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江西省江西师范大学附属中学 2026 届高三上学期素养测试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 ( ).已知函数 ( + 2)的定义域为( 3,4)，则函数 ( ) = 3 1的定义域为( )
A. 1 , 2 B. 13 3 , 2 C.
1 1
3 , 6 D. 3 , 6
2.对于任意 ∈ ， 2 + 2 + 2都有意义，则实数 的取值范围是( )
A. ≥ 2 B. 0 < ≤ 2 C. 0 ≤ ≤ 2 D. 0 ≤ ≤ 4
3.设非零向量 、 满足| | = 2| |, | + | = 3| |，则向量 与 的夹角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
4.已知 2 + 5cos2 = cos ，cos(2 + ) = 45， ∈ (0,

2 )
3
， ∈ ( 2 , 2 )，则 cos 的值为( )
A. 45 B.
44 44 4
125 C. 125 D. 5
5.已知 三个内角 , , 所对的边分别为 , , , tan + tan = 3tan tan 3，点 是线段 上一点，
且 平分∠ 1 1，若 = 1，则 + =( )
A. 2 B. 3 C. 12 D.
3
3
6 ( ) =
2 + 2 , ≤ 0,
.已知函数 ln( + 1), > 0.若 ( ) ≥ ，则 的取值范围是( )
A. ( ∞,0] B. ( ∞,1] C. [ 2,1] D. [ 2,0]
7.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数 = sin ，我们听到的声
1
音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数 ( ) = sin + 2 sin2 ，则下列结论正
确的个数有( )
① ( )的图象关于直线 = π对称；② ( ) π π在 4 , 4 上是增函数；
3 3 27 2
③ ( )的最大值为 4 ；④若 ( 1) ( 2) = 16，则| 1 2| = 3．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.已知函数 ( )的定义域为 ，满足 ( + ) + ( ) = ( ) ( )，且 ( )不为常数函数， (1) = 0，则
2026 =1 ( ) =( )
A. 2 B. 2 C. 2026 D. 2026
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知向量 = (2,1)， = ( 1, )，下列结论正确的是( )
A.若 ⊥ ，则 = 2
B.若 // 1，则 = 2
C.若 ， 的夹角为钝角，则 < 2
D.设 在 方向上的投影向量为 ，则| |的取值范围为[0, 5]
10.已知 , , 分别为 内角 , , 的对边，下面四个结论正确的是( )
A.若 = 3 , = 3
3
，且 有一解，则 = 2
B.在锐角 中，不等式 sin > cos 恒成立
C. cos = cos 若sin sin ，则 为等腰三角形
D.若∠ = 120°， = 3，则 + 的最大值为 2 3
11.已知 > > 0 > > 0 ， ，ln +1 = ln +1 = 1.1，(1 ln ) = (1 ln ) = 0.9，则( )
A. + > 2 B. + > 2 C. 1 1 > D. > 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 2cos
2 1
.化简： = ．
tan 4 sin
2
4+
13.在 中，已知

= 9，sin = cos sin ， = 6， 为线段 上的点，且 = +
3 4
，则 + 3 的最小值为 ．
14 1.若关于 的方程 ln + = 2 + 有实根，则 2 + 22 4 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2π
如图，扇形 所在圆的半径为 2，∠ = 3 ， 为弧 的中点，动点 ， 分别在线段 ， 上运动(包
含端点)，且总有 = ，设 = ， = ．
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(1)若 = 2 3 ，用 ，
表示 ；
(2)求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
如图，四棱台 11 1 1 1的下底面和上底面分别是边 4 和 2 的正方形，侧棱 1上点 满足 1 = 3．1
(1)证明：直线 1 //平面 1 ；
(2)若 1 ⊥平面 ，且 1 = 3，求直线 1与平面 1 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
某企业对 2023 年上半年的月利润情况进行调查统计，得到数据如下：
月份 1 2 3 4 5 6
净利润 (万元) 5 10 26 50 96 195
根据以上数据，绘制了散点图．
(1)根据散点图判断， = e 与 = + ( , , , 均为大于零的常数)哪一个更适宜作为描述 与 关系的
回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果求出 关于 的回归方程；
(3)已知该企业的产品合格率为 90％，现随机抽取 9 件产品进行检测，则这 9 件产品中合格的件数最有可
能是多少？
参考数据：
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6
6 6 6
2
= 1 1
=1 2 =1 =1
3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01
其中 = ln ．
参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程 = + 的系数公式为，


= =1 ， = ．
2
=1
18.(本小题 17 分)
2 2 6
等轴双曲线 : 2 2 = 1 的顶点，到其渐近线的距离为 2 .过点 ( 3,0)作斜率为 ( > 0)的直线 ， 与
的左、右支分别交于点 ， ．
(1)求 的方程;
(2) 1若 = 2，且
= ，求 的值;
(3) 1 过点 再作斜率为 的直线交双曲线于另一点 ，若满足
△
> 2( 是坐标原点)，求 的取值范围．△
19.(本小题 17 分)
+
已知函数 = > 0, > 1 存在极值点 0．
(1)当 = 0 时，讨论 的单调性；
(2)求 的取值范围并证明 ≥ 0 ；
(3) 1若 = 且 ≥ 0 1
，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.3
14. 2
15.解：(1)
如图所示，可知 ， 均为等边三角形，所以四边形 为菱形．
所以 = + = + ，
2
因为 = ，则 = 1 3 3 ，
所以 = = 23
= 1 3 ，
则 = = 1 2 3 = 3 ；
(2)设 = = ，则 = (1 ) = (1 ) ， ∈ [0,1]，
所以 = = = ( 1) ， = = (1 ) = ，
2π
因为扇形 所在圆的半径为 2，∠ = 3 ，
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2 2所以 = = 4, = cos∠ = 2 × 2 × 12 = 2，
2 2
可知 = [( 1) ] ( ) = ( 1) 2 2 1 + = 2 1 + 32 2，
因为 ∈ [0,1] 1 3，所以当 = 2时，取得最小值2，当 = 0 或 1 时，取得最大值 2，
所以 3的取值范围为 2 , 2 ．
16.解：(1)证明：延长 1 和 交于点 ，连接 交 于点 ，连接 1 ，
1 = 1 1 1 = 1由 2，故 2，所以 = 4 = ，所以 ≌△ ，
所以 = ，所以 为 中点，
又 1 1// 1 1且 1 1 = 1 1， 1 1// 且 1 1 = ，
所以 1 1// 且 1 1 = ，
故四边形 1 1为平行四边形，
所以 1 // 1 ，又 1 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 1 //平面 1 ．
(2)解：以 为原点， ， ， 1所在直线分别为 轴、 轴、 轴
建立如图所示的空间直角坐标系．
则 (0,4,0), 1(0,2,3), (4,4,0), 1(2,0,3), (0,0,2)．
所以 1 = (0, 2,3), 1 = ( 2, 4,3), = ( 4, 4,2)．
2 4 + 3 = 0
设平面 1 = ( , , )
1 = 0的法向量 ，由 ，得 ,
= 0 4 4 + 2 = 0
取 = (1, 2, 2)，
1 = |4 6| 2 13故所求角的正弦值为 = ，
1 9 13 39
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2 13所以直线 1与平面 1 所成角的正弦值为 39 ．
17.解：(1)由于散点图呈现在曲线附近，所以选择 = e
(2)两边取对数，得 ln = + ln ，
^ ^ ^
设 ln = ，ln = ，建立 关于 的回归方程 = + ，
6

则 = =1 12.956 = = 0.74，
2
17.50
=1
= = 3.49 0.74 × 3.50 = 0.90，
所以 关于 的回归方程为 = 0.74 + 0.90，所以 = e0.74 +0.90．
(3)设抽到的产品中有 件合格品，则 ～ (9,0.9)，
所以 ( = ) = C 9 0.9 0.19 ( = 0,1,2, , 10)，
( = ) ≥ ( = + 1) C 0.9 0.19 ≥ C +1 +1 8 9 9 0.9 0.1
( = ) ≥ ( = 1)，即 ,C9 0.9 0.19 ≥ C 19 0.9 1 0.110
9! 9!
! (9 )! 0.9 0.1
9 ≥ ( + 1)! (8 )! 0.9
+1 0.18
9! 9 9!
,
1 10
! (9 )! 0.9 0.1 ≥ ( 1)! (10 )! 0.9 0.1
解得 8 ≤ ≤ 9，
所以最有可能是 8 件或 9 件．
= = 2
18.解：(1) = 3由题意得 2 ，解得 ， = 6 = 3 2
2∴
2
= 1；3 3
(2)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， : = 2 3，
代入双曲线方程，得： 2 4 + 2 = 0，
由韦达定理可得： 1 + 2 = 4， 1 2 = 2．
∴ 1 + 2
2
+ 2 =
( 1+ 2)
2 1 1
= 8，
2

∵ 2 >
2
1 > 0，∴ = 3 + 2 2，1
∵ ， ， 三点共线，
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∴ = | | | | 2| | = | | 1 = 1 = 2 2 + 2；1
(3)设 ( 3, 3)， : = ( 1) + 1，
代入双曲线方程得：(1 2) 2 2 ( 1 1) ( 1 21) 3 = 0，
∴ = 2 ( 1 1)2 1 2 1，
2( 1
1
同理可得： =
1) 2( 1 1)
3 1 1
1 = 2 1 1
2
2
∴ 2 1(1 )2 + 3 = ，1 2 2 1 = 0
∴ ， 两点关于原点对称，
∴ > 2 > 4 > 5 | | > 5 2 | | > 5， 1
= 3
设 : = 3( > 1)， 2 2 = 3 (
2 1) 2 6 + 6 = 0，
+ = 6 由韦达定理得： 1 2 2 1， 1
6
2 = 2 1，
2 2
∴ 1 +
2 ( 1+ 2)
+ 2 = =
6 > 36
2 1 1 2 2 1 5
，
解得：1 < 2 < 6，所以 6
6 < < 1．

19.解：(1)由题意，当 = 0 时， ( ) = ， > 0, > 1 ，

′( ) = ( ln 1)有 2 ，令
′( ) = 0 1，解得 = ，
ln
0 < < 1 1ln 时 ′ < 0， > ln 时 ′ > 0，
所以 0, 1 1在 ln 上单调递减，在 ln , + ∞ 上单调递增；

(2) ( ) = + ′( ) =
( ln 1)
由题意， ， 2 ，
记 ( ) = ( ln 1) ， ′( ) = 2 > 0，
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所以 在 0, + ∞ 单调递增， > 0 = 1 ，
若 ≤ 1，则 > 0 ≥ 0， ′ > 0， 无极值点，不符合题意，
若 > 1，则 (0) < 0， →+∞时， →+∞，
所以 0 ∈ (0, + ∞)，使得 0 = 0，即 ′ 0 = 0，
且 在 0, 0 上单调递减，在( 0, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) ( 0)，
综上， 的取值范围为 1, + ∞ ，并且有 ≥ 0 ；
( ln 1)
(3) 因为 =

，所以 = ，且
′( ) = 2 ，
由 ′( 0) = 0 0( ln 1) =

，得 0 ，

因为 ( ) = + > 0，若 0 1 0，则不等式恒成立，所以 0 1 > 0．
1
因为 ( ) 1，即
+ 0 1 0
令 = + ′ 0 1 ，则 = ln 0 1 1，
1
令 ′ = 0，解得 = log ，0 1 ln
因为 ( )在 = 0处取最小值，所以 0 0，
即 0 + 0 1 0 0，
1 1
化简得 0 0 0ln 1
+ 0 0，
解得： ，
所以 的取值范围为 , + ∞ ．
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