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陕西省安康市联考 2026 届高三上学期顶尖计划（一）
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若全集 = ∈ N 0 < < 7 ，集合 = {1,3,4,5,6}， = {1,2,4,5}，则 ∩ =( )
A. {1,2} B. {2} C. {2,3} D. {6}
2.命题“ ∈ (1, + ∞)， 2 > 2 ”的否定是( )
A. ∈ (1, + ∞)， 2 < 2 B. ∈ (1, + ∞)， 2 ≤ 2
C. ∈ ( ∞,1], 2 ≤ 2 D. ∈ ( ∞,1], 2 ≤ 2
, > 0
3.已知函数 ( ) = { 3 12 则 =( ) 2 + 3, 0 3
A. 6 B. 2 C. 2 D. 6
4 2 5.不等式 +2 ≤ 1 的解集是( )
A. 2 ≤ ≤ 7 B. ≤ 7
C. 2 < ≤ 7 D. > 2
5.若向量 = (4, 1)， = (1,3)，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. 310 ,
1
10 B.
3
10 ,
1 C. 1 310 10 , 10 D.
1 3
10 , 10
6.已知函数 ( ) = 2 + 2 ′( )， ′( )为 ( )的导函数， ( )的图象在点(1, (1))处的切线方程为 = +
3，则 (1) =( )
A. 10 B. 9 C. 8 D. 6
7.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0)存在一个极大值点 1和一个极小值点 2，使得点 1, 1 和
, 7 32 2 之间的距离不大于 6 ，则 的最小值为( )
A. 2 3 B. 4 3 C. 2 3 2 3 3 3 D. 7
8.已知锐角 ， 满足 sin( + 2 ) = 12，cos(2 + ) =
3
4，则 cos( ) =( )
A. 21 3 B. 3 3+ 78 8 C.
3 3 7 D. 21+38 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若向量 ， 满足| | = | + 2 | = 1，( + ) = 0，则( )
A. = 1 B. | | = 1 C. | + | = 2 D. //
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10.若函数 ( ) = sin + cos ( ∈ ) 满足对 ∈ ，都有 ( 3 ) = ( )，则( )
A. = 3 B. = 33
C. ( + 6 )是偶函数 D. ( ) [
3 , 7 在 2 6 ]上单调递减
11 ( ) ( ).对于定义域关于原点对称的函数 ( )，称“ ( ) = 2 ”为 ( )的奇分解函数，“ ( ) =
( )+ ( )
2 ”为 ( )的偶分解函数，则下列说法正确的是( )
A. ( )， ( )分别为奇函数、偶函数
B. ( )cos 的奇分解函数为 ( )cos
C. ( )sin 的偶分解函数为 ( )sin

D.若 ( ) ( ) = e e的奇分解函数为 e +e ，偶分解函数为 ( ) =
1 1
2+| |，则 = 2025 ( ) +
2025
=1 ( ) =
2025
1013
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.如图，在矩形 中， 为 的中点， 为 的中点.若 = + ，则 + = ．
13. 指标在金融、物理等学科具有重要应用.在进行正态分布的合理调整之后，可得一种 模型
的定价公式： = ( ∈ )，其中 代表期权的初始合理价格与金融资产现价之差， 为执行价格，
为利率， 为期权的有效期.已知 = 6000， = ln2， 2 = 4 1，则 2 1 = ．
14 1 2.已知 > 0， < 0， = 2 + 8，则 2 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2
先将函数 ( ) = cos 图象上的所有点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，并将图象上所有点
的纵坐标变为原来的 3 倍，横坐标不变，得到函数 ( )的图象．
(1)求 ( )的解析式；
(2)设函数 ( ) = ( ) + ( )，求 ( )的值域及最小正周期．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 1 2+1满足 (0) = 1， (1) = 3．
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(1)求 ， 的值；
(2)判断 ( )的奇偶性，并求不等式 ( 1) > (3 2 )的解集．
17.(本小题 15 分)
在平面直角坐标系 中，点 (3,2), ( + 1, ), ( , 2 )．
(1)若 = 11， = 18，证明： // ；
(2)若 = 2 ， ⊥ ，求 cos∠ ；
(3)若不同三点 , , 共线，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 = 2， 2 2 = ．
(1)证明：sin = 2sin( )；
(2) 1若 sin( ) ≥ 2，求 的面积．
19.(本小题 17 分)
( ) = ln( ) ( ) = 已知函数 ， e ，其中 ≠ 0．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)当 1 ≤ ≤ 2 时， ( ( )) ≥ ln 2，求实数 的取值范围；
(3)若存在不等实数 1和 2，满足 1 = 2 ，且 2 1 < 2 < 3 1，求 1 + 2 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.34/0.75
13.2
14.9
15.解：(1)将函数 ( ) = cos 图象上的所有点向右平移2个单位长度，
得到 = ( ) 22 的图象，再向上平移3个单位长度，
得到 = ( 2 ) +
2
3的图象，并将图象上所有点的纵坐标变为原来的 3 倍，

横坐标不变，得到 ( ) = 3[ ( 2 ) +
2
3 ] = 3 + 2 的图象，
所以 ( ) = 3sin + 2；
3 1
(2) ( ) = ( ) + ( ) = cos + 3sin + 2 = 10 sin + cos + 2
10 10
= 10sin( + ) + 2(其中 sin = 110 , cos =
3
10 )，
所以当 sin( + ) = 1 时， ( )取得最大值 2 + 10；
当 sin ( + ) = 1 时， ( )取得最小值 2 10，
所以 ( )的值域为 2 10, 2 + 10 ；
最小正周期为 2 ．
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16.解：(1)因为 (0) = 1， (1) = 13，
= 1 = 1
所以 1，解得 ；
+1 = 3 = 2
(2)由(1)得 ( ) = 12 2+1 , ∈ ，
( ) = 1所以 2 2+1 = ( )，
所以函数 ( )为 上的偶函数；
任取 1, 2 ∈ (0, + ∞)， 1 < 2，
则 ( 1) (
1 1
2) = 2 21+1 2 22+1
2
= 2 2 2
2
1
2 ，(2 1+1)(2
2
2+1)
= 2( 2 1)( 2+ 1)，
(2 21+1)(2
2
2+1)
因为 2 > 1 > 0，
所以 2 1 > 0, 2 + 2 21 > 0，2 1 + 1 > 0,2 2 + 1 > 0，
所以 ( 1) ( 2) > 0，
即 ( 1) > ( 2)，
所以函数在(0, + ∞)上单调递减，
又因为函数 ( )为 上的偶函数，
所以函数在( ∞,0)上单调递增，
所以不等式 ( 1) > (3 2 )，
等价于| 1| < |3 2 |，
平方得 2 2 + 1 < 4 2 12 + 9，
整理得：3 2 10 + 8 > 0，
即(3 4)( 2) > 0，解得 < 43或 > 2，
所以不等式 ( 1) > (3 2 ) 4的解集为( ∞, 3 ) ∪ (2, + ∞)．
17.(1)解：当 = 11， = 18，可得点 (3,2)， (12,18)， (18,22)，
则 = (3,2), = (6,4)，因为 3 × 4 2 × 6 = 0，所以 // ，所以 // ．
(2)解：若 = 2 ，可得 (3,2)， (2 + 1, )， ( , 4 )，则 = (3,2), = ( 1,3 )，
因为 ⊥ ，可得 = 3( 1) + 2 × 3 = 3 3 + 6 = 3 3 = 0，
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解得 = 1，此时 (3,2), (3,1), (1,4)，则 = (0,1), = ( 2,3)，
cos∠ = 0×( 2)+1×3 3 3 13所以 = =1× ( 2)2+32 13
= 13 ．
(3)解：由点 (3,2), ( + 1, ), ( , 2 )，可得 = ( 2, 2), = ( 3,2 2)，
因为 , , 三点共线，则 // ，可得( 2)(2 2) ( 2)( 3) = 0，
整理得 2 5 = 2 2 6 2，其中 ≠ 2, ≠ 3，
又因为 2 5 = ( 5 )22
25
4 ≥
25
4，
所以 2 2 6 2 ≥ 254且 2
2 6 2 ≠ 6，
8 2 24 + 17 ≥ 0 2 3 + 2 ≠ 0 = 6 2 6+ 2整理得 且 ， 1 4 , 2 = 4 ，
由不等式 8 2 24 + 17 ≥ 0 ≤ 6 2 6+ 2，解得 4 或 ≥ 4 ，且 ≠ 1,2，
6 2 6+ 2所以实数 的取值范围为( ∞,1) ∪ (1, 4 ] ∪ [ 4 , 2) ∪ (2, + ∞)．
18.解：(1)证明：因为 = 2, 2 2 = ，
所以 2 2 + 2 2 cos = ，即 2 + 4 cos = ，
所以 = 4cos 1，
2 4cos 1
由正弦定理sin = sin 可得sin = sin( + )，
所以 2sin( + ) = sin 4cos 1 ，
即 2sin cos + 2cos sin = 4sin cos sin ，
所以 sin = 2sin cos 2cos sin = 2sin( )；
(2)由(1)sin = 2sin( )，又 sin( ) ≥ 12，所以 sin ≥ 1，
所以 sin = 1 ，又 ∈ (0, )，所以 = 2，
所以 sin( ) = cos = 1 2，又 ∈ (0, 2 )，所以 =

3，所以 = 6，

2
由正弦定理sin = sin 可得 =
6
= 1，2
所以 =
1
2 sin =
1 × 2 × 1 × 3 = 32 2 2 ，
即 3的面积是 2 ．
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19.解：(1)因为 > 0，故当 > 0 时，定义域为(0, + ∞)；
当 < 0 时，定义域为( ∞,0)，
′( ) = 1 ln( ) ′( ) = 0 = e求导得 2 ，令 ，解得 ，
若 > 0 e：当 ∈ (0, )时，
′( ) > 0， ( )单调递增；
当 ∈ ( e , + ∞)时，
′( ) < 0， ( )单调递减；
若 < 0：当 ∈ ( ∞, e )时，
′( ) < 0， ( )单调递减；
e
当 ∈ ( , 0)时，
′( ) > 0， ( )单调递增；
(2) ( ) = ′ 1 函数 e 的导数为 ( ) = e ，
故 ( )在( ∞,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减；
且 ln 2 = ln2 = ln42 4 ，而 (ln2) =
ln2 ln2 ln4 ln2
eln2 = 2 , (ln4) = eln4 = 2 ，
因此 ( ( )) ≥ ln 2等价于 ( ( )) ≥ (ln2) = (ln4)，
结合 ( )的单调性，需 ln2 ≤ ( ) ≤ ln4 在 ∈ [1,2]恒成立，
ln( )
由 ≤ ln4，得 ≤ 4
4 4，即 ≤ ，在[1,2]上， 的最小值为 4，故 ≤ 4；
ln( )
由 ≥ ln2，得 ≥ 2
2，即 ≥ ，在[1,2]
2
上， 的最大值为 2，故 ≥ 2；
综上， 的取值范围为 2,4 ；
(3)由 1 = 2 且 1 ≠ 2，又 2 1 < 2 < 3 1，
所以 1 < 1 < 2，
设 2 = 1 + ( > 0)

，则 1
1+
e 1 = e 1+ ，整理得 1 = e 1，

结合 2 1 < 2 < 3 1，得 ∈ (ln2, ln3)
e +1
，此时 1 + 2 = e 1，
由于 ( )在(1, + ∞)上单调递减，计算边界值：
当 = ln2 时， 1 + 2 = 3ln2， (3ln2) =
3ln2
8 ；
= ln3 2ln3当 时， 1 + 2 = 2ln3， (2ln3) = 9 ；
2ln3 3ln2
因此， 1 + 2 的取值范围为 9 , 8 ．
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