资源简介

江苏省扬州中学 2026 届高三上学期 10 月自主学习效果评估
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = | = 2 , ∈ ， = | = ln( + 1) ，则 ∩ =( )
A. ( 1, + ∞) B. C. D. (0, + ∞)
2 +i.若 = 1 + 2 ，则 4 =( )
A. 1+ 3i B. 1 3i C. 1 + 3i D. 1 3i
3 1.已知函数 ( )的定义域为 ，当 < 0 时， ( ) = 3 1；当 1 1 时， ( ) = ( )；当 > 2时，
( + 12 ) = (
1
2 )，则 6 =( )
A. 6 B. 1 C. 0 D. 2
4.某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有 4 位男生，6 位女生进入决赛．现通过抽签决定
出场顺序，记事件 表示“第一位出场的是女生”，事件 表示“第二位出场的是女生”，则下列选项错误
的是( )
A. ( ) = 35 B. =
5
9 C. ( ) = ( ) D. ( ∪ ) =
13
15
5.已知菱形 的边长为 2，∠ = 120°， 是菱形 内一点，若 + + = 0，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 32 2 D. 2
6 1.已知不等式 2 + + 1 > 0 的解集 | 2 < < 1 ，若对 ∈ [4, + ∞)，不等式
2 2 ≥ 0 成
立，则实数 的最大值为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
2
7.已知 tan + = 1 sin2 cos 4 2，则 1+cos2 的值为( )
A. 53 B.
5
6 C.
1 3
6 D. 2
8.已知实数 ， 满足 ln(2 + ) +2 + + 2 ≥ 0，则 + 的值为( )
A. 1 B. 2 1 13 C. 3 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 π.已知函数 ( ) = sin + cos ( > 0)的最小正周期为π，且 ( ) ≤ ( 12 )对于 ∈ R 恒成立，则( )
第 1页，共 10页
A. ( ) π π在区间 6 , 2 单调递减
B. ( ) π π在区间 3 , 2 有两个零点
C. π3 , 0 是曲线 = ( )的一个对称中心
D.当 = π3时，函数 ( )取得极值
10.已知函数 ( ) = 3 + 3 2 + 3，则( )
A.当 = 4 时， ( )在 上单调递增
B.当 < 3 时， ( )有两个极值
C.过点(0,1)且与曲线 = ( )相切的直线恰有两条
D. ( 1 + ) + ( 1 ) + 2 + 2 = 0 恒成立
11.如图，棱长为 3 的正方体 1 1 1 1，动点 在正方体 1 1 1 1内及其边界上运动，点
在棱 上，且 = 3，则下列说法正确的是( )
A.若 = + 1，且 + = 1，则三棱锥 1 1 体积为定值
B.若 1 ⊥ 1 ，则动点 所围成的图形的面积为 9 2
C.若 sin∠ = 2sin∠ ，则 1的最小值为 3
D.若动点 满足 = 1 = 0
3 2
，则 的轨迹的长度为 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1.已知函数 ( ) = 22 2 ，则满足 ( 5 ) + (6) > 0 的实数 的取值范围是 ．
13.在 中， = 2 ，点 在线段 上且与端点不重合，若 = + ，则 ln + ln 的最大
值为 ．
14.若存在实常数 和 ，使得函数 ( )和 ( )对其公共定义域上的任意实数 都满足 ( ) ≥ + ≥ ( )恒
成立，则称直线 = + 为 ( )和 ( )的“媒介直线”.已知函数 ( ) = 2( ∈ R) 1， ( ) = ( < 0)，若
( )和 ( )之间存在“媒介直线” = + ，则实数 的范围是 ．
第 2页，共 10页
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 3sin sin + cos sin = sin + sin ．
(1)求角 ；
(2)若 边 上的中线 的长度为 6，求 面积的最大值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 2 + 1 + ( > 0)，函数在区间[2,3]上的最大值为 4， (0) = 1．
(1)求 ( )的解析式；
(2) ( ) = ( )设 ，若不等式 2
≥ 2 在[ 1,1]上有解，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数 (个)和平均温度 (℃)
有关，现收集了以往某地的 7 组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(1)根据散点图判断， = + 与 = (其中 = 2.718…为自然对数的底数)哪一个更适合作为平均产卵
数 (个)关于平均温度 (℃)的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)由(1)的判断结果及表中数据，求出 关于 的回归方程. (计算结果精确到 0.1)
( )( )
附：回归方程中 = + = =1 = ， =1 ( )2 2 2 ， =
．
=1 =1
参考数据( = ln )
7 7 7
2
=1 =1 =1
5215 17713 714 2781.33.6
(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在 22℃以下的年数占 60%，
对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在 22℃至 28℃的年数占 30%，柚子产量会下降 20%；
第 3页，共 10页
平均气温在 28℃以上的年数占 10%，柚子产量会下降 50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各
种防害措施供果农选择．
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为 200 万元，根据以上数据，以得到最高收益(收益=产
值 防害费用)为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由．
方案 1：选择防害措施 ，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是 18 万；
方案 2：选择防害措施 ，可以防治 22℃至 28℃的蜘蛛虫害，但无法防治 28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是
10 万；
方案 3：不采取防虫害措施．
18.(本小题 17 分)
如图，在三棱锥 中， = = = = 4， = = 2 2， 是线段 上的点．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2) 6若直线 与平面 所成角的正弦值为 4 ，求 的长；
(3)若 ⊥平面 ， 为垂足，直线 与平面 的交点为 ，当三棱锥 体积最大时，求 的
长．
19.(本小题 17 分)
函数 ( )的定义域为( 1, + ∞)， (0) = 0， ′( ) = ln(1+ )1+ ， 1为 , ( ) ( ≠ 0)处的切线．
(1) ′( )的最大值；
(2)证明： 1 < < 0，除点 外，曲线 = ( )均在 1上方；
(3)若 ( ) = (1 + )e ′( )，证明：对任意的 , ∈ (0, + ∞)，有 ( + ) > ( ) + ( )．
第 4页，共 10页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(2,3)
13. ln6
14.[ 4,0]
15.解：(1)在 中，sin = sin π ( + ) = sin( + ) = sin cos + sin cos ，
代入 3sin sin + cos sin = sin + sin 整理得 3sin sin = sin cos + sin ，
又因为 , ∈ 0, π ，sin ≠ 0，所以 3sin = cos + 1，
3sin cos = 2sin π = 1 sin π = 1所以 6 ，解得 6 2，
因为 π ∈ π , 5π π π π6 6 6 ，所以 6 = 6，解得 = 3．
(2)因为 是 1中点，所以 = 2 + ，
2 1
两边平方得 = +
2
= 1
2
+
2
+ 2 4 4 ，
1
所以 6 = 4
2 + 2 + 2 cos∠ ，即 2 + 2 + = 24，
又由均值不等式可得 2 + 2 + ≥ 2 + = 3 ，
当且仅当 = = 2 2时等号成立，所以 ≤ 8，
第 5页，共 10页
所以 1 = 2 sin ≤ 2 3，即 面积的最大值为 2 3．
16.解：(1) ( ) = 2 2 + 1 + = ( 1)2 + 1 + ，其图象对称轴为 = 1，
∵ > 0，∴ ( )在[2,3]单调递增，
∴ (3) = 4 即 9 6 + 1 + = 3 + + 1 = 4，∴ 3 + = 3，
又 (0) = 1，则有 1 + = 1 即 = 0，所以 = 1， = 0，
所以 ( )的解析式为 ( ) = 2 2 + 1．
2
(2)由(1)得 ( ) = ( ) = 2 +1 = + 1 2，
1
则 2 ≥ 2 在[ 1,1]上有解，即 2 2 = 2 + 2 2 2 ≥ 0 在[ 1,1]上有解，
= 2 1 ≤ ≤ 2 1 2令 2 ，则 ≤ 1 + 2 在[ 1,1]上有解，
≤ 1 + 1 2 1所以 2 , ≤ ≤ 2，max 2
1 + 1 2 = 1
2
1 1 ≤ 1
2
又 2 ，2 ≤ 2
1
，故当 = 2
1 2 1
时，1 + 2 = 1 取到最大值 1，
1
即 1 + 2
2
= 1，所以 ≤ 1，max
所以实数 的取值范围是( ∞,1]．
17.解：(1)由散点图可以判断， = 更适宜作为平均产卵数 关于平均温度 的回归方程类型．
(2)将 = 两边同时取自然对数，可得 = + ，
令 = ln ， = ln ，即方程为 = + ．
7
由题中的数据可得， 7 = 33.6，
=1
7 =1 ( )
2 = 7 =1
2 7 2 = 112，
7
所以 = =1 7 33.6
7 2
= = 0.3，
=1 7
2 112
则 = = 3.6 0.3 × 27 = 4.5，
所以 关于 的线性回归方程为 = 0.3 4.5，
故 关于 的回归方程为 = 0.3 4.5；
(3)用 1， 2和 3分别表示选择三种方案的收益．
采用第 1 种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为 200 18 = 182 万，即 1 = 182；
第 6页，共 10页
采用第 2 种方案，不发生 28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为 200 10 = 190 万，
如果发生，则收益为 100 10 = 90 万，
190,不发生28° 以上的红蜘蛛虫害
即 2 = ,
90,发生28° 以上的红蜘蛛虫害
200,不发生虫害
同样，采用第 3 种方案，有 3 = 160,只发生22° 28° 虫害．
100,发生28° 以上虫害
所以， ( 1) = 182，
( 2) = 190 × ( 2 = 190) + 90 × ( 2 = 90) = 190 × 0.9 + 90 × 0.1 = 171 + 9 = 180，
( 3) = 200 × ( 3 = 200) + 160 × ( 3 = 160) + 100 × ( 3 = 100)
= 200 × 0.6 + 160 × 0.3 + 100 × 0.1 = 178．
显然， 1 最大，所以选择方案 1 最佳．
18.解：(1)取 的中点 ，连接 、 ，
因为 = 4， = = 2 2，则 ⊥ ，
所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ 1，所以 = 2 = 2，
又因为 = = = 4，所以 ⊥ ，则 = 2 2 = 42 22 = 2 3，
又因为 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ；
(2)因为 ⊥平面 ， ⊥ ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 ( 2,0,0)、 (2,0,0)、 (0,2 3, 0)、 (0,0,2)，所以， = ( 2,0,2)，
因为 为棱 上的点，设 = = (0,2 3, 2) = (0,2 3 , 2 )，其中 0 ≤ ≤ 1，
所以， = + = ( 2,0,2) + (0,2 3 , 2 ) = ( 2,2 3 , 2 2 )，且 = (4,0,0)，
设平面 的法向量为 = 1, 1, 1 ，
第 7页，共 10页
= 4 1 = 0则 ,
= 2 1 + 2 3 1 + (2 2 ) 1 = 0
不妨取 1 = 1，可得 = (0, 1, 3 )，
因为线 6与平面 所成角的正弦值为 4 ，
|cos , | = |2 3 | 6所以 = ，
4 ( 1)2+( 3 )2 4
2
则4 2 2 +1 = 1，化简可得：4
2 2 1 = 0，
= 1+ 5解得： 4 或 =
1 5
4 (舍去)，
所以 = = 1 + 5；
(3)设 0, 0, 0 ，因为 = = (0,2 3 , 2 ) = ( 0, 0, 0 2)，其中 0 < < 1，
0 = 0 0 = 0
所以 0 = 2 3 ，可得 0 = 2 3 ，即点 0,2 3 , 2 2 ，
0 2 = 2 0 = 2 2
1
因为 ⊥平面 ，则点 0,2 3 , 0 ， = 2 0 = 2 0 = 4 3 ，
1 1 8 3 8 3 +1 2 2 3 = 3 0 = 3 × 4 3 ·(2 2 ) = 3 (1 ) 3 ·( 2 ) = 3 ，
当且仅当 = 1 (0 < < 1) 1时，即当 = 2时，等号成立，
2 3
故当点 为线段 的中点时，三棱锥 的体积取最大值 3 ，
此时，点 0, 3, 0 ，
由(2)可知，此时，平面 的一个法向量为 = (0, 1, 3)，
设 = = (0, 3, 2) = (0, 3 , 2 )，其中 0 1，
则 = + = ( 2,0,2) + (0, 3 , 2 ) = ( 2, 3 , 2 2 )，
因为 平面 ，则 ⊥ ，
所以 = 3 + 2 3(1 ) = 3(2 3 ) = 0 2，解得 = 3，
= (0, 2 3 , 4所以 3 3 )，
所以| | = 2 7 2 73 ，即 的长为 3 ．
第 8页，共 10页
19.解：(1)构建 ( ) = ′( )，可知函数 ( )的定义域为( 1, + ∞)，
1 (1+ ) ln(1+ )
且 ′( ) = 1+ = 1 ln(1+ )(1+ )2 (1+ )2 ，
令 ′( ) > 0，解得 1 < < e 1；令 ′( ) < 0，解得 > e 1；
可知 ( )在 1, e 1 内单调递增，在 e 1, + ∞ 内单调递减，
1 1
则 ( ) ≤ e 1 = ′e，所以 ( )的最大值为e．
(2) ′( ) = ln(1+ ) ln(1+ )因为 1+ ，则切线 1的斜率为 1+ ，
( ) = ln(1+ ) ( ) = ln(1+ )可知直线 1的方程为 1+ ，即 1+ ( ) + ( )，
( ) = ( ) ln(1+ ) ( ) + ( ) ′( ) = ln(1+ ) ln(1+ )构建 1+ ，则
′
1+ 1+ = ( )
′( )，
由(1)可知： ′( )在( 1,0)上单调递增，且 1 < < 0，
当 1 < < 时，则 ′( ) < ′( )，可得 ′( ) < 0；
当 < < 0 时，则 ′( ) > ′( )，可得 ′( ) > 0；
≥ 0 ln(1+ )当 时，则 ′( ) = ≥ 0，且 ′ ′1+ ( ) < (0) = 0，可得
′( ) > 0；
可知 ( )在( 1, )内单调递减，在( , + ∞)内单调递增，
则 ( ) ≥ ( )，当且仅当 = 时，等号成立，
所以除点 外，曲线 = ( )均在 1上方．
(3)由题意可知： ( ) = (1 + )e ′( )，则 ′( ) = e ln(1 + ) + 11+ ，
构建 ( ) = ′( )，则 ′( ) = e ln(1 + ) + 21+
1
(1+ )2 ，
2
构建 ( ) = ln(1 + ) + 2 1 ′ 1 2 2 +11+ (1+ )2，则 ( ) = 1+ (1+ )2 + (1+ )3 = (1+ )3 > 0，
可知 ( )在[0, + ∞)上单调递增，则 ( ) ≥ (0) = 1 > 0，
即 ′( ) > 0 在[0, + ∞)上恒成立，可知 ( )在[0, + ∞)上单调递增，
原不等式等价于 ( + ) ( ) > ( ) (0)，
构建 ( ) = ( + ) ( ), ( , > 0)，即证 ( ) > (0)，
因为 ( ) = ( + ) ( ) = e + ln(1 + + ) e ln(1 + )，
第 9页，共 10页
则 ′( ) = e + ln(1 + + ) + 11+ + e
ln(1 + ) + 11+ = ( + ) ( )，
因为 ( )在(0, + ∞)上单调递增，则 ( + ) > ( )，可得 ′( ) > 0，
可知 ( )在(0, + ∞)上单调递增，且 , > 0，可得 ( ) > (0)，
所以对任意的 , ∈ (0, + ∞)，有 ( + ) > ( ) + ( )．
第 10页，共 10页

展开更多......

收起↑