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数学（三）
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. 1 C. D. 0
2. 以下四个图形是四个省市的，是轴对称图形的是（ ）
A B.
C. D.
3. 下列问题适合使用全面调查（普查）的是（ ）
A. 检测重庆市的饮水质量
B. 检查音乐节进场观众是否携带违禁品
C. 调查一批盲盒的质量达标情况
D. 了解全国学生每天的运动量
4. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，若的周长为，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知二次函数，其图象上有两点，，则和的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不能判断
7. 用大小相同的棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有颗棋子，第②个图案中有颗棋子，第③个图案中有颗棋子，第④个图案中有颗棋子，……以此类推则第⑧个图案中，棋子的个数是（ ）
A. B. C. D.
8. 为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为，若小南周四跳绳量为个，则小南周日跳绳量关于的函数关系式为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，正方形中，点为线段上一点，满足，连接，点为线段上一点，过点作交于点，交延长线于点，若，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
10. 已知四次方程，，，，都是非零整数．则下列说法中，正确的个数为（ ）
①若与是方程的两个实数根，则；
②若，且，为整数，则符合条件的情况有2种；
③若该方程存在4个实数根记，，，，若，则．
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 重庆市统计局发布的数据显示年初我市常驻人口约人，数据“”用科学记数法表示为________．
12. 某中学运动会设置了跑步、跳远和跳绳三个参赛项目，学生可随机选择其中一个项目报名参加．现甲、乙两名同学分别从这三个项目中随机选取一个报名参加，他们同时选中跑步项目的概率是________．
13. 如图，中，，．若比的倍还多，则的度数为______．
14. 如图，菱形的顶点在反比例函数图象上，点在轴上，点，在轴上，且为的中点，若，则的值为________．
15. 如图，已知矩形中，，，连接，点、分别在边，上，将四边形沿线段翻折，点，的对称点分别为，．若点恰好落在线段上，且．则__________，__________．
16. 对于任意一个四位正整数，若满足千位数字比百位数字大，个位数字比十位数字大，且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“叁叁数”．将“叁叁数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记．则最小的“叁叁数”是______；已知，都是“叁叁数”，其中，（，，，且，，，，均为整数），若为完全平方数，且满足除以的余数为，则的值为______．
三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 解不等式组：，并写出所有整数解．
18. 在学习了三角形和平行四边形相关知识后，小明发现：在等腰中，，点是的中点，过点作交的延长线于点，的平分线与延长线相交于点，连接，则四边形为菱形．请根据他的思路完成以下作图和推理填空：
（1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交延长线于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：四边形为菱形．
证明：∵，
∴______，
∵是的中点，
∴，
在和中，
∴
∴______，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ______，
∵，
∴，
∵，
∴四边形平行四边形，
∵，
∴平行四边形菱形；
小明进一步研究发现：若，则四边形为_________．
四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 近日，榨菜咖啡走红网络，咖啡主理人受涪陵榨菜三腌三榨传统工艺启发，将榨菜的咸鲜与咖啡的醇苦融合，形成“咸引醇，脆衬柔”的复合体验．主理人准备推出新品“浮云沉香”，招募了一批咖啡体验员，分成了青年组和中年组两组，分别对“浮云沉香”打分．从这两组对咖啡的喜爱度打分中各随机抽取了个体验员的打分（百分制），并对数据进行整理、描述和分析（分数用表示，分为四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息：
抽取的青年组的打分：
66，68，76，77，79，79，84，85，86，86，86，86，90，92，94，94，95，97，100，100；
抽取的中年组打分在组的数据：
，，，，，，．
抽取的对“浮云沉香”的打分情况统计表
组别 平均数 中位数 众数 组所占百分比
青年组
中年组
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________；________；
（2）根据以上数据，你认为咖啡正式上市后，会更受青年、中年哪个年龄段的人喜欢？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若共有人对咖啡进行打分，估计其中打分在等级的人数．
21. 某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍．
（1）求、两款水杯的售价分别是多少元？
（2）十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？
22. 在矩形中，，，点是的中点，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从出发，以每秒0.5个单位长度的速度沿折线运动，当、两点相遇时，立即停止运动．设运动时间为秒，的面积为，线段的长与点的运动路程之比为．
（1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
23. 周末小南和小开相约爬山（图为山的截面图，山脚处的点、在同一水平线上），在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为，斜坡米，坡度为，水平观景步道米，山顶到山底的垂直高度为米．（参考数据：，，，）
（1）求的长度；
（2）入口在水平道路中点处，若小南和小开从点同时出发，小南由的线路到达山顶，小开由的线路到达山顶，若小南的平路速度为米分，小南的爬山速度为米分，小开的平路速度为米分，小开的爬山速度为米分（小开在斜坡，斜坡的速度相同），请问谁先到达山顶处？请通过计算说明理由．（结果保留小数点后一位）
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点，连接，设的面积为，的面积为，点是轴上的动点，连接，当取得最大值时，求的最小值；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程．
25. 在中，，将绕点逆时针旋转至，连接交于点．
（1）如图，点是的中点，连接，若，，求的长度；
（2）如图，当时，延长与的角平分线交于点，连接，连接与交于点，求证：；
（3）如图，在（）的条件下，在线段上取一点，使得，将绕点逆时针旋转至，连接．若，当最小时，请直接写出点到直线的距离．
数学（三）
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】C
【9题答案】
【答案】D
【10题答案】
【答案】B
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】##100度
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】 ①. ②.
【16题答案】
【答案】 ①. ②.
三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
【17题答案】
【答案】解集为：；整数解为：，
【18题答案】
【答案】（1）作图见解析；
（2）；；；正方形．
四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
【19题答案】
【答案】化简结果为：；值为：
【20题答案】
【答案】（1），，；
（2）更受中年组年龄段的人喜欢，理由：中年组中位数高于青年组中位数，中年组众数高于青年组中位数（答案不唯一）；
（3）估计其中打分在等级的人数为人．
【21题答案】
【答案】（1）A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元
（2）A款水杯降低了6元
【22题答案】
【答案】（1），
（2）图象见解析，的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
（3）
【23题答案】
【答案】（1）米
（2）小开先到达山顶处，理由见解析
【24题答案】
【答案】（1）抛物线表达式为；
（2）
（3）3或
【25题答案】
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）．

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