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四川省绵阳市 2026 届高三上学期第一次诊断性考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | > 1}， = { | 2 ≤ 4}，则 ∩ =( )
A. [2, + ∞) B. (1,2] C. [1,2) D.
2.设命题 : ∈ ， = sin ，则 :( )
A. ∈ ， = sin B. ∈ ， ≠ sin
C. ∈ ， = sin D. ∈ ， ≠ sin
3.已知 ， ， 均为实数，则下列说法正确的是( )
A.若 > ，则 > B.若 > ，则 >
C.若 < < 0 1 1 ，则 < D.若 > ， ≠ 0，则 2 < 2
4.下列函数中，是偶函数，且在( ∞,0)上单调递减的是( )
A. = 2 B. = 2 C. = 2 D. = log2
5.已知 + log23 = 0，则2 + 2 =( )
A. 13 B.
10
3 C. 2 3 D. 3
6.已知 为第二象限角，且 tan( ) = ，则 sin =( )
A. B. C. 1 D. 1
2+1 2+1 2+1 2+1
7.如图，某池塘里浮萍的面积 (单位： 2)与时间 (单位：周)的关系为 = ( 为常数)，则下列说法中正
确的是( )
A.浮萍每周的面积与上周面积之比不为定值
B. = 4 时，浮萍面积就会超过 20 2
C.浮萍每周增加的面积都相等
D.若浮萍面积为 2 2，3 2，6 2时所对应的时间分别是 1， 2， 3，则 1 + 2 = 3
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8.已知函数 ( ) = + log ( > 0, > 0 且 ≠ 1)，若 ( )在 = 2 处取得极值为 1，则( )
A. ln + 1 = 0 B. (ln ln2) 1 = 0
C. (ln ln2) + 1 = 0 D. (ln ln2) + 1 = 0
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知定义在 上的偶函数 ( )，满足 ( + 2) ( ) = (1)，当 ∈ (0,1)时， ( ) = ln ，则( )
A. (1) = 0 B. ( 52 ) = ln2
C. ( 12 ) > (
5
3 ) D.若 (0) = 1，则
20
=1 ( ) = 10
10.已知数列{ }共有 5 项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，且 3 = 80， 2 + 4 = 136， 1 + 5 =
132.若{ }的前 项和为 ，则下列选项可能正确的是( )
A. 1 = 180 B. 3为最大项
C. 3 = 140 D.数列 3， 4， 5的公差为 64
11.已知函数 ( ) = cos2 sin2 ， ( ) = cos2 + sin2 ， ≥ 2 且 ∈ ，则( )
A.函数 ( )

的一个周期为 B.函数 2( )在[0, 2 ]上单调递减
C.曲线 = ( )关于 = 4对称 D.函数 ( )与函数 ( )的最大值相等
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知数列{ }的通项公式为 = sin
( +1)
4 ，则 2 = ．
13.若 > 0， > 0， + = 2，则 2 + 2的最小值为 ．
14 ( ) = 2, ≥ 0,.已知函数 2 则使不等式 ( ) > (
2)成立的 的取值范围是 ．
, < 0,
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1
已知函数 ( ) = cos( )，其中 ∈ (0, )，且 ( ) = 2．
(1)求函数 ( )的解析式;
(2)将函数 ( ) 的图象向右平移6个单位后得到函数 ( )的图象，若 ( ) = 2 ( ) ( )，求函数 ( )的单调
递增区间．
16.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = | + | ，其中 ， ∈ .
(1)若函数 ( )为 上的奇函数，求函数 ( )的解析式;
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(2)若 = 2 + 1，当 ≥ 1 时， ( ) > 0，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 4 = 6 2 8， 2 = 2 + 3 1．
(1)求数列{ }的通项公式;
(2)试探究：在数列{ }中取三个不同的项，能否构成等比数列 请说明理由．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3 + 2 + 有两个不同的极值点 1， 2( 1 < 2).
(1)求证：函数 ( )有 3 个相异零点;
(2) 22若 ( 1) + ( 2) = 27，求实数 的值;
(3)若 ( ) = ( 2)( ≠ 2)，求实数 的最大值．
19.(本小题 17 分)
(1)已知 ≥ 12，函数 ( ) = (1 )(
1) .证明：当 ≥ 0 时， ( ) ≤ 0;
(2)设函数 ( ) = ln( )与 ( ) = 1的图象分别为 1， 2.点 ( , ln( ))在 1上，且 < 1， 1在点
处的切线交 2于点 ( , 1)， < 1． 2在点 处的切线交 1于 +1，由此构造出点列 ， ( ∈ ).
1
已知 1( 2 , ln 2 ).
(ⅰ)证明： +1 > ;
(ⅱ)求[ =1 ]，其中[ ]表示不超过 的最大整数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 22
13.2
14.( 1,0) ∪ (0,1)
15.解：(1)由题意，函数 ( ) = cos( )，且 ( ) = 12，代入得：
( ) = cos( ) = cos = 12，
1
因此 cos = 2。
又 ∈ (0, ) ，故 = 3。
所以函数 ( ) 的解析式为 ( ) = cos 3 。
(2)
( ) ( ) = = cos 将 的图象向右平移6个单位，得： 6 6 3 = cos 2 。

由诱导公式 cos 2 = sin ，故 ( ) = sin 。
( ) = 2 ( ) ( ) = 2cos 3 sin
= 2( 12 cos +
3
2 sin )sin = (cos + 3sin )sin
= 1 sin 2 + 3 1 cos 2 = 1 3 32 2 2 sin 2 2 cos 2 + 2
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= sin (2 3 ) +
3
2 。
2 令 2 ≤ 2 3 ≤ 2 + 2 ( ∈ )。
解不等式：
2 + ≤ 2 2 ≤ 2 左边界： 2 3 6 12 ≤ ；
5
右边界：2 ≤ 2 + 2 + 3 2 ≤ 2 + 6 ≤ +
5
12。
5
因此， ( )的单调递增区间为 12 , + 12 ( ∈ )。
16.解：(1) ∵ ( ) = | + | 为 上的奇函数，
∴ (0) = 0 = 0 = 0，
( ) = ( )对 ∈ 成立，
∴ | + | = [ | + |] | | = | + |
2 2 + 2 = 2 + 2 + 2 4 = 0 对 ∈ 成立，
∴ = 0，
∴函数解析式为 ( ) = | |．
(2) ( ) = | + | ( 2 + 1) > 0 对 1
| + | > 2 + 1 对 1 成立，
①当 ≥ 1 时， ( + ) > 2 + 1 2 + 2 1 > 0
令 ( ) = 2 + 2 1( ≥ 1) ，其开口向上，对称轴为 = 2，
≤ 1因 2 2 < 1，则 ( )在[1, + ∞)上单调递增，
故 (1) = 2 + > 0 ( 1) < 0 0 < < 1．
②当 < 1 时，若 ∈ [1, ), ( + ) > 2 + 1 2 + + 2 + 1 < 0
二次函数 ( ) = 2+ + 2 + 1 的判别式 = 2 4( 2+1)= 3 2 4 < 0，
故 ( ) > 0 恒成立，无解，
综上，实数 的取值范围是(0,1)．
17.解：(1)设等差数列{ }的首项为 1，公差为 。
由前 4×3项和公式， 4 = 4 1 + 2 = 4 1 + 6 ， 2 = 2
2×1
1 + 2 = 2 1 + 。
代入 4=6 2 8，得：
4 1+6 =6(2 1 + ) 8
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展开右边：12 1 + 6 8，化简得：
4 1 + 6 12 1 6 = 8 8 1 = 8 1 = 1
由通项公式， 2 = 1 + (2 1) = 1 + (2 1) ，2 + 3 1 = 2 1 + ( 1) + 3 1 = 1 +
2( 1) + 3。
代入 2 = 2 + 3 1，得：
1 + (2 1) = 1 + 2( 1) + 3
化简得：(2 1) = 2( 1) + 3 = 3。
因此，数列的通项公式为： = 1 + ( 1) 3 = 3 + (1 3)
(2)假设存在三个不同的正整数 < < ，使得 , , 成等比数列，则由等比中项性质得：
2 =
代入通项公式 = 1 + ( 1) 3(令 = 1, = 1, = 1，其中 0 ≤ < < 为整数)，得：
2
3 + 1 = 3 + 1 3 + 1
展开左边：3 2 + 2 3 + 1；展开右边：3 + 3( + ) + 1。
两边减去 1 后，分离有理数与无理数部分(因 3为无理数，系数需分别相等)：
有理数部分：3 2 = 3 2 = ；
无理数部分：2 3 = 3( + ) 2 = + 。
由 2 = + 得 = + 22 ，代入 = 得：
+ 2
2 = ( + )
2 = 4 ( )2 = 0 =
但 < (因 < )，矛盾。故不存在这样的三个不同项。
18.解：由 ( ) = 3+ 2 + ，得导数 ′( ) = 3 2 + 2 + 1。
因 ( )有两个不同极值点 1< 2，
故 ′( ) = 0 的判别式 = (2 )2 4 × ( 3) × 1 = 4 2 + 12 > 0，恒成立，即 1, 2存在且 1< 2。
1
由韦达定理， 1 2 = 3 < 0，故 1<0< 2。
因 1, 2是 ′( ) = 0 的根，故 2 = 3 2 1(代入 ′( ) = 0)，将其代入 ( )得：
3 3
( ) = 3 + 2 + = 3 + 3 + = + = (
2+1)
2 2 2 .
( ) = 1(
2 2
因此 1
+1)
1 2 < 0(因 1 < 0)， (
2( 2+1)
2) = 2 > 0(因 2 > 0)。
( )在( ∞, 1)递减( ′( ) < 0)，从+∞降至 ( 1) < 0，故在( ∞, 1)有 1 个零点；
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( )在( 1, 2)递增( ′( ) > 0)，从 ( 1) < 0 升至 ( 2) > 0，故在( 1, 2)有 1 个零点；
( )在( 2, + ∞)递减( ′( ) < 0)，从 ( 2) > 0 降至 ∞，故在( 2, + ∞)有 1 个零点。
综上， ( )有 3 个相异零点。
3 3 3 3
(2)由(1) ( ) = 1+ 1 2+ 2 + + + 知 1 2 ， ( 2) = 2 ，故 ( 1) + ( 2) =
1 2 1 2
2 。
3
3
3
1 + 32 = ( 3
2 1 2 8 2
1 + 2) 3 1 2( 1 + 2) = 3 3 × 3 × 3 = 27 + 3 .
8 3+2 +2 3
代入 ( )得： 27 3 3 = 4 2 1)+ ( 2 2 27 + 3 .
4 3 2 22
由题意 3 327 + 3 = 27，两边乘 27 得 4 + 18 = 22，即 2 + 9 11 = 0。
因式分解得( 1)(2 2 + 2 + 11) = 0，二次因子判别式 = 4 88 = 84 < 0，故唯一实根为 = 1。
(3)由(2)知 = 1，故 ( ) = 3+ 2 + ，且 2 = 1( ′(1) = 3 + 2 + 1 = 0)。
由 ( ) = ( 2) = (1) = 1，得方程：
3 + 2 + = 1 3+ 2 + 1 = 0.
因式分解得：
( 3 2 +1)= ( 1)2( + 1) = 0.
因 ≠ 2 = 1，故 = 1。因此实数 的最大值为 1。
19.(1)证明：函数 ( ) = (1 )( 1) ，
′( ) = ( 1)+(1 ) 1= (1 ) + ( 1)，
令 ( ) = ′( )，则 ′( ) = (1 ) + ( ) = (1 2 )，
因 ≥ 12， ≥ 0，故 1 2 ≤ 0，且
> 0，
此时 ′( ) 0，即 ( )在 0, + ∞ 时单调递减，
由 ≥ 0 时， ( ) (0) = 0，得 ′( ) ≤ 0，
故 ( )在 0, + ∞ 时单调递减，
则当 ≥ 0 时， ( ) ≤ (0) = 0，结论成立．
(2)(ⅰ)证明： = ln = ln + 1，则 ′ = 1 ，
11在点 , 1 + ln 处的切线方程为 1 + ln = ，
即 = + ln ，
可知方程 1 = + ln 在 ∞,1 上的根为 ，
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令 = 1 ln ， ′ =
1 1

，

令 ′ = 1 1 = 0，解得 = 1 ln > 1，
可知当 ∈ ∞,1 ln 时， ′ < 0，此时函数 单调递减，
当 ∈ 1 ln , + ∞ 时， ′ > 0，此时函数 单调递增，
1 = 1 ln ，
= ln + 1 = 1 1 = 1 构造函数 ， ′ ，
则当 0 < < 1 时， ′ > 0；当 > 1 时， ′ < 0；
则 1 = 0，
即 ln + 1 ，当且仅当 = 1 时取等号，
可得 ln 1，则 1，当且仅当 = 1 时取等号，
则 1 > > 1 + ln ，
所以 > 0 = ，且 0 < < 1， < 1，
函数 在 ∞,1 上单调递减，
则 < ．
= 1，则 ′ = 1，
曲线 2在点 , 1 处的切线方程为 1 = 1 ，
即 = 1· + 1 1，
可知方程 ln + 1 = 1· + 1 1在 0,1 上的根为 +1，
令 = ln 1· + 1 1 1，
1 1
则 ′ = 1 ，令 ′ =
1
= 0，解得 =
1 > 1，
当 ∈ 0, 1 时， ′ > 0，函数 单调递增，
当 ∈ 1 , + ∞ 时， ′ < 0，函数 单调递减，
= ln · 1 + 1 1 1 = ln + 1 1 ，
又 1 + ln 1 < < ，
所以 1 = ln + 1 < 0 = +1 ，
又 0 < < < 1，0 < +1 < 1，
函数 在 0,1 上单调递增，
所以 < +1．
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又 < ，
可得 +1 > ．
(ⅱ)由(ⅰ)可知方程 ln + 1 = 1· + 1 1 在 0,1 上的根为 +1，
则 +1 + 1 1 = 1 + ln +1 < +1，
1 1 > = 1 可得 +1 1 1 1 1，
由(1) 1 可知，当 = 2且 > 0 时， 1 2
1 ，

即 1 1 2， > 0，
因为 0 < < < 1，所以 0 < 1 < 1，
则令 = 1 1 ，可得 1 1 1 1 + 1 2 = 2 2，
所以 > 1+ > 1 + +1 2 2 2 2，
即 1 +1 1 > 2 1 ，
则 2 时， 1 > 1 2
1
1 1 > 22 2 1 > >
1
2 1 1 1 =
1
2 ，
1
可得 > 1 2 ， 2，
1 1 1 1
则 =1 >
2 2
1 = 1+ 2 > 1， 2，1 2
当 = 1 时，也满足 =1 > 1，
又 < 1，则

=1 < ，
可得 1 < =1 < ， ∈
，
故 =1 = 1．
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