将平面分为六个区
域，则满足条件的 的值共有( )
A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 无数个
5.已知 ( 1,0)， (0,2)，直线 ：2 2 + 3 + = 0上存在点 ，满足| | + | | =
√ 5，则 的倾斜角的取值范围是( )
π 2π π 3π
A. [ , ] B. [0, ) ∪ ( , π)
3 3 4 4
π 3π π 3
C. [ , ] D. (0, ] ∪ [ , )
4 4 4 4
高二年级数学第一学段考试 2025 年 10 月 第 1 页，共 8 页
6.中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体．该几何体是
上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）. 在如图所示的“曲
池”中， 1 ⊥平面 1 1 1 1，记弧 、弧 的长度分别为 1， 2，
4
已知 1 = 3 = 3， 1 = 2 2 = ， 为弧 1 的中点，则直线 3 1
与 1所成角的余弦值为( )
√181 5√ 3 5√ 2 √94
A. B. C. D.
16 16 12 12
7.三角形是生活中随处可见的简单图形，其中有非常有趣的特殊点及特殊线. 大数学家欧
拉在1765年发现，给定一个三角形，则其外心、重心、垂心落在同一条直线上，后人为了
纪念欧拉，称这条直线为欧拉线. 在平面直角坐标系 中，△ 的顶点 (0,2)，
( 1,0)，则“△ 的欧拉线方程为 = 1”是“点 的坐标为( 2,2)”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.如图所示，正方形 , , 平铺在水平面上，先将矩形 沿 折起，使
二面角 ′ 为30 ，再将正方形 ′ ′ 沿 ′折起，使二面角 ″ ′ 为30 ，
则平面 ′ ″ ′′与平面 所成的锐二面角的余弦值是( )
√2 1 3 √6
A． B． C． D．
2 2 4 4
9. 如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，点 为线段 的中点，
且点 满足 = + ，给出下列命题：
①若 = 0， = 1，则 ， ， 共面；
1
②若 = 1， = ，则 是平面 的一个法向量；
2
1
③若 = = ，则 到平面 的距离为√3；
2

√3 √6
④若 = 1，0 ≤ ≤ 1时，直线 与平面 所成角为 ，则sin θ ∈ [ , ]
3 3
其中正确的命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
高二年级数学第一学段考试 2025 年 10 月 第 2 页，共 8 页
10. 曼哈顿距离（Manhattan Distance）是由十九世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，是使用
在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴
距”总和．例如：在平面直角坐标系内有两个点 ( 1, 1)， ( 2, 2)，它们之间的曼哈顿
距离 ( , ) = | 1 2| + | 1 2|. 已知点 (1,0)，点 是直线 + + 3 = 0上的动
点，点 是直线 + 4 + 1 = 0上的动点，其中 ≥ 0. 则 ( , ) + ( , )的最小值为
( )
24 16
A. 4 B. C. 5 D.
5 3
二、填空题（本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分. 请．将．答．案．填．在．答．题．纸．上．）
11.直线 到其平行直线 2 + 4 = 0的距离和原点到直线 的距离相等，则直线 的方程是
____________．
12.已知点 ( 2,0)， (2,0)， (0,2)，直线 = + 2 将△ 分割为面积相等的两部
分，则实数 的值是____________．
13.在如图所示的试验装置中，正方形框架 的边长为2，长方形框架 的长 =
3
，且它们所在平面形成的二面角 的大小为 ，活动弹子 ， 分别在对角线
2 3

和 上移动，且始终保持 = = (0 < < 1)，则 的长度最小时 的取值为

____________．
13 题图 14 题图
14.在矩形 中， = 4， = 2. 点 ， 分别在 ， 上，且 = 2， = 1. 沿
将四边形 翻折至四边形 ′ ′，使平面 ′ ′与平面 垂直，点 在线段
上且满足 ′， ′， ， 四点共面，则 =____________．若动点 在线段 ′ ′上，则二面
角 的平面角的余弦值的最大值为____________．
高二年级数学第一学段考试 2025 年 10 月 第 3 页，共 8 页
15.已知函数 ( ) = ( + ) ( > 0, > 0, 0 < < ) 图象如图1所示， ， 分别
为图象的最高点和最低点，过 ， 作 轴的垂线，分别交 轴于 ′， ′，点 为该部分图象
与 轴的交点，且| | = 2√ 5， ( )与 轴的交点为 (0, √ 3). 将绘有该图象的纸片沿 轴

折成如图2所示的二面角 . 折叠后，当二面角 的值为 时，| | =
2
2√ 3．
给出以下四个命题：
π 2π
①函数 ( )的解析式可以是 ( ) = 2 sin ( + )；
2 3
②在图2中， ( )的图象上存在至少三个不同的点 ，使得 //平面 ；
π 3π
③在折叠过程中，若二面角 的范围是[ , ]，则点 ′到平面 ′距离的最大值
4 4
为√2；
2
④在折叠过程中，若二面角 的范围是( , )，二面角 ′ ′的余弦值的
3 3
1 1
取值范围是( , ].
7 2
其中正确的命题为_________________（请．写．出．所．有．正．确．命．题．的．序．号．）.
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三、解答题（本大题共 85分，请．将．答．案．填．在．答．题．纸．上．）
16. （本题 14分）2021年起，江苏省实行“3 + 1 + 2”高考模式，为让学生适应新高考的
赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分
方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定 、 、 、 、 共五个等级，然后在相
应赋分区间内利用转换公式进行赋分. 等级排名占比15%，赋分分数区间是86 100；
等级排名占比35%，赋分分数区间是71 85； 等级排名占比35%，赋分分数区间是56
70； 等级排名占比13%，赋分分数区间是41 55； 等级排名占比2%，赋分分数区间是
30 40；现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的原始成绩(未赋分)进行分析，其
频率分布直方图如图所示：
（1）求图中 的值；
（2）求抽取的这100名学生的原始成绩的众数、平均数和中位数；
（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后
的 等级及以上(含 等级)？(结果保留整数)
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17. （本题 13分）已知点 A( 1,0)和点 P(4 2t，t) (t∈R).
（1）求证：点 P在定直线 l上，并求直线 l的方程；
（2）点 B，C在直线 l上，且△ABC为等腰直角三角形，求点 B的坐标.
18.（本题 14分）在△ABC中，bsinA = acosB．
（1）求 B的大小；
（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面
积．
1
条件①： cos A = ；
2
条件②：b = 2 ；
6
条件③： AB边上的高为 ．
2
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分．
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19.（本题 14分）如图，在三棱锥B ACD中， AB = 4， AC = AD = 2，
BAC = BAD =120 ， CAD = 60 .
（1）求证： AB ⊥CD；
（2）若点G为 BCD的重心，求证：直线 AG不垂直于平面BCD；
（3）请直接写出三棱锥 A BCD的体积（不用写求解过程）.

20.（本题 15分）如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面 ABCD， BAD = 90 ，
AB = AD = 2， AP = 4，BC =CD， AC = 4 2 ，E为棱PD的中点. 用．空．间．向．量．坐．标．
法．解．答．以．下．问．题．：
（1）求 AE与 PC所成角的余弦值；
（2）求二面角E AB D的余弦值；
7 2
（3）在棱PC上是否存在点M ，使得二面角M AB E的余弦值为 若不存在，
10
PM
请说明理由；若存在，求 的值.
PC
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21（本题 15分）在n n(n 2) 个实数组成的n行n列的数表中，aij 表示第 i行第 j列的
数，记 ri = ai1 + ai2 + + ain (1 i n)， c j = a1 j + a2 j + + anj (1 j n) .若
aij { 1,0,1} (1 i, j n) . 且 r1,r2 , ,rn ,c1,c2 , ,cn 两两不等，则称此表为“ n阶H
表”.记Hn = r1, r2 , , rn ,c1,c2 , ,cn .
（1）请写出一个“2 阶H 表”；
（2）对任意一个“n阶H 表”，若整数 [ n,n]，且 Hn，求证： 为偶数；
（3）求证：不存在“5 阶H 表”.
高二年级数学第一学段考试 2025 年 10 月 第 8 页，共 8 页

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