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贵州省新高考协作体 2026 届高三上学期第一次联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 i = 1 2i，则 =( )
A. 2 i B. 2+ i C. 2 i D. 2 + i
2 = 4.已知集合 1 ≥ 0 ， =
2 3 + 2 ≥ 0 ，则 ∩ =( )
A. ( ∞,1) ∪ [2,4] B. ( ∞,1] ∪ [2, + ∞)
C. ( ∞,1) ∪ [4, + ∞) D. ( ∞,1] ∪ [4, + ∞)
3.2 < 2 是 < 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知单位向量 ， 满足 ⊥ 3 + 2 ，则向量 与 夹角的大小为( )
A. π B. π 2π6 3 C. 3 D.
5π
6
5.一艘渔船在海上由南向北航行(航线视为一条直线)，当船航行到点 时，测得远处一座灯塔 在其北偏东
45°的方向上．渔船继续向北航行 10 到达点 ，此时测得灯塔 在其北偏东 75°的方向上，则此时渔船与
灯塔 的距离为( )
A. 10 2 B. 10 3 C. 5 2 D. 5 3
3
6 1.设 = 3， = log53， = 44，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
7.已知函数 ( ) = ln ， ( ) = ，若存在 1 ∈ 1, e ，对任意 2 ∈ 1, e ，使得 1 ≥ 2 恒成立，
则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞,0] B. ( ∞,1] C. ∞, e D. e, + ∞
8.已知函数 ( ) = 2 2e +1 1，若实数 ， 满足 +
2 1 = 0，则 3 + 4 的最大值为( )
A. 2 3 B. 4 C. 7 22 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = 12 sin 2
π
3 ，则( )
A. π是函数 ( )的一个周期
B.函数 ( ) 11π的图象关于直线 = 12对称
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C.函数 ( ) π π 1在区间 4 , 4 上的最小值是 4
D.将函数 = ( ) π的图象向右平移12个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数
10.已知函数 ( ) = ( 1)5 + e 1 e1 + 1，则下列说法正确的是( )
A.函数 ( )有一个极大值 B.函数 ( )有且仅有一个零点
C.函数 ( )图像的对称中心为(1,0) D.不等式 ( ) + (6 2 ) < 2 的解集为(4, + ∞)
11.已知函数 ( )及其导函数 ′( )的定义域均为 ，记 ( ) = ′( ).若 (1 )为偶函数， ( + 3)为奇函
数，则( )
A. ( )的图象关于点(1,0)对称 B. ( )的周期为 2
C. (2025) = 0 D. ( )的图象关于直线 = 3 对称
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 tan = 3，tan( ) = 2，则 tan = ．
2 2
13.已知 1,

2是双曲线 : 9 16 = 1
π
的两个焦点， 是 上一点，且∠ 1 2 = 3，则点 到 轴的距离为 ．
14.已知圆锥内有一个半径为 3 的球，球与圆锥的侧面和底面均相切．当圆锥的侧面积最小时，圆锥的高
为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 ，且 3 = 9， 1, 2, 5成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 = 2 ，求数列 的前 项之积
16.(本小题 15 分)
如图 1，在梯形 中， // ， 为 的中点， ⊥ ， = 2 = 4 = 4，将 沿 折叠，
得到图 2 所示的四棱锥 ，且 ⊥ ．
(1)若 为 的中点，证明： ⊥平面 ；
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(2)求平面 与平面 所成角的大小．
17.(本小题 15 分)
2 2
已知椭圆 : 4 + 3 = 1 的左、右焦点分别为 1， 2，过点 2且斜率为 ( ≠ 0)的直线与椭圆 交于 ， 两点，
是线段 的中点， 是坐标原点，记直线 的斜率为 ．
(1)证明 为定值，并求出该定值
(2) 3若 = 4，求 1的面积．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln ， ∈ R
(1)讨论函数 ( )的单调性．
(2)若 1, 2 1 < 2 是方程 ( ) = 0 的两根．
①证明： 1 2 > e2；
②若 2 + + ( ) ≤ 0， ∈ R，证明： < 2．
19.(本小题 17 分)
某人工智能神经网络由若干个相同的神经元节点组成，每个节点被激活的概率均为 (0 < < 1)，且各节点
是否被激活相互独立．若网络中超过一半的节点被激活，则整个网络能够正常执行任务．记 为网络中共
有 个神经元节点时，网络能正常执行任务的概率．
(1) = 1若 3，求 5；
(2) = 3若 4，网络中共有 4 个神经元节点，记网络中被激活的神经元节点个数为 ，未被激活的神经元节点
个数为 ，求 = 的数学期望；
(3) 1若 < 2， ∈
，试比较 2 1和 2 +1的大小，并证明你的结论．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.17
13.16 3/165 5 3
14.6 + 3 2
15.【详解】(1)设等差数列 的公差为 ( ≠ 0)，
由 3 = 9， 1, 2, 5成等比数列，
3 = 3 1 + 3 = 9 = 2
得 + 2 = + 4 ，解得 = 1 ( = 0 舍去)，1 1 1 1
所以 = 2 1；
(2)由(1)得 2 1 = 2 = 2 ，
设数列 的前 项之积为 ，
(1+2 1)
则 = 2 1+ 2 2+ + = 2 2 = 2 ．
16.【详解】(1)证明： 为 的中点， = 2 = 4 = 4，
所以 = = = 2, = 1，
将 沿 折叠后，得到四棱锥 ，
所以 = = 2，又 为 的中点，所以 ⊥ ，①
又 ⊥ 即 ⊥ ， ⊥ ，
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且 ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
又 // 即 // ，所以 ⊥ ，②
由 ⊥ 且 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)因为 ⊥ ，所以 ⊥ ，
将 沿 折叠后，有 ⊥
由题意知： ⊥ , ⊥ ，
所以 , , 所在直线两两互相垂直，
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意 (0,0,2), ( 2,0,0), (0,2,0), ( 2,1,0)，
所以 = ( 2,0,2), = (0, 1,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
由 = 0 2 + 2 = 0

= 0 = 0
，令 = 1，则 = 1, = 0，所以 = (1,0,1)，
= (0,2, 2), = ( 2, 1,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
由 = 0 2 2 = 0

= 0 2 = 0
，令 = 1，则 = 2, = 2，所以 = (1, 2,2)，
设平面 与平面 所成角为 ，
cos = cos , = · = 1×1+0×( 2)+1×2 2所以 = ，12+02+12× 12+( 2)2+22 2
又 ∈ 0, π π π2 ，所以 = 4，所以平面 与平面 所成角的大小为4．
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2 2
17.【详解】(1) 证明：由已知椭圆 : 4 + 3 = 1，则
2 = 4， 2 = 3，
所以 = 2 2 = 1，即得点 1( 1,0)，点 2(1,0)．
设直线 : = ( 1), ≠ 0，点 1, 1 ，点 2, 2 ，点 0, 0 ．
2 +
2
4 3 = 1
2 2
联立 ，消去 得 4 +
( 1) 2 2
3 = 1，整理得 4 + 3 8
2 + 4 2 12 = 0，
= ( 1)
8 2 6
依题意有 > 0，所以 1 + 2 = 4 2+3， 1 + 2 = 4 2+3，
+ 4 2 + 3 又 是线段 的中点，所以 = 1 2 1 20 2 = 4 2+3， 0 = 2 = 4 2+3，
3
= 0 0 = 4 2+3 = 3 = 3 = 3因此 0 ，所以 ．0 4 2 4 4 4
4 2+3
3
综上， 为定值，且该定值为 4．
(2)根据已知作图如下．
(1) 3由 可知 = 4，直线 : = ( 1), ≠ 0，
3
又 = 4，所以 = 1，则直线 : = 1，即 1 = 0．
8 2 4 2 12 8 4 2 12 8
又由(1)可知 1 + 2 = 4 2+3， 1 2 = 4 2+3，则 1 + 2 = 7， 1 2 = 4 2+3 = 7，
2
所以| | = 1 + 2 1 2 2
8 8 24
2 = 1 + 1 + 2 4 1 2 = 2 7 4 7 = 7，
= | 1 0 1| 1 24 12 2而点 1到直线 的距离 = 2，所以 = 2 = ．
12+( 1)2
1 2 7 7
12 2综上， 1的面积为 7 ．
18.【详解】(1)由 ( ) = ln ，得 ′( ) = 1 =
1
( > 0)，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0，
所以函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
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当 > 0 时，令 ′( ) > 0 1，则 0 < < ，令 ′ ( ) < 0
1
，则 > ，
( ) 1 1所以函数 在 0, 上单调递增，在 , + ∞ 上单调递减，
综上所述，当 ≤ 0 时，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 > 0 时，函数 ( )在 0, 1 1 上单调递增，在 , + ∞ 上单调递减；
(2)由(1)得，要使方程 ( ) = 0 的两根为 1, 2 1 < 2 ，
则 > 0，
当 > 0 1 1时，函数 ( )在 0, 上单调递增，在 , + ∞ 上单调递减，
所以 ( ) 1 1max = = ln 1 > 0，
1
所以 0 < < e．
①令 ( ) = 0，则 ln = ，
ln = ln = = ln 2 ln 则 ， 11 1 2 2，所以 2
，
1
要证 1 2 > e2，只要证 ln 1 + ln 2 > 2，即 (
2
1 + 2) > 2，即 > + ，1 2
2
ln 2 ln 2
2 1
只要证 1 > ，即证 ln 2 > 2 2 1 1 2 2 1 1+ 2 1 1+
= ，令 = > 1，
2 1+
2
11
ln > 2( 1)即证 +1 ( > 1)，
即证 ln 2( 1) +1 > 0( > 1)，
2
令 ( ) = ln 2( 1) +1 ( > 1)
′( ) = ( 1)，则 ( +1)2 > 0，
所以 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
( ) > (1) = 0 ln > 2( 1)所以 ，即 +1 (其中 > 1)成立，
故原不等式 > e21 2 成立；
②因为 2 + + ( ) ≤ 0，
所以 2 + + 与 ( )异号，
因为 1, 2 1 < 2 是方程 ( ) = 0 的两根，
所以 21, 2 1 < 2 也是方程 + + = 0 的两根，
由韦达定理得 1 + 2 = , 1 2 = ，
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2 2 2
由①得 1 + 2 > ，所以 > ，所以 < ，
所以 < 2 = 2．
19. 1【详解】(1) ∵每个节点被激活的概率 = 3，且各节点是否被激活相互独立，
又∵网络有 5 个神经元节点，要使网络正常执行任务，需超过一半节点被激活，即至少 3 个节点被激活，
1 1 5
设 5 个节点中被激活节点个数为 ，根据独立事件概率公式 ( = ) = C 5 3 1 3 得，
1 3 1 2 1 4 1 1 1 5 1 0
5 = ( = 3) + ( = 4) + ( = 5) = C35 3 1 3 + C
4 5
5 3 1 3 + C5 3 1 3
= 10 × 1 × 4 1 2 1 51 1727 9 + 5 × 81 × 3 + 243 = 243 = 81，
∴ 175 = 81．
(2) ∵ = 3 34，网络有 4 个神经元， 表示被激活的节点个数，则 4, 4 ， 表示未被激活的节点个数，
则 = 4 ，
∴ = = (4 ) = 2 4，
∵二项分布 ( ) = = 4 × 34 = 3，
∴ ( ) = (2 4) = 2 ( ) 4 = 2 × 3 4 = 2．
(3)设 表示 2 1 个节点中被激活的节点数，则 (2 1, )，
设 表示 2 + 1 个节点中被激活的节点数，则 (2 + 1, )，
∴ 2 1表示 2 1 个节点中至少 个节点被激活的概率，即 2 1 = ( ≥ )，
2 +1表示 2 + 1 个节点中至少 + 1 个节点被激活的概率，即 2 +1 = ( ≥ + 1)．
把 分解为“原有 2 1 个节点的激活数 ”与“新增 2 个节点的激活数 ”的和，
即 = + ，其中 (2, )且 与 互相独立．
∵若原有 ≥ + 1，则无论新增节点如何激活，总激活数都满足大于等于 + 1，
若原有 = ，则需要新增节点至少激活 1 个，才能使总激活数大于等于 + 1，
∴ ( ≥ + 1) = ( + ≥ + 1) = ( ≥ + 1) + ( = ) ( ≥ 1)．
∴ 2 1 2 +1 = ( ≥ ) ( ≥ + 1) + ( = ) ( ≥ 1)
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= ( ≥ ) ( ≥ + 1) ( = ) ( ≥ 1)
= ( = ) ( = ) ( ≥ 1) = ( = ) 1 ( ≥ 1) = ( = ) ( = 0)，
∵ ( = ) = C 2 1 (1 ) 1, 0 < <
1 , ∈ 2 ，
∴ ( = ) > 0，
∵ ( = 0) = (1 )2 > 0，
∴ 2 1 2 +1 = ( = ) ( = 0) > 0，即 2 1 > 2 +1．
∴ < 1若 2， ∈ ， 2 1 > 2 +1．
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