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江苏省南京外国语学校 2026 届高三上学期 10 月学情调研
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2,3}， = {2,3,4}，则 ∩ =( )
A. 2 B. 2,3 C. 1,2,4 D. 1,2,3,4
2.在复平面内，复数 1, 2对应的点关于直线 = 0 对称，若 1 = 1 i，则 1 2 =( )
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4
3.若复数 = (2 )( + 1)的共轭复数 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数 的取值范围是( )
A. (2, + ∞) B. ( ∞, 2) C. ( 2,2) D. (0,2)
4.在锐角△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .若 2 = 2 ，则 =( )
A. 1 B. 13 2 C. 1 D. 2
3
5.已知函数 ( ) = 5 2 +1 + ，则不等式 (2 ) + (3 5 ) ≥ 1 的解集是( )
A. B. 1, 32
C. ( ∞,1] D. [ 32 , + ∞)
6.如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延
2 2
长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线 : 的左、右焦点分别为 2 2 = 1( > 0, > 0) 1， 2，从 2发出
4
的光线经过图中的 ， 两点反射后，分别经过点 和 ，且 cos∠ = ， 5 = 0，则 的离心率为( )．
A. 173 B.
37 10
5 C. 2 D. 5
7.已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ≠ 0，若 5 = 35，且 2， 4， 9成等比数列，则 7的值为( )
A. 11 B. 13 C. 19 D. 17
8.如图，某社区为墙面 、 、 、 四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域(有公共边)不
能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了 3 种颜色的涂色方法共有( )
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A. 12 种 B. 24 种 C. 48 种 D. 84 种
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某研究小组采集了 5 组数据，作出如图所示的散点图．若去掉 (3,10)后，下列说法正确的是( )
A.相关系数 变小 B.决定系数 2变大
C.残差平方和变大 D.解释变量 与预报变量 的相关性变强
10.如图，在透明塑料制成的长方体 1 1 1 1容器内灌进一些水，将容器底面一边 固定于地面上，
再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是( )
A.水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状
B.水面四边形 的面积不改变
C.棱 1 1始终与 平行
D.当 ∈ 1时， + 是定值
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11.已知函数 ( ) = sin2 cos + cos2 sin > 0,0 < < π2 的部分图象如图所示，则下列结论正确的
是( )
A. ( ) π的图象关于点 3 , 0 对称
B. ( ) 0, π 1在区间 2 的最小值为 2
C. + π6 为偶函数
D. ( ) π的图象向右平6个单位后得到 = sin2 的图象
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 是虚数单位，若复数 满足(2 + ) = ，则2 = ．
13.现有 8 道单选题(每题都是四个选择)，某学生对其中 6 道有思路，2 道题完全没有思路.假设有思路的题
都能做对，没有思路的题仅能随机猜，那么从 8 题中随机选择 1 题，此学生能够做对的概率为 ．
14.已知 ∈ 1,3,7,9 ， ∈ 2,4,6,8 ， 为 的个位数，求 ( ) = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2
已知双曲线 ： 24 = 1， ( ,2)，斜率为 的直线 过点 ．
(1)若 = 0，且直线 与双曲线 只有一个公共点，求 的值；
(2)双曲线 上有一点 ，∠ 1 2的夹角为 120°，求三角形 1 2的面积．
16.(本小题 15 分)
坛子里放着 5 个大小，形状都相同的咸鸭蛋，其中有 3 个是绿皮的，2 个是白皮的，如果不放回地依次拿
出 2 个鸭蛋．
(1)求第 1 次拿出绿皮鸭蛋的概率；
(2)在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下，求第 2 次拿出绿皮鸭蛋的概率．
17.(本小题 15 分)
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在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，2 sin tan 2 = ．
(1) π若角 = 6，求角 的大小；
(2)若 = 4，cos2 = 18，求 ．
18.(本小题 17 分)
ln 1已知 ， 为正实数，构造函数 ( ) = + .若曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 = 2 ( )．
(1)求 + 的值;
(2)求证： ( ) ≥ 2 1 +1 ．
19.(本小题 17 分)
2 3
如图，在四棱锥 中，四边形 是菱形， = 1， = 3 ，三棱锥 是正三棱锥， ，
分别为 ， 的中点．
(1)求二面角 的余弦值；
(2)判断直线 与平面 的位置关系.如果平行，求出直线 与平面 的距离；如果不平行，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 5
13.1316
14.3
15.解：(1)当 = 0 时， (0,2)，
则直线 的方程为 = + 2，
1
2
2 = 1
当 ≠± 2时，联立方程组 4 ， = + 2
得(1 4 2) 2 16 20 = 0，
由直线和双曲线相切的条件，可得 = ( 16 )2 4 (1 4 2) ( 20) = 0，
解得 =± 5；2
2 1
双曲线 ： 2 = 1 的渐近线为 =±4 2 ，
1
所以当 =± 2时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点．
1
综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时 =± 52或 =± ；2
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2
(2)由双曲线 ： 2 ，4 = 1
则 1( 5, 0)， 2( 5, 0)，| 1 2| = 2 5，
又点 在双曲线上，即|| 1| | || = 4，即(| | | |)2 = | |2 22 1 2 1 + | 2| 2| 1| | 2| = 16，
| 1|2+| 2|2 | 1 2|2在△ 1 2中，由余弦定理 cos∠ 1 2 = 2| | | ，1 2|
1 = 16+2| 1| | 2| 20即 2 2| 1| | ，2|
4
解得| 1| | 2| = 3，
所以△ 的面积 = 1 | | | | sin∠ = 1 × 4 × 3 31 2 △ 1 2 2 1 2 1 2 ．2 3 2 = 3
16.解：(1)
记“第 1 次拿出绿皮鸭蛋”为事件 ，
3 3
易知 ( ) = 5 ，即第 1 次拿出绿皮鸭蛋的概率为5 ．
(2)
记“第 2 3 2次拿出绿皮鸭蛋”为事件 ，则可得 ( ) = 5 × 4 =
3
10，
由条件概率计算公式可得 ( ) = ( ) 1 ( ) = 2 ，所以在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第 2 次拿出绿皮鸭蛋
1
的概率为2．
sin
17.解：(1)由于 2 sin tan = ，有 2sin sin 22 = sin ，cos2
sin cos
即 2sin sin 2 22 = sin
2sin sin sin
，即 1+cos = sin ，cos 2
且 ∈ 0, π ，sin ≠ 0，则 2sin sin = 1 + cos ，即 2sin sin = 1 cos( + )，
cos( ) = 1 π < < π = π = 2π所以 ，由于 ，且 6，故 3．
(2)由(1)知 = .
∵ cos2 = 2cos2 1 = 18 , ∈ 0, π , ∴ cos =±
3
4
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当 为锐角时， 2 + 2 2 cos = 42, ∴ 2 = 32, ∴ = 4 2.
当 为钝角时， 2 + 2 2 cos = 42, ∴ 2 = 32 4 147 , ∴ = 7 .
1( + ) ln
18. (1) ( ) = ln 解： 因为 + ，所以 ′( ) =
ln +
( + )2 = ( + )2 ．
+ 1
因为 ′(1) = ( + )2 = + ， (1) = 0，
所以曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为
= 1 + ( 1) =
1 1
+ + ． ①
1
又由已知曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 = 2 ( ) ②
1 = ,
由 ① ②表示同一直线，比较系数得 + 21 解得 = = 1(负值舍去)．
+ = 2 ,
所以 + = 2．
(2)由(1)得，要证 ( ) ≥ 2 1 ln 2 1 +1 ，即要证 +1 ≥ +1 ，
只需证 ln + 1 1 ≥ 0.
1
构造函数 ( ) = ln + ，则 ′( ) =
1
2 ，
易知，当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减;
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增．
所以当 = 1 时，函数 ( )取得最小值 (1) = 1， ( ) ≥ 1，所以 ( ) ≥ 2 +1
1
．
19.解：(1)连接 ，交 于点 ，连接 ，因为四边形 是菱形，所以 为 ， 的中点，且 ⊥ ，
因为三棱锥 是正三棱锥， = ， 为 的中点，所以 ⊥ ， 平面 ， 平面 ，
又 ∩ = ，所以 ⊥平面 ．
作 ⊥平面 于 ，则 为正三角形 的中点， 在线段 上，且 = 3 1 1 3 32 ， = 3 = 3 × 2 = 6 ，
= 23 =
3
3 ， =
2 2 = 4 13 3 = 1．
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如图，以 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 0, 32 , 0 ，
1
2 , 0,0
3 1 3 3 1 3 1
， ． 0, 2 , 0 ， ． 2 , 0,0 ， 0, 6 , 1 ， 0, 6 , 2 ， 0, 2 , 2 ，
所以 = 12 ,
3
6 ,
1
2 ，
= 1 3 1 2 , 3 , 2 ， = ( 1,0,0)，
设 1 = 1, 1, 1 是平面 的法向量，
1 =
1 3 12 1 6 1 + 2 1 = 0则 ,
11 = 2
3
1 + 3 +
1
1 2 1 = 0
则 1 = (1,0,1)，设 2 = 2, 2, 2 是平面 的法向量，
2 = 2 = 0
则 = 0, 3, 2
2
1 3 1 ，取2 ， = 2 2 + 3 2 + 2 2 = 0
cos , = 1 2 2 14所以 1 2 = 2× 7 = 7 ，1 2
又因为二面角 是锐二面角，所以二面角 14的余弦值为 7 ．
(2)直线 与平面 平行．
法 1:连接 ，由(1)知 为 的中点，又 为 的中点，所以 // ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以直线 //平面 ．
法 2:由(1)知 2 = 0, 3, 2 是平面 的一个法向量，
又 0, 3 , 0 0, 3， , 1 ，所以 2 6 = 0,
2 3
3 , 1 ，
2 3
所以 2 = 0 × 0 + 3 × 3 + ( 2) × ( 1) = 0，
所以 ⊥ 2，又因为 平面 ，所以直线 平面 ．
设点 与平面 的距离为 ，则 即为直线 与平面 的距离，
因为 = 0, 32 , 0 ， 2 = 0, 3, 2 是平面 的一个法向量，
32 0×0+ 3× 2 +0×( 2) 3 7
所以 =2 7
= 14 ，
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3 7
所以点 与平面 的距离为 14 ，
3 7
所以直线 与平面 的距离为 14 ．
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