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浙江省浦江中学等三校 2026 届高三第八次联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = 2,3,4,6,8 ，集合 = | = 2 3 ，则 ∩ =( )
A. 4,6,8 B. 3,4,6,8 C. 6,8 D. 2,3,4,6,8
2.若(1 ) = 1 + 3 ( 是复数单位)，则| | =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
3.若 sin 5 112 + = 3，则 cos 2

6 =( )
A. 2 29 B.
2 2 7 7
9 C. 9 D. 9
4.如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是( )
A.平均数=中位数=众数 B.众数<中位数<平均数
C.平均数<众数<中位数 D.平均数<中位数<众数
5 2.( 2 + + )
6的展开式中， 5 2的系数为( )
A. 60 B. 120 C. 240 D. 360
6.大衍数列，中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中
的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史
上第一道数列题．其前 10 项依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第 25 项与第 24
项的差为( )
A. 22 B. 24 C. 25 D. 26
2
7.已知点 1， 2分别为双曲线 : 2
= 1 的左右焦点，过双曲线 上一点 3, 0 作∠ 1 2 2的平分线交
轴于点 ，记△ 1 、 △ 2 的面积分别为 1、 2，内切圆半径分别为 1，
1 2
2，则 =( )1 2
A. 2 + 2 33 B. 2 +
3
3 C. 1 +
2 3 3
3 D. 1 + 3
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8.定义在 上的奇函数 = ( )，满足 (2) = 0，且当 > 0 时，不等式 ( ) < ′( )恒成立，则函数
( ) = ( ) lg| 1|的零点的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ， 是两个随机事件，0 < < 1，下列命题正确的是( )
A.若 ， 相互独立，则 =
B.若事件 ，则 = 1
C.若 ， 是对立事件，则 = 1
D.若 ， 是互斥事件，则 = 0
10.已知曲线 上的动点 , 到点 1,0 的距离与其到直线 = 1 的距离相等，则( )
A.曲线 的轨迹方程为 2 = 4
B.已知点 3,2 ，若 为曲线 上的动点，则 + 的最小值为 4
C.过点 1,0 恰有 2 条直线与曲线 有且只有一个公共点
D.圆 2 + 2 = 5 与曲线 交于 ， 两点，与直线 = 1 交于 ， 两点，则 ， ， ， 四点围成的四边形
的面积为 8
11.在四边形 中， = 2 = 2 3， = 2，∠ = ∠ = 90 ，将△ 沿 折起，使点 到达点
1的位置，下面正确的是( )
A.直线 与平面 所成角的最大值为30 1
B.异面直线 1与
1
所成角的余弦值取值范围是[0, 2 ]
C.若平面 1 ⊥平面 ，则 到平面 1
2 21
的距离为 7
D.三棱锥 1 的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积的最小值为 16
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知变量 , 的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现 与 之间具有线性相关关系，利用最小二乘
法，计算得到经验回归直线方程为 = 0.8 + ，据此模型预测当 = 10 时 的值为 ．
5 6 7 8 9
3.5 4 5 6 6.5
13.已知数列{ }和{ }满足 1 = 1， 1 = 0，4 +1 = 3 + 4，4 +1 = 3 4，则 = ．
14.已知集合 = 1,2,3,4 ，现独立地随机选取集合 的两个非空子集 、 ( 与 可以相同)，则事件“集合
中的最大元素小于集合 中的最小元素”的概率为 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在 中，角 , , 所对的边分别为 , , , sin = 3 cos ．
(1)求 ；
(2) 2 2点 在边 上， 平分∠ ，若 = 4, = 3 ，求 的周长．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为梯形， // , = 2, = = 1， 为等边三角形，
为 的中点，且平面 ⊥平面 ， ⊥ ．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
已知公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 , 4 = 16，且 2, 5, 14依次成等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2)对于任意 ∈ , 2 ≥ ，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知曲线 上任一点到两个定点 1,0 和 1,0 的距离和为定值 4．
(1)求 的方程；
(2)过点 1,0 的直线 (斜率存在且不为 0)与 交于 ， 两点， 关于 轴的对称点为 ．
(ⅰ)证明：直线 过定点 ；
(ⅱ)对于(ⅰ)中的点 ，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知常数 > 0 2 ，函数 ( ) = ln(1 + ) +2．
(1)讨论 ( )在区间(0, + ∞)上的单调性；
(2)若 ( )存在两个极值点 1， 2，且 1 + 2 > 0，求 的取值范围．
(3) ∈ 2 + 2 2设 ，证明：( 2+1)2 ( 3+ 2)2 + + ( +1+ )2 < ln + 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.7.4
13.2 1
14. 17225
15.解：(1)因为 sin = 3 cos ，
由正弦定理得 sin sin = 3sin cos ，
又 sin > 0 ，所以 tan = 3，

由于 0 < < ，则 = 3 ．
(2)因为 = + ，
1
所以 2 sin∠ =
1
2 sin∠ +
1
2 sin∠ ，
即 3 = + = 2 23 + ，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 = ( + )2 3 ，
所以 3( + )2 2 6 + 48 = 0 ，
解得 + = 2 6 4 6，或 + = 3 (舍去)，
所以 + + = 4 + 2 6，即 的周长为 4 + 2 6．
16.(1)证明：如图，取 中点 ，连接 ， ，
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在正三角形 中， ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
∵ 平面 ，
∴ ⊥ ．
在梯形 中， = ，∴四边形 为平行四边形，
∴ / / ，又∵ ⊥ ，∴ ⊥ ，
又 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ．
如图建立空间直角坐标系 ，
则 0, 1,0 ， (1, 1,0)， 0,0, 3 ， 0, 12 ,
3
2 ， 0,1,0 ，
= 1,0,0 ， = 0,1, 3 ， = 0, 3 32 , 2 ，
∵ = 0 ， = 0 ，
∴ ⊥ 且 ⊥ ，且 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
(2)解：由(1)可知 (1,0,0)，
∴ = ( 1,1,0)， = ( 1, 1 , 3 2 2 )， = ( 1,0, 3)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= + = 0 = 1
则 ，令 = 1 ，则 ，即
= (1,1, 3)，
= 1 + 3 = 0 = 32 2
直线 与平面 所成角 ∈ [0, 2 ]，
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| 则 sin = |cos( , )| = | = 2 = 5，
| || | 2× 5 5
5
即直线 与平面 所成角的正弦值为 5 ．
17.解. (1)设等差数列{ }的公差为 ，
由已知可得( + 4 )21 = ( 1 + )( 1 + 13 )，因为 ≠ 0，
解得 = 2 1，又 4 = 4 1 + 6 = 16 1 = 16，
得 1 = 1， = 2，
所以 = 2 1．
(2)由(1)可知 = 2 1，则 2 = ，
2
由 2 ≥ 可得 ≥

2 ，
2 2 2 2
= = ( +1) = +2 +1 ( 1)
2+2
令 2 ， +1 2 +1 2 2 +1 = 2 +1 ，
当 1 ≤ ≤ 2 时， +1 > 0，
当 ≥ 3 时， +1 < 0，
{ 9 9则数列 }的最大项为 3 = 8，故 ≥ 8，
9
即实数 的取值范围为[ 8 , + ∞).
18.解：(1)因为 4 > 2，由椭圆定义可知，曲线 为以( 1,0)和(1,0)为两焦点的椭圆，
其中 2 = 4， = 1，解得 2 = 4， 2 = 2 2 = 3，
2 2
故 的方程为 4 +

3 = 1；
(2)(ⅰ)依题意可设直线 的方程为 = + 1( ≠ 0)，
设 1, 1 ， 2, 2 ， 2, 2 ．
= + 1
联立得 2 +
2 得 3 2 + 4 2 + 6 9 = 0，
4 3 = 1
6 9
由韦达定理得 1 + 2 = 3 2+4， 1 2 = 3 2+4，
则直线 的方程为 1+ 21 = 1 ，1 2

即 = 1+ 2 + = 1+ 2 1 1 1 +
1 2 1+ 2
1 + =
2 1+ 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1+
，
2
+ +1 + +1 2 + +
其中 2 1 1 2 2 1 1 2 + = + =
1 2 1 2
1 2 1 2 1+ 2
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18
2 +
6
= 3 +4 3 2+4 6 = 4，
3 2+4
+
则直线 的方程为 = 1 2 1
( 4)，
2
故直线 过定点 (4,0)；
(ⅱ) = 4 1, 1 ， = 4 2, 2 ，
= 4 1 4 2 + 1 2 = 3 1 3 2 + 21 2 = + 1 1 2 3 1 + 2 + 9
2
= 2 + 1 9 18 213 2+4+ 3 2+4+ 9 = 12 3 2+4，
因为 2 ∈ (0, + ∞) 21 21 21 27，所以3 2+4 ∈ 0, 4 ，12 3 2+4 ∈ 4 , 12 ，
27
所以 的取值范围为 4 , 12 ．
19. (1) ( ) = 4 ( +2)
2
= 4(1+ )
2 4(1 )
解： ′ 1+ ( +2)2 (1+ )( +2)2 = (1+ )( +2)2，
因为(1 + )( + 2)2 > 0，
所以当 1 ≤ 0 即 ≥ 1 时， ′( ) ≥ 0 恒成立，则函数 ( )在(0, + ∞)单调递增;
当 0 < < 1 时，由 ′( ) = 0，得 2 4(1 ) = 0，
= 2 (1 ) = 2 (1 )解得 1 ， 2 ，
2 (1 )
因为 > 0，所以函数 ( )在区间(0, )，单调递减，
在( 2 (1 ) , + ∞)单调递增，
综上，当 ≥ 1 时，函数 ( )在(0, + ∞)单调递增；
2 (1 ) 2 (1 )
当 0 < < 1 时，函数 ( )在区间(0, )，单调递减，在( , + ∞)单调递增；
(2)函数 ( ) 1的定义域为( , + ∞)，
由(1)， ≥ 1 时，函数 ( )在(0, + ∞)单调递增，没有两个极值点;
当 0 < < 1 时，令 ′( ) = 0 = 2 (1 ) 2 (1 )，解得 1 ， 2 = ，
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[ 2 (1 )
2
因为 ]2 ( 1 )2 = (2 1) 2 ，
所以当 ∈ (0, 1 ) ∪ ( 1 , 1) [ 2 (1 ) ]2 < ( 12 2 时， )
2，
2 (1 ) 1从而 > ，
此时， 1 =
2 (1 ) = 2 (1 ) ， 2 为函数 ( )的两个极值点，
代入 ( 1) + ( 2) > 0，可得
4 1 4 1
( 1) + ( 2) = ln[1 + 2 (1 )] + ln[1 2 (1 )] 2 1 +2 2 1 +2
= ln[1 4 (1 )] 4(1 )2 1 = ln(1 2 )
2 + 22 1 2，
令 2 1 = ，记 ( ) = ln 2 + 2 2，
当 ∈ (0, 12 )时， ∈ ( 1,0);当 ∈ (
1
2 , 1)时， ∈ (0,1)．
( )当 ∈ ( 1,0)时， ( ) = 2ln( ) + 2 2 ( ) = 2 2 = 2( 1) ， ′ 2 2 < 0，
所以函数 ( )在( 1,0)上单调递减，
则 ( ) < ( 1) = 4 < 0，即 ( 1) + ( 2) < 0，不符合题意;
( )当 ∈ (0,1)时， ( ) = 2ln + 2 2， ′( ) =
2 2 2( 1) 2 = 2 < 0，
所以函数 ( )在(0,1)上单调递减，则 ( ) > (1) = 0，即 ( 1) + ( 2) > 0 恒成立．
综上 1的取值范围为( 2 , 1);
(3)由(1)，当 = 1 时，函数 ( )在(0, + ∞)单调递增，
(0) = 0 2 又 ，所以 ln(1 + ) > +2 ( > 0)．
2 2( +1 )
因为( +1+ )2 = +1+ )2( +1 )
2( +12( +1 ) 1)= +1+ = ，( +1 1)+2
2( +1
= +1
1)
取 1， ∈
，则 < ln +1 1
( +1 1)+2
= 2 [ln( + 1) ln ]，

2 1
即( +1+ )2 < 2 [ln( + 1) ln ]，
2 2 2
所以( 2+1)2 + ( 3+ 2)2 + + ( +1+ )2
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1
< 2 [ln2 ln1 + ln3 ln2 + + ln( + 1) ln ]
= 12 [ln( + 1) 1] = ln + 1，故得证．
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