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湖北省 2026 届高三上学期 10 月衡水金卷联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1.不等式2025 ≤ 0 的解集为( )
A. { |0 < ≤ 1} B. { |0 ≤ < 1}
C. { | < 0 或 ≥ 1} D. { | ≤ 0 或 > 1}
2.设集合 = { |2 < ≤ 3}， = {2,3,4,5}，则( ) ∩ =( )
A. {2,5} B. {2,4,5} C. {2,4} D. {4,5}
3.已知幂函数 ( ) = ( 2 5 2 + 2) 为偶函数，则 =( )
A. 4 B. 12 C. 2 D. 1
4.已知抛物线 : 2 = 4 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一动点，且在 轴上方， 为 上一动点，且 // 轴，
若| | = 4，则点 的纵坐标为( )
A. 2 3 B. 2 C. 3 D. 3
5.( 1 3)
4的展开式中， 1的系数为( )
A. 54 B. 24 C. 27 D. 54
6.直线 : ( + 1) + (2 + 1) = 7 + 4 与圆 : 2 + 2 6 8 = 0( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.位置关系不确定
7.棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， ， 分别为 ， 的中点，过 1， ， 三点的截面将正方
体分成两部分，则其中体积较小的几何体的体积为( )
A. 19 B. 5 C. 17 724 24 24 D. 24
8.函数 ( ) = cos + 12 cos2 在区间[0,2 ]上的最大值为( )
A. 38 B.
3
2 C.
3
4 D.
3
4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 = 1 + ，则( )
A. | | = 2 B.在复平面内， 对应的点位于第四象限
C. = 3+ 2+ 7 D. = 2
10.记甲组样本数据 1， 2， 3， 4， 5( 1 < 2 < 3 < 4 < 5)，乙组样本数据 1， 2， 4， 5，若这两
组样本数据的样本平均数相等，则( )
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A.甲组样本数据的中位数等于乙组样本数据的中位数
B.甲组样本数据的方差小于乙组样本数据的方差
C.去掉 1后，甲组样本数据的极差减小
D.去掉 2后，乙组样本数据的平均数增大
11.已知函数 ( ) = 2 ln( + )，则( )
A. ( )有且仅有一个极值点
B.当 > 1 时， ( )存在两个零点
C.若 ( )存在两个零点，则这两个零点之积大于 0
D.若 ( )存在两个零点，则这两个零点之和大于 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设等差数列{ }满足 3 + 7 = 20， 8 = 4，则{ }的首项为 ．
13.设 cos sin = 2 13 ，则tan + tan = ．
2
14 .已知 1， 2为双曲线 2 = 1 的左、右焦点， 为坐标原点，其上一点 满足 1 ⊥ 2，点 满足 4 =
2 2，则 tan∠ = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，三棱锥 中，平面 ⊥平面 ， ⊥ ， ⊥ ， = 2 = 2 = 2．
(1)求 的长度;
(2)求二面角 的正弦值．
16.(本小题 15 分)
在平面直角坐标系中，已知△ 满足 (0,0)，且 = (4,4 3)， = (6,0)．
(1)求△ 的面积;
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(2)设∠ 的角平分线交 于点 ，求 的长．
17.(本小题 15 分)
2 2
已知椭圆 : 4 + 3 = 1 的左、右焦点分别为 1， 2，过点(4,0)且斜率不为 0 的直线 交 于 ， 两点．
(1)若 是 上一动点，求△ 1 2的周长和 的离心率;
(2)探究| 2| = | 2|该结论是否成立，若成立，求出直线 的方程;若不成立，说明理由．
18.(本小题 17 分)
甲，乙，丙三名同学进行乒乓球比赛.经约定，进行如下 4 场比赛决定胜负关系：
①乙，丙两名同学进行本场比赛，败者落入败者组;
②甲与第 ①场比赛胜者比赛，败者落入败者组;
③败者组两人进行比赛，败者记为第三名;
④第 ②， ③场比赛胜者进行比赛，胜者记为第一名，败者记为第二名．
1
设每场比赛双方获胜的概率均为2．
(1)求乙在败者组比赛中被淘汰的概率;
(2)求甲最终获胜的概率;
(3)从最终三人获得名次的数学期望的角度分析，该比赛规则是否对甲有利
19.(本小题 17 分)
设函数 ( ) = 1 + 2 3 42 + 3 + 4 ，且{ }是以 1 为首项，公比为 ( ≠ 0)的等比数列．
(1)若 = 1，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程;
(2)讨论 ( )的极值点个数;
(3)证明：对任意 ，总存在满足 < 的实数 ， ，使得 ∈ [ , ]时， ( ) ∈ [ , ]．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.18
13.187
14. 811或 8
15.解：(1)作 ⊥ ， ⊥ ，则 = = 1 32， = = 2 ， = 1．
以点 为原点，在平面 内垂直于 的线为 轴， 为 轴，在平面 内垂直于 的线为 轴，建立如图
所示空间直角
则 (0, 12 ,
3 3 3
2 )， ( 2 , 2 , 0)，故
= ( 32 , 1,
3
2 )，
所以| | = 3 3 104+ 1 + 4 = 2 ．
(2)记平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= (0, 1 , 3 2 2 )，
= ( 3 , 32 2 , 0)
则 = 0 + 3 = 0 ，即 ，取 = (3, 3, 1)， = 0 + 3 = 0
= (0,0,1) (9 ) |cos < > | = | | = 1 = 13易知平面 的一个法向量为 ， 分 则 ， | || | 13×1 13 ，
故 sin < >= 2 39 2 39， 13 ，即二面角 的正弦值为 13 ．
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16.解：(1)由题可知 = | | = 42 + (4 3)2 = 8， = | | = 62 + 02 = 6．

则 cos∠ = = 4 6+4 3 0 = 1，
| || | 8 6 2
又∠ ∈ (0, 180 )，故∠ = 60 ．
则△ = 1的面积 △ 2 sin∠ =
1
2 × 8 × 6 × sin60
= 12 3．
(2)由于∠ 的角平分线将△ 的面积分为两部分，
即 △ = △ + △ ，其中 △ 为△ 的面积， △ 为△ 的面积，
设角平分线 的长度为 ．
因为 平分∠ ，所以∠ = ∠ = 30 ．
= 1则 △ 2 sin∠ =
1
2 8 sin30
= 2 ，
1 1 3
△ = 2 sin∠ = 2 6 sin30
= 2 .
+ = 2 + 3故 △ △ △ ，即 2 = 12 3，解得 =
24 3
7 ．
17. (1) 4 3 1解： 易得 的离心率 = 2 = 2，
由椭圆的定义可得△ 1 2的周长为 2 × (2 + 1) = 6；
(2)设 : = ( 4)，由题意得 ≠ 0，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
3 2 + 4 2 = 12,
联立 = ( 4), 得(3 + 4
2) 2 32 2 + 64 2 12 = 0，
故△= ( 32 2)2 4(3 + 4 2)(64 2 12) > 0，
1解得 2 < <
1
2， 又 ≠ 0，
则 12 < < 0 或 0 < <
1
2，
32
2 2
且 1 + 2 = 3+4 2， 1 =
64 12
2 3+4 2 ．
2
设 的中点为 ( , ) = 1+ 2 16 0 0 ，则 0 2 = 3+4 2， 0 = ( 0 4) =
12
3+4 2．
若| 2| = | 2|，由 2(1,0)，
12
=

得 0 = 3+4 2 1 2 1 2 = ，可得 4
2 1 = 4 2，
0 16 1
3+4 2
因为此方程无解，所以结论| 2| = | 2|不成立．
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18. 1解：在全局比赛中，由于每场比赛双方获胜的概率均为2，则乙与丙处于对称的位置，二者在全局比赛中
任意位置的概率均相等，
(1)记事件 :甲在败者组比赛中被淘汰，事件 :乙或丙在败者组比赛中被淘汰，
1 1
考虑事件 发生的概率，甲需要在 ②， ③两场比赛中连续失败，故 ( ) = 2 × 2 =
1
4，
( )
由于事件 与事件 互为对立事件，且乙与丙的位置对称，所以乙在败者组比赛中被淘汰的概率为 = 2 =
1 ( ) = 32 8．
(2)甲最终获胜有如下两种情况：
. 1 × 1 1第 ②， ④场比赛甲全胜，此时概率为2 2 = 4 ;
. 1 1 1 1第 ②场比赛甲失败，第 ③， ④场比赛甲胜利，此时概率为2 × 2 × 2 = 8 ;
1 1 3
由加法原理，甲最终获胜的概率为4+ 8 = 8．
(3)设甲获得的最终名次为 ， = 1，2，3，
由(2)，有 ( = 1) = 38，
1
由(1)，有 ( = 3) = 4，故 ( = 2) = 1 ( = 1) ( = 3) =
3
8，
所以 ( ) = 1 × ( = 1) + 2 × ( = 2) + 3 × ( = 3) = 158 =
30
16，
设乙或丙获得的最终名次为 ， = 1，2，3，由于乙与丙的位置对称，
E( ) = 1 × 1 ( =1) + 2 × 1 ( =2) + 3 × 1 ( =3) = 6 ( ) = 33故 2 2 2 2 16，
30 < 33因为16 16，所以甲的最终获得名次的数学期望比乙或丙更靠前，
故该比赛规则确实对甲有利．
19.解：(1) = 1 时， ( ) = + 2 + 3 + 4， (1) = 4，
′( ) = 1 + 2 + 3 2 + 4 3， ′(1) = 10，
故曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 10 6 = 0．
(2) ∵数列 为等比数列，其中 1 = 1，公比 ≠ 0，
∴ 2 = ， = 2 ， = 33 4 ，∴ = + 2 + 2 3 + 3 4 ，
则 ′ = 1 + 2 + 3 2 2 + 4 3 3 ；
令 = ′ ，则 ′ = 2 + 6 2 + 12 3 2 ，
∵关于 的二元二次方程 2 + 6 2 + 12 3 2 = 0 的判别式 = 60 4 < 0，
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∴当 > 0时， ′ > 0在 上恒成立，即 ′ 在 上单调递增，
又 ′ 0 = 1 > 0 ， 1′ = 2 < 0 ，
∴由函数零点存在定理得： 1′ 在 , 0 内存在唯一零点 0 ，且当 ∈ ∞, 0 时， ′ < 0 ；当 ∈
0, + ∞ 时， ′ > 0；
∴ 在 ∞, 0 上单调递减，在 0, + ∞ 上单调递增，
∴ 有唯一的极小值点 = 0 ，无极大值点，∴ 的极值点个数为 1，
当 < 0 时， ′( ) < 0 在 上恒成立，即 ′( )在 上单调递减，
1
同理 ′( )在区间(0, )内存在唯一零点 0，且 ( )在( ∞, 0]上单调递增，在[ 0, + ∞)上单调递减，
此时 ( )有唯一的极大值点 = 0 ，无极小值点，∴ 的极值点个数为 1，
综上， ( )的极值点个数为 1．
(3)①当 > 0 时， = 2 1 + + 2 2 ≥ 0，当且仅当 = 0时取等号．
当 < 0 时，结合(2)知，在 ,0 上显然有 ≥ 恒成立，
故只需满足 ≤ 0，即 1 + + 2 2 + 3 3 ≤ 0．
设 = 1 + + 2 2 + 3 3 ≤ 0 ，则 ′ = 1 + 2 + 3 2 ，
由 4 2 12 2 = 8 2 < 0及 > 0 得： ′ > 0 恒成立，
∴ 2单调递增．又 0 = 1 > 0 ， = 1 2 + 4 8 = 5 < 0 ，
2
根据函数零点存在定理得：存在唯一的 0 ∈ , 0 ，使得 0 = 0 ．
取 = 0, = 0 ，则 < ．
对任意 ∈ 0, 0 ，有 ≥ 0 = 0 .此时 = ≤ 0，且 ≥ ≥ 0 ，
故 ∈ 0, 0 ，该情况得证．
②当 < 0 时， = 2 1 + + 2 2 ≤ 0，当且仅当 = 0 时取等号．
只需满足 ≥ 0，即 (1 + + 2 2 + 3 3) 0．
设 = 1 + + 2 2 + 3 3 ≥ 0 ，则 ′ = 1 + 2 + 3 2 ，
由 4 2 12 2 = 8 2 < 0及 < 0 得： ′ < 0 恒成立，∴ 单调递减．
2
同理，根据函数零点存在定理得，存在唯一的 0 ∈ 0, ，使得 0 = 0 ．
取 = 0, = 0 ，则 < ．
对任意 ∈ 0, 0 ，有 ≥ 0 = 0 ．
此时 = ≥ 0，且 ≤ ≤ 0 ，
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故 ∈ 0, 0 ；该情况得证．
综上所述，对任意 ，总存在满足 < 的实数 , ，使 ∈ , 时， ∈ , ．
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