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广东省八校联盟2026届高三上学期质量检测（二）
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数为虚数单位的虚部是( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，若与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线上的点到其焦点的距离为，若点在第一象限，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
6.若正四棱台上、下底面的面积分别为，，高为，则此四棱台的体积与表面积的数值之比为( )
A. B. C. D.
7.某单位国庆期间有天假期，现安排甲、乙、丙人值班，每人至少值班一天，每天只安排一人值班，且甲不安排在第一天值班的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.如果数列对任意的，，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则( )
A. B.
C. 的外接圆的周长为 D. 为钝角三角形
10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，用表示不超过的最大整数，例如，已知，则下列说法错误的是( )
A.
B. 为奇函数
C. 为上的增函数
D. 与图象所有交点的横坐标之和为
11.双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线被双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一焦点已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，点是双曲线上一点，是双曲线右支上一点，由点射出光线到点，经点反射出光线，平分，交轴于点下列结论正确的是( )
A. 双曲线的方程为
B. 若，则的面积为
C. 点的坐标为
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一组数据的线性回归方程为，若，则______．
13.已知是圆：上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦方程为，则______．
14.若函数的最小值为，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，其中且．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的最小正周期和单调递减区间．
16.本小题分
某罐中装有除颜色外完全相同的个红球和个绿球，每次随机摸出个球．
若每次都是不放回地摸球，连续摸两次，求在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率；
若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸得红球记分，摸得绿球记分，设四次摸球总得分为，求的分布列与数学期望．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，．
证明：平面平面；
若，，，，，，，在同一个球面上，球心为．
求与平面所成角的正弦值；
设，为的中点，且，，，四点共面，求实数的值．
18.本小题分
已知函数，．
求函数的单调区间；
求函数的极值点个数；
证明：．
19.本小题分
已知椭圆的两个焦点与两个顶点四点共圆，且长轴长与焦距之差为．
求椭圆的方程
按下面方法进行操作：过点作两条互相垂直且不与坐标轴重合的直线与，直线交椭圆于，两点，直线交椭圆于，两点，令弦与的中点分别为与，直线与轴交于点，记的坐标为．
(ⅰ)若为等比数列，证明：为等比数列
(ⅱ)若，求．
参考答案
1.
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14.
15.解：Ⅰ由已知得，
，其中，
，．
Ⅱ由Ⅰ可得，函数
，
函数最小正周期为．
令，求得，
可得函数的减区间为，．
16.解：记第一次摸得红球为事件，第二次摸得红球为事件，
，，
所以；
易知，
故，，
，，
，
所以的分布列为：
．
17.解：证明：因为平面，平面，所以，
又，平面，平面，，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
在四边形中，因为，，，
故；
又，，则，所以，
结合，则，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由知平面，平面，故，
因为，，，在同一个球面上，且为直角，即可得的中点到的距离均相等，
故为外接球直径，则球心为的中点，
则，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，所以，
设与平面所成角为，
则；
因为分别为的中点，所以，
所以，，由知，
，
，，，四点共面，存在实数，，使得，
即，
，解得．

18.单调递增区间为，递减区间为．
函数有唯一的极值点．
证明见详解
19.解：易知焦点和长轴顶点共线，不共圆，故焦点和短轴顶点共圆，所以．
由长轴长与焦距之差为得，即．
由及，解得，．
故椭圆的方程为．
证明：易知直线与的斜率存在且不为．
设直线的方程为，，，，，
则的斜率，
联立方程组
整理得，
则，，
所以，，
同理可知，，
又，所以，，
因为，，三点共线，
所以，
所以，
因为为等比数列，设其公比为，所以通项公式为，
所以，
故是首项为，公比为的等比数列．
解：由的结论以及可知，为首项为，公比为的等比数列，
所以．
所以，
则，
故．
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