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河北省部分校 2026届高三上学期一轮复习阶段性检测（10月月考）
数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 为虚数单位，若复数 + 3 = ( 3) ，则 的虚部为( )
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
2 1 1.已知 ， ， ∈ ，则“ < < 0”是“ 2
2 < 2 2”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知集合 = { | = sin2 }， = { | = 2sin 1}，则 ∩ =( )
A. { |0 ≤ ≤ 1} B. { | 5 6 ≤ ≤ 6 } C. { |0 ≤ ≤ 6 } D. { |

6 ≤ ≤ 1}
4.若关于 的不等式 2 + + > 0 的解集为(1,5)，则关于 的不等式 + + > 0 的解集是( )
A. ( ∞, 15 ) B. (
1
5 , + ∞) C. ( ∞,1) D. (1, + ∞)
5.设 = log0.50.2， = log0.20.5， = log51.5，则 ， ， 的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
6.已知△ 中， = 2， = 1，则△ 面积的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
7.已知函数 ( ) = 2sin( + )( > 0) 的图象与直线 = 3相交，相邻两个交点之间的距离的最小值为2，
则函数 ( )的最小正周期为( )
A. B. 2 C. 3 D. 4
8 ( ) = 2
, ≤ 0,
.已知函数 3 | + |, > 0, ( ) = + 1，若函数 = ( ) ( ) = 0 有四个零点，则实数
的取值范围是( )
A. (2,9) B. (2,8) C. ( 9, 2) D. ( 8, 2)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2
9 2 , > 0,.已知函数 ( ) = 2 , ≤ 0, 下列结论正确的是( )
A. ( 12 ) =
2
2
B.若 ( ) = 1，则 = 0
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C.当 > 1 时， = ( ) 只有一个零点
D. = ( )的图象上存在两对关于原点对称的点
10.若△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 4 + 3 cos( + ) = 0，则下列结论正确的是
( )
A.角 一定为锐角 B. >
C. tan 1 3tan = 4 D. tan 的最大值为4
11.在△ 中， = 1， = 3，∠ = 90 . 为△ 所在平面内的动点，且 = 1，若 = + ，
则下列结论正确的是( )
A. 长度的取值范围为[ 3 1, 3 + 1]
B.若∠ = 3 13，则 = 2， = 2
C. + 3 的最大值为 2
D. 的取值范围为[ 1,3]
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.命题“ ∈ (0, 4 )，(cos )
sin ≤ (sin )cos 的否定为 ．
13.已知向量 = ( 1, + 1)， = (2, 4)，其中 > 0， > 0.若 / / ，则 的最大值为 ．
2
14 ( 1).已知函数 ( ) = sin + ，则不等式 ( 1) > 0 的解集为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知平面向量 ， 满足| | = 3，| | = 2，且( + ) = 1．
(1)求 与 的夹角;
(2)求| + 4 |;
(3)若(2 + ) ⊥ ( )，求 的值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2sin2( + ) cos(2 6 6 ).
(1)求 ( )的最小正周期和单调递增区间;
(2) 3 当 ∈ [ 3 , 4 ]时，关于 的方程 ( ) = 有两个不等实根，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
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已知定义在( ∞,0) ∪ (0, + ∞)上的函数 ( ) 满足 ( ) 2 ( ) = 2 ( )，当 > 1 时， ( ) > 0．
(1)求 (1)的值，并判断 ( )的奇偶性;
(2)证明： ( ) = ( ) + ( );
(3)证明：函数 ( )在( ∞, 1)上单调递增．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = (ln +1) + (ln )2 ( ≥ 0)．
(1)讨论 ( )的零点个数;
(2)若 ( )存在两个极值点 1， 2，证明：当 > 2 时，| ( 1) ( 2)| < 2| 1 2|.
19.(本小题 17 分)
某社区外有一块三角形空地，记为△ ，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 60，∠ = 2∠ ，且
， ， 3 成等差数列．
(1)求∠ 的余弦值;
(2)在 边上取一点 ，将△ 修成荷花池，将△ 修成花园，满足 △ : △ = 1: 2，现过 的中点
修一条社区公路 用于车辆进出社区，其中，点 在边 上，点 在边 上， 为桥梁，造价为 2 3万
元/米， 为公路，造价为 1 万元/米，问：当∠ 为何值时，社区公路造价最低 并求出最低造价．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. ∈ (0, 4 ), (cos )
sin > (sin )cos
13.12
14.(0,1) ∪ (2, + ∞)
15.解：(1) ∵ | | = 3，| | = 2，( + ) = 1， 与 的夹角为 ，
∴ + = 1 + 4 = 1 = 3，
2 3cos = 3 cos = 32 ，
= 5 故 6．
(2)| + 4 |2 = | |2 + 8 + 16| |2
= 3 + 8 × ( 3) + 16 × 4 = 3 24 + 64 = 43，
故| + 4 | = 43．
(3) ∵ (2 + ) ⊥ ( )，
∴ (2 + ) ( ) = 0
2| |2 + (1 2 ) | |2 = 0，
2 × 3+ (1 2 ) × ( 3) × 4 = 0，
= 32．
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16.解：(1) ( ) = 2sin2( + 6 ) cos(2 6 ) = 1 cos(2 +

3 ) cos(2

6 )
= sin(2 + ) cos(2 + ) + 1 = 2sin(2 + 7 5 3 3 12 ) + 1 = 2sin(2 12 ) + 1，
故 ( ) 2 的最小正周期 = 2 = ．
5 11 令 2 + 2 ≤ 2 12 ≤ 2 + 2 ， ∈ ，得 24 + ≤ ≤ 24 + ， ∈ ，
( ) [ + , 11 所以 的单调增区间为 24 24 + ]， ∈ .，
(2)当 ∈ [ , 3 3 4 ]
5 13
时，2 12 ∈ [ 4 , 12 ]，
令 = 2 5 12，
易知函数 = 2sin + 1 [ , 在 4 2 ]上单调递增， ∈ 2, 2 + 1 ，
函数 = 2sin + 1 在[ 13 2 , 12 ]上单调递减， ∈
3 3
2 , 2 + 1
当 ∈ [ , 4 2 ) ∪ (

2 ,
13
12 ]时，函数 = 2sin + 1 的图象与直线 = 有两个交点，
即关于 的方程 2sin + 1 = 有两个不等实根，
也即关于 的方程 ( ) = 有两个不等实根，此时 2sin + 1 ∈ [2, 2 + 1)，
故实数 的取值范围是[2, 2 + 1)．
17.解：(1)令 = 1， = 1，代入函数方程得：
(1 × 1) 12 ( 11 ) = 2 × 1 × (1)，即 (1) (1) = 2 (1)，化简得 0 = 2 (1)，故 (1) = 0。
令 = ，代入函数方程得：
( 2) 2 (1) = 2 ( )，因 (1) = 0，故 ( 2) = 2 ( )。
将 替换为 ，得 (( )2) = 2 × ( ) ( )，即 ( 2) = 2 ( )。
结合上述两式：2 ( ) = 2 ( )，两边除以 2 ( ≠ 0)，得 ( ) = ( )，
故 ( )是定义在( ∞,0) ∪ (0, + ∞)上的奇函数。
(2)由函数方程 ( ) 2 ( ) = 2 ( )，得 ( ) =
2 ( ) + 2 ( )。
令 = = 1， ，代入函数方程得：
( × 1 1 2 ) ( ) ( 1 ) = 2 (
1
)，即 (
1
) 2 ( ) = 2 (
1
)。

将 ( ) = 2 ( ) + 2 ( )代入左边，化简得：
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( )
1 2
2 ( ( ) + 2 ( )) =
2 ( )
2 ，
2 ( ) 1 1 ( )故 2 = 2 ( )，两边除以 2 ( ≠ 0)，得 ( ) = 2 。
1 1 1 1
将 视为 × ，结合待证结论，若 ( ) = ( ) + ( )成立，则 ( ) = ( × ) = ( ) + ( )。
1
代入 ( ) =
( )
2 ，得：
( ) = ( ) + × (
( ) ( ) ( )
2 ) = 2 。

将其代入 ( ) = 2 ( ) + 2 ( )，得：
( ) = 2 × ( ( ) ( ) 2 ) + 2 ( ) = ( ) ( ) + 2 ( ) = ( ) + ( )，故结论成立。
(3)
( )
构造辅助函数 ( ) = ( ≠ 0)，由(2)的结论 ( ) = ( ) + ( )，两边除以 ( ≠ 0)得：
( ) = ( ) ( ) + ，即 ( ) = ( ) + ( )。
( ) ( ) = ( ) = ( ) = ( )由 是奇函数，得 = ( )，故 ( )是偶函数。
当 > 1 时， ( ) > 0 ( )且 > 0，故 ( ) = > 0。
任取 11> 2 > 1，令 = ( > 1)，则 1= 2。由 ( ) = ( ) + ( )，得：2
( 1)= ( 2)= ( )+ ( 2)。
因 > 1，故 ( ) > 0，因此 ( 1)= ( )+ ( 2)> ( 2)，即 ( )在(1, + ∞)上单调递增。
任取 1< 2 < 1，令 1 = ， 2 = ( > > 1)。由 ( ) = ( )，得：
( 2) ( 1) = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) + ( )(因 是偶函数， ( ) = ( )， ( ) =
( ))。
因 > > 1， ( )在(1, + ∞)上单调递增，故 ( ) > ( ) > 0。又 > > 0，
故： ( ) ( ) > ( ) ( ) = ( ( ) ( )) > 0( > 0, ( ) ( ) > 0)。
因此 ( 2) ( 1) = ( ) ( ) > 0，即 ( 2)> ( 1)，故 ( )在( ∞, 1)上单调递增。
18.解：(1) ( ) = ( ln ) + 2ln = ln (2 )′ 2 2 ( > 0, ≥ 0)．
①若 = 0，则 ( ) = ( )2，只有一个零点．
②若 0 < < 2 ，当 0 < < 2和 > 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增;

当2 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减．
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当 → 0+时， ( ) → ∞ ( ，又因为 2 ) > (1) = > 0，
所以 ( )在 0 < < 2时有一个零点，当 ≥ 2时， ( ) ≥ (1) = > 0， ( )无零点，
综上，当 0 < < 2 时， ( )有一个零点．
③若 = 2，则 ′( ) ≥ 0， ( )单调递增，当 → 0+时， ( ) → ∞，
当 →+∞时， ( ) →+∞，所以 ( )有一个零点．
④若 > 2，当 0 < < 1 > 和 2时， ′( ) > 0， ( )单调递增;

当 1 < < 2时， ′( ) < 0， ( )单调递减．
当 → 0+时， ( ) → ∞，又因为 (1) = > 0，
所以 ( )在 0 < < 1 时有一个零点，
当 ≥ 1 时， ( ) ≥ ( 2 ) = 2(ln

2 + 1) + (ln
2
2 ) > 0， ( )无零点，
所以当 > 2 时， ( )有一个零点．
综上， ( )有一个零点．
(2)由(1) 知，当 > 2 时， ( )有两个极值点 1 和2，不妨设 1 = 1， 2 = 2，
| (1) ( )| 2[(ln 2 2)
2+2ln 2+2 ]则问题等价于证明当 > 2 时， |1 | < 2，即|2 2
| < 2，

令 = ln 2，则 = 2
， ∈ (0, + ∞)，
2[(ln )2+2ln 2 2
则 2 2
+2 ]
= +2 +2 2 1 2，令 ( ) = 1 2，
2
( ) = (2 ) 2 2则 ′ ( 1)2 ，令 ( ) =
(2 2) 2 2，
则 ′( ) = ( 2 2 + 2) 2，令 ′( ) = ( )，则 ′( ) = ( 2 4 )，
当 ∈ (0, + ∞)时， ′( ) < 0，则 ′( )单调递减， ′( ) < ′(0) = 0，
则 ( )单调递减，则 ( ) < (0) = 0，则 ′( ) < 0，则 ( )单调递减，
当 →+∞时， ( ) → 2，
2+2
由洛必达法则，lim →0 ( ) = lim →0( 1 2 ) = lim
2 +2
→0 2 = 0，
则 ( ) ∈ ( 2,0).综上，| ( )| < 2，得证．
19.解：(1)因为 ， ， 3 成等差数列， = 60，
所以 + 3 = 2 = 120，得 = 120 3 ，
由∠ = 2∠ ，得 sin = sin2 = 2sin cos ，
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2 2 2
故 = 2 + 2 22 ，得( )( ) = 0，
故 = 或 2 2 = 0，
当 = 时，∠ = ∠ ，又因为∠ = 2∠ ，
故∠ = ∠ = 45 ，∠ = 90 ，
得 = = 60， = 60 2，不满足 ， ， 3 成等差数列，舍去;
当 2 2 = 0 时，得 2 60(120 3 ) (120 3 )2 = 0，
即 2 150 3 + 10800 = 0，解得 = 30 3或 = 120 3，
当 = 120 3时， = 120 3 = 240(舍去);
2+ 2 2 1
当 = 30 3时， = 120 3 = 30，此时 cos = 2 = 2．
(2) 由(1)知∠ = 3，∠ = 6，∠ = 2．
因为 △ : △ = 1: 2，所以 : = 1: 2，故 BD= 20， = 40．
2
= 2 + 1 = 4
2 2
易知 3 3 ，得 9
+ 1 9 = 1300，
所以 = 10 13，则 = 5 13．
在△ 6 3中，由余弦定理知 cos∠ = 39，则 sin∠ = 39，
cos∠ = cos( ∠ ) = sin∠ = 3则 2 39，
sin∠ = sin( 2 ∠ ) = cos∠ =
6
39．
设∠ = ，则∠ = 2 ，其中 为锐角，
当点 与点 重合时， 最小，记为 1，
连接 ，易知 = 1 + 1 2 2 ，
2 1则 =
2
+ 1
2 1
4 4 + 2 = 925，则 = 5 37，
在△ sin = sin∠ 2 3 2 中，由正弦定理可得 1 = 37 < 2 ，故 1 < 4．
当点 与点 重合时， 最大，记为 2，因为 > > ，故 2 > 4．
在△ 中，由正弦定理可得 = sin∠ sin∠ =
5 10 3
cos ，同理， = sin ，
( ) ( ) = 10 3 + 10 3 = 10 3(sin +cos )设社区公路造价为 万元，则 sin cos sin cos ，
2
令 sin + cos = ，则 sin cos = 12 ，
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= sin + cos = 2sin( + 4 )，由 0 < <
3
2得4 < + 4 < 4，
所以 1 < 2sin( + 4 ) ≤ 2，即 1 < ≤ 2，
10 3(sin +cos ) 10 3 20 3
所以 sin cos = = 2 1 1
，
2
易知函数 = 1 在(1, 2]上单调递增，所以 max = 2
1 = 22 2 ，
( ) = 20 3所以 min 2 = 20 6

，此时 = 2，即 + 4 = 2，也即 = 4．
2
综上，当∠ = 4时，社区公路造价最低，最低造价为 20 6万元．
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