资源简介

广东省广州市增城区 2026 届高三 10 月教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数 满足(1 2 ) = 3 + ，则| | =( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
2.已知集合 = { | 2 + 2 > 0}， = { || | < 3}，则( )
A. ∩ = B. ∪ = C. D.
3.已知角 的终边过点 (1, 2)，则 cos2 =( )
A. 4 B. 3 C. 3 45 5 5 D. 5
4.平面向量 ， ， 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为 1，则( + ) =( )
A. 5 B. 1 C. 1 D. 5
5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 血液中酒精含量达
到 20 79 的驾驶员即为酒后驾车，80 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其
血液中的酒精含量上升至 140 /100 .如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度
减少，他至少经过 小时才能驾驶机动车，则整数 的值为( )(参考数值：lg7 ≈ 0.845)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6.已知 > > 0， ∈ ，且 + 4 = 2，则( )
A. 2 > 2 B. +1 1 1 9 2 2 7 +1 > C. + > 2 D. + 16 > 4
7.设 ∈ (0, 2 )， ∈ (0,
) 1 12 ，且tan tan = cos ，则( )
A. 2 = 2 B. 2 + =

2 C. 2 + =

2 D. 2 =

2
8.若 0是方程 ( ( )) = ( ( ))的实数解，则称 0是函数 = ( )与 = ( )的“复合稳定点”.若函数
( ) = ( > 0 且 ≠ 1)与 ( ) = + 1 有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则 的取值范围为( )
A. (0, 1 ) B. ( 14 4 , 1) C. (1,4) D. (4, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
第 1页，共 9页
9.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则( )
A.若 > ，则 sin > sin
B.若 > ，则 cos < cos
C.若 sin2 = sin2 ，则△ 为等腰三角形
D.若sin2 + sin2 + cos2 < 1，则△ 为钝角三角形
10.设公差为 的等差数列{ }的前 项和为 ，数列{ }的前 项和为 ，已知 < 0， 8 = 10，则( )
A.当且仅当 = 9 时， 取得最大值 B.使 > 0 成立的最大整数 = 18
C.当且仅当 = 18 时， 取最大值 D.使 > 0 成立的最大整数 = 34
11.函数 ( )及其导函数 ′( ) ( )的定义域均为 ，函数 的图象关于(0,1)对称，且 ′(1 + ) = ′(1 )，
则( )
A. = ( ) + 为偶函数 B. ′( ) 1 为奇函数
C. ′(0) = 1 D. ′( + 4) = ′( )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.记 为数列{ }的前 项和，若 2 = 3 + 1，则 4 = ．
log2( + 2), 2 < ≤ 2,13.若函数 ( ) =
2 ( )
在( 2, + ∞)上单调递增，则 的取值范围是 ．
, > 2,
14.在△ 中， = 3， = 2， = 2.设 ， 为线段

上的两个动点，且∠ = 6 .则△ 的面积的
取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 2cos2 + 2 3sin cos 1．
(1)求函数 ( )的最小正周期和单调递增区间;
(2) 2将函数 ( )的图象向右平移6个单位，得到函数 ( )的图象.若 ( 2 ) = 3，求 ( )的值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 2 ln ， ∈ .
(1)当 = 1 时，求曲线 = ( )在点(2, (2))处的切线方程;
(2)若 ( )有极小值，且 ( ) ≥ 2 3 ，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
第 2页，共 9页
设△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知△ 的面积为 2 3， = 2，点 在 的延长线上，
且 = ．
(1)若(2 )cos = cos ，求角 和 sin ;
(2)若 2 + 2 = 32，求 的长．
18.(本小题 17 分)
已知等差数列{ }与递增等比数列{ }满足： 1 = 1 = 1， 3 = 2， 4 + 5 = 3．
(1)求{ }和{ }通项公式;
(2)保持数列{ }的各项顺序不变，在 与 +1之间插入 个 3( ∈ )，使它们与数列{ }的项组成一个新
数列{ }，记数列{ }的前 项和为 ，求 100;

, = 2 1,
(3) 记 = 1 (其中 ∈
)，证明：2 =1 < 2．
2 1
, = 2 ,
19.(本小题 17 分)
1
已知函数 ( ) = ln +1．
(1)当 = 1 时，求函数 ( )的单调区间;
(2)若函数 ( )有 3 个零点 1， 2， 3，其中 1 < 2 < 3．
(ⅰ)求实数 的取值范围;
(ⅱ)求证：(3 1)( 1 + 3 + 2) < 2．
第 3页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 40
13.( ∞, 32 ]
14.[6 3 3, 3]
15. 解：(1) ( ) = cos2 + 3sin2 = 2sin(2 + 6 )，
所以函数 ( ) 2 的最小正周期 = 2 = ．
由 2 2 ≤ 2 +

6 ≤ 2 +

2， ∈ ，

解得 3 ≤ ≤ + 6， ∈ ，

所以函数 ( )的单调递增区间为[ 3 , +

6 ]( ∈ )．
(2) ( ) = 2sin(2 6 )， 由 (

2 ) = 2sin(
2
6 ) = 3，得 sin( 6 ) =
1
3．
( ) = 2sin(2 + 6 ) = 2sin(2( 6 ) +
) = 2cos[2( )] = 2[1 2sin22 6 (

6 )] =
14
9
16.解：(1)因为 = 1，所以 ( ) = 2 2ln ，定义域为(0, + ∞)，
′( ) = 2 2 ，所以 ′(2) = 4 1 = 3，
又因为 (2) = 4 2ln2，
故曲线 = ( )在点(2, (2))处的切线方程为 3 2 2ln2 = 0．
(2)函数 ( ) = 2 2 ln ， ∈ ，定义域为(0, + ∞).
第 4页，共 9页
( ) = 2 2 = 2
2 2
′ ，
当 ≤ 0 时，因为 > 0，所以 ′( ) > 0，
此时 = ( )为单调递增函数，没有极小值，与题意不符;
当 > 0 时， ′( ) = 2 2 = 2( + )( ) ，
令 ′( ) = 0， 1 = ， 2 = (舍去)，
当 ∈ (0, )时， ′( ) < 0，
当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) > 0，
所以函数 ( )有最小值为 ( ) = 2 ln = ln .
又 ( ) ≥ 2 3 ，所以 ( ) ≥ 2 3 ，
即 2 3 + ln 2 ≤ 0，
因为 > 0，所以 2 2 + ln 2 ≤ 0.
设 ( ) = 2 2 + ln 2，则 ′( ) = 4 + 1 > 0，
所以 ( ) = 2 2 + ln 2 在(0, + ∞)上单调递增，
又 (1) = 0，
所以 2 2 + ln 2 ≤ 0 的解集为(0,1]，
即 的取值范围是(0,1]．
17.(1)由正弦定理得(2sin sin )cos = sin cos ，
化简得 2cos sin = sin cos + cos sin = sin( + ) = sin ，
又因为 0 < < ，则 sin ≠ 0 1，可得 2cos = 1，即 cos = 2，
且 0 < < ，所以 = 3．
在 中， 1△ = 2 sin∠ =
1
2 × 2 × ×
3 3
2 = 2 = 2 3
解得 = 4，因为 = ，所以 = 4，
在△ 2 中，∠ = 3，
2 = 2 + 2 2 cos∠ = 28，解得 = 2 7
2×sin2
由正弦定理得 sin = 3 = 21．2 7 14
(2)在△ 与△ 中，
由余弦定理得
2 = 2 + 4 2 × × 2 × cos∠ ，
2 = 2 + 4 2 × × 2 × cos∠
因为∠ + ∠ = ，所以 cos∠ = cos∠
第 5页，共 9页
整理得 2 2 + 8 = 2 + 2，
而 2 + 2 = 32，则 = 2 3，
△ 1在 中， △ = 2 × 2 × 2 3 × sin∠ = △ = 2 3．
解得 sin∠ = 1，所以∠ = 2，
所以 = 4
18.解：(1)设等差数列 的公差为 ，等比数列{ }的公比为 ，
1 + 2 = 1 1
由题意得 1 + 3 + 1 + 4 = 2， 解得 = 1， = 3 或 = 4， = 2，
因为等比数列{ }递增， 1 = 1，所以 > 1，所以 = 1， = 3
所以 = ， 1 = 3 ．
(2)设在数列 的前 100 项中，来自 的有 项，若 100 = ，
1
则应有 + 1 + 3 + 32 + + 3 2 = 100，整理可得 + 3 12 = 100，无整数解，不满足题意．
= 3 + 1 + 3 + 3
2 + + 3 2 < 100
若 100 ，则应有 + 1 + 3 + 32 + + 3 1 100 ,
当 = 5 时，满足题意，即数列 前 100 项包含 1， 2， 3， 4， 5及 95 个 3，
所以 100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 95 × 3 = 300．
(3)当 = 2 1 时， = = 3 1，设 = 1 + 3 + 5 + . . . + 2 1，
= 1+ 3 + 5 1 32 34 + . . . +
2 1
32 2，
1 1 3 2 3 2 1
9 = 2 + 4 + . . . + +3 3 32 2 32
1
8 1
9 = 1 +
2 2
32 + 34 + . . . +
2 2 1 2 9 1 2 1
32 2 32 = 1 + 32 1 1
32 ，
9
8 = 5 ( 5 + 2 ) 1 < 5 < 459 4 4 9 4，即 32
1 1 1 1 1
当 = 2 时， = 2 1 = ( 1)( +1) = 2 ( 1 +1 )
第 6页，共 9页
设 = 2 + 4 + . . . + 2
1 1 1 1 1 1 1 1
= 2 (1 3+ . . . + 2 1 2 + 1 ) = 2 (1 2 + 1 ) < 2
+ < 45 1所以 32 + 2 =
61
32，所以
2
=1 < 2．
19.解：(1)(1)当 = 1 时， ( ) = ln 1 +1，定义域为(0, + ∞)，
1 2 2 +1
′( ) = 2 = 2 > 0( + 1) ( + 1)
所以函数 ( )的单调递增区间为(0, + ∞)，无递减区间；
(2)(ⅰ)因为 (1) = 0，
若函数 ( )有 3 个零点，
此时 ( )除 1 外还有两个不同的零点，
2
可得 2 +(2 2) + ′( ) = ( +1)2 = ( +1)2 ，
令 ( ) = 2 + (2 2) + ，函数定义域为(0, + ∞)，
当 < 0 时， ( ) < 0 在(0, + ∞)恒成立，
所以 ′( ) < 0， ( )在(0, + ∞)上单调递减，
此时 ( )在(0, + ∞)上只有 1 个零点，不符合题意；
当 > 0 时，
因为 ( )除 1 外还有两个零点，
所以 ( )不单调，
所以 ( )存在两个零点，
此时 = (2 2)2 4 2 > 0，
1
解得 0 < < 2，
当 0 < < 12时，
设 ( )的两个零点为 ， ( < )，
可得 + = 2 2 > 0， = 1，
所以 0 < < 1 < ，
当 0 < < 时， ( ) > 0， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 < < 时， ( ) < 0， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 时， ( ) > 0， ′( ) > 0， ( )单调递增，
第 7页，共 9页
又 (1) = 0，
所以 ( ) > 0， ( ) < 0，
1 1 1 1 1
因为 ( ) = 1 1 = 2 < 0 ( ) = 1 11 ， =
2 > 0，
+1
1 1 1
+1 +1 +1
1 1又 < 1， > 1，
1 1
所以存在 1 ∈ ( , ), 3 ∈ ( , )，使得 ( 1) = ( 3) = 0，
则函数 ( )有 3 个零点 1， 2 = 1， 3，
(0, 1综上所述，实数 的取值范围为 2 )；
( 1ⅱ)证明：由(1)知 ( ) + ( ) = 0，
1
即 ( ) = ( )，
若 ( ) = 0，
1
此时 ( ) = 0，
1
所以 1 = ，3
2
当 > 1 时，设 ( ) = 3( 1) 2+4 +1，
1 12( 2+ +1) ( 1)4
可得 ′( ) = ( 2+4 +1)2 = ( 2+4 +1)2 > 0，
所以 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
则 ( ) > (1) > 0，
> 1 3(
2 1)
即当 时，不等式 > 2+4 +1恒成立，
因为 ( 3) = 0，
1 3 ( 2 1)
所以 3 3 3+1
= 3 > ， 23+4 3+1
因为 3 > 1，
1 > 3 ( 3+1)所以 3+1 2
，
3+4 3+1
即 23 + 4 3 + 1 > 3 ( 23 + 1) ，
对等式两边同除以 3，
可得 3 + 4 +
1 1
> 3 ( 3 + 2 + )，3 3
第 8页，共 9页
即 1 + 3 + 4 > 3 ( 1 + 3 + 2)．
故(3 1)( 1 + 3 + 2) < 2．
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑