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河南省光山县第二高级中学 2026 届高三上学期第一次段测考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .若集合 = 2, + , 0 ，集合 = , , 1 ，且 = ，则
2023 + 2024 =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
2.不等式 2 + 4 4 < 0 对于 ∈ 恒成立，则 的取值范围是( )
A. 1 < ≤ 0 B. 1 < < 0 C. 1 ≤ < 0 D. 1 ≤ ≤ 0
3.下列选项正确的是( )
2
A. +3若 ∈ ，则 的最小值是 2
2+2
B.若 > 1 ，则 2+4的最小值为 0.25
C.若 < 0 ，则 + 的最小值为 2
D. 2 1若正实数 , 满足 + 2 = 1，则 + 的最小值为 8
4
2, ≥ 0
.已知函数 ( ) = 2 ，若存在 ∈ [4,10]，使
2 ≤ 9 ( )，则 的取值范围是( )
, < 0
A. [ 5,2] B. [ 4,1] C. [4,10] D. ( ∞,2]
5.已知 min{ , }表示{ , }中的较小值，若 > 0， > 0，则 min , 2+4 2 的最大值是( )
A. 2 B. 1 C. 22 D.
1
2
6 .已知等差数列 的前 项和 满足： 2025 < 2024 < 2026，则数列{ }的最小项是第( )项．
A. 2026 B. 2027 C. 4048 D. 4049
7.函数 ( ) = 2 4 + 3的值域为( )
A. ( ∞,3] B. [1,3] C. ( ∞,1] ∪ [3, + ∞) D. ( ∞,1] ∪ (2,3]
8 1.已知函数 ( ) = ( 1 2 ) 2
2 + 2 在 上单调递增，则 的最小值是( )
A. 1e B.
1 1
2e C. 2 D.
1
e
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正实数 、 满足 = + 2 + 6，则下列说法正确的有( )
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A. 的最大值为 18 B. + 2 的最小值为 12
C. 2 + 13 D. 1 + 4 1的最小值为 2 ( +1)2的最小值为2
10.已知数列 98 的通项公式为 = 99，前 项积为 ，则下列说法正确的是( )
A.在数列 中， 10是最大项 B.在数列 中， 9是最小项
C.数列 单调递减 D.使 取得最小值的 为 9
11.设定义在 上的函数 ( )与 ( )的导函数分别为 ′( )和 ′( )，且 ( + 2) = (1 ) + 2， ′( ) =
′( + 1)，且 ( )的图像关于点(1,0)对称，则( )
A. (1) = 1 B. ′(4 ) + ′( ) = 0
C. (4 ) = ( ) D. ( + 4) ( + 4) = ( ) ( )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若函数 ( ) = ln + 2 ′(1)，则曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线的斜率为 ．
13 2 + .已知 > 0， > 0， + 2 = 2，则 的最小值为 ．
14.已知函数 ( ) = 2025 + log 22025 + 1 + 2025 + 2，则不等式 (3 + 1) + ( ) > 4 的解集
为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设命题 :实数 满足 < < 3 ，其中 > 0，命题 :实数 满足 2 < ≤ 3．
(1)若 = 1，且 , 均为真命题，求实数 的取值范围；
(2)若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
设数列 1 满足 1 = 3, +1 = +1 + +1．
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)给定正整数 ，设函数 ( ) = 1 + 2 2 + + ′ ，求 ( 3)．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 + ln ( ∈ (0,1))， ∈ (0,1)．
(1)当 = e 时，求 ( ) = e ( )在 0, (0) 处的切线方程．
(2)讨论函数 ( )的单调性；
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(3)若 ( ) > e ln 对 ∈ (0,1)恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
定义在(0, + ∞)上的函数 ( )满足下面三个条件：①对任意正数 ， ，都有 ( ) + ( ) = ( )；②当 > 1
时， ( ) < 0；③ (2) = 1
(1)求 (1)和 14 的值；
(2)试用单调性定义证明：函数 ( )在(0, + ∞)上是减函数；
(3)若对任意 ∈ [2,3]， (4 2 + 4) + 2 < ( )恒成立，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
对于函数 ( )在其定义域内存在实数 0，使 0 = 0成立，则称 0是 ( )的一个不动点．已知函数 ( ) =
2 ( + 1) + 2 ( ≠ 0), ( ) = 1．
(1)当 = 1, = 2 时，求函数 ( )的不动点；
(2)当 = 2 时，若函数 ( )有两个不动点为 1, 2，且 0 < 1 < 1, 2 > 1，求实数 的取值范围：
(3)若函数 ( )的不动点为 1,2，且对任意 1 ∈ 1,2 ，总存在 2 ∈ 1,1 ，使得 1 2 = 1 成立，求实
数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13.92
14. 14 , + ∞
15.解：(1)由 < < 3 ，
当 = 1 时，1 < < 3，
即 为真命题时，
实数 的取值范围是 1 < < 3．
又 为真命题时，
实数 的取值范围是 2 < ≤ 3，
所以，当 , 均为真命题时，
1 < < 3,
有 2 < ≤ 3,解得 2 < < 3，
所以实数 的取值范围是 2 < < 3 ．
(2) 是 的充分不必要条件，
即 且 ．
设 = ≤ 或 ≥ 3 ，
= ≤ 2 或 > 3 ，
则
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所以 0 < ≤ 2 且 3 > 3，即 1 < ≤ 2．
所以实数 的取值范围是 1 < ≤ 2 ．
16. 1解：(1)证明：在数列 +1 中， 1 = 3, = +1 + ( +1)，
∴ ( + 1) +1 = + 1，
即( + 1) +1 = 1,
∴ 是以 1 = 3 为首项，1 为公差的等差数列．
(2)由(1)知数列 是首项为 3，公差为 1 的等差数列．
∴ = 3 + 1 × ( 1) = 1 + 2 ，即 ，
在 ( ) = 2 21 + 2 + + 中， ( ) = 3 + 2 + + 1 +
2

，
′( ) = 3 + 4 + + ( + 2) 1，
∴ ′( ) = 3 + 4 2 + + ( + 2) ，
当 ≠ 1 且 ≠ 0 时，
∴ (1 ) ′( ) = 3 + + 2 + + 1 ( + 2) = 3 + 1
1

1 ( + 2) ，
∴ ′( ) = 3 1
1 ( +2)
1 + (1 )2 1 ，
1
当 = 3 ′( 3) = 3 + ( 3) 1 ( 3) ( +2)( 3)时， 1+3 (1+3)2 1+3
= 3 3 ( 3)

( +2)( 3)
9 (4 +9)( 3)
4 16 16 4 = 16 ．
17.(1)解：当 = e 时， ( ) = e 2 + lne ，
所以 ′( ) = e 2 + lne + e 2 + lne ， (0) = 0，
所以 ′(0) = lne = 1，即切线斜率为 = 1
所以 ( )在 0, (0) 处的切线方程为 = ．
(2)解：因为 ( ) = 2 + ln ( ∈ (0,1))， ∈ (0,1)，
ln
所以 ′( ) = 2 + ln ，令 ′( ) = 2 + ln = 0 得 = 2 ，
ln
所以当 = 2 ≥ 1，即 0 < ≤ e
2时， ′( ) < 0 在区间 ∈ (0,1)恒成立，函数 ( )在(0,1)上单调递减；
当 = ln < 1 e 2 < < 1 ∈ 0, ln 2 ，即 时， 2 时， ′( ) < 0 ∈
ln
， 2 , 1 时 ′( ) > 0，
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所以函数 ( )在 0, ln ln 2 上单调递减，在 2 , 1 上单调递增，
综上，当 0 < ≤ e 2时，函数 ( )在(0,1)上单调递减；
e 2 < < 1 ( ) 0, ln 当 时，函数 在 2 上单调递减，在
ln
2 , 1 上单调递增．
(3)解：因为 ( ) > e ln 对 ∈ (0,1)恒成立，
所以 2 + ln > e ln 对 ∈ (0,1)恒成立，
+ln > ln ∈ (0,1) ln e
ln
所以 e 对 恒成立，即 e > 对 ∈ (0,1)恒成立，
( ) = ln 设 0 < < e
1 ln
，则 ′( ) = 2 > 0 在 0, e 上恒成立，
所以函数 ( )在 0, e 上单调递增，
所以 e > 对 ∈ (0,1) 恒成立，即 > e 对 ∈ (0,1)恒成立，

设 ( ) = e , ∈ (0,1)，则 ( ) =

e , ∈ (0,1)，
1
所以 ′( ) = e > 0 在(0,1)

上恒成立，故函数 ( ) = e 在(0,1)上单调递增，
所以 ( ) < (1) = 1e，所以 ≥
1
e，
因为 ∈ (0,1) 1，所以e ≤ < 1，即实数
1
的取值范围为 e , 1
18.解：(1)令 = 1, = 2 有 1 + 2 = 2 ，得 1 = 0．
令 = 12 , = 2 有 2 +
1
2 = 1 = 0，又 (2) = 1
1
，得 2 = 1．
1 1 1
又令 = = 2，得 2 + 2 =
1
4 = 2．
(2)证明：任取 1, 2 ∈ 0, + ∞ 且 1 < 2，
则 = 2 = 2 = 21 2 1 1 1 1 ，1 1 1
因 2 21, 2 ∈ 0, + ∞ 且 1 < 2，则 > 1，得 > 0，1 1
则 1 2 > 0，故函数 ( )在(0, + ∞)上是减函数．
(3)由(1)知 14 = 2，则由 (4
2 + 4) + 2 < ( )可得 2 + 1 < ．
由 ∈ [2,3]以及 ( )的定义域为(0, + ∞)可得 > 0．
由(2)知函数 ( )在(0, + ∞)上是减函数，则由 2 + 1 < 可得 2 + 1 > ．
因 2 + 1 > ， ∈ 2,3 1，则 < + ．
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要使任意 ∈ [2,3]， (4 2 + 4) + 2 < ( )恒成立，
只需 < + 1 ，其中 ∈ 2,3 ．min
令 = + 1 ，任取 1, 2 ∈ 2,3 且 1 < 2，
则 1 1 1 2 11 2 = 1 + 2 1
= 1 2 ，2 1 2
因 1, 2 ∈ 2,3 且 1 < 2，则 1 2 < 0， 1 2 1 > 0， 1 2 > 0，
则 1 <
5
2 ，故 在 2,3 上单调递增，则 min = 2 = 2，
得 < 52．
5
综上 的取值范围是 0, 2 ．
19.解：(1)函数 ( )的不动点即为 ( ) = 0 的实数根，
当 = 1, = 2 时，问题转化为方程 2 4 = 0 的实数根，解得 = 0 或 = 4，
所以函数 ( )的不动点为 0 和 4；
(2)由题意可得方程 2 2 ( + 1) + 2 = 有两个不相等的实数根，
即 2 2 ( + 2) + 2 = 0 有两个不相等的实数根 1, 2，且 0 < 1 < 1, 2 > 1，
设 ( ) = 2 2 ( + 2) + 2 ，
(0) = 2 > 0
令 (1) = 2 ( + 2) + 2 < 0，解得 1 < < 2，
所以实数 的取值范围为(1,2)；
(3)由题意可知 1，2 为方程 ( ) = 即 2 ( + 2) + 2 = 0 的两根，
1 + 2 = +2
则
1 × 2 = 2
，解得 = 4, = 6，

从而 ( ) = 4 2 + 5 + 8，
1
因为对任意 1 ∈ [1,2]，总存在 2 ∈ [ 1,1]，使得 1 2 = 1 成立，即 = 2 ，1
1
由题可知 的值域是 2 值域的子集，1
因为 ( ) = 4 2 + 5 + 8 在[1,2]上是减函数，则 ( ) ∈ [2,9]，
1 1 1
即 的值域为 9 , 2 ，1
因为 ( ) = 1 且 ∈ [ 1,1]，
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当 = 0 时， ( ) = 1，不合题意舍，
当 > 0 时， ( ) = 1 在[ 1,1]上是增函数，则 1 ≤ ( ) ≤ 1，
1
1 1 1 ≤
因为 9 , 2 [ 1, 1]，则
9
1，解得 ≥
3
1 ≥ 2
，
2
当 < 0 时， ( ) = 1 在[ 1,1]上是减函数，则 1 ≤ ( ) ≤ 1，
1 1 1 ≤
1
3
因为 9 , 2 [ 1, 1]，则
9，解得 ≤ ，
1 ≥ 1 22
故 3 3的取值范围是 ≤ 2或 ≥ 2．
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