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山西省晋中市部分学校 2026 届高三上学期 10 月学情检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 1 < < 1}， = { ∣0 ≤ ≤ 2}，则 ∩ =( )
A. { |0 < 1} B. ∣0 ≤ ≤ 2 C. { | 1 < < 2} D. { | 1 < 2}
2 .已知 为实数，则 < 0 是 4 > 0 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3 .已知函数 ( ) = cos( + )， ∈ ( , )，若函数 ( )在 = 4处取得最小值，则 =( )
A. 34 B.

4 C.

4 D.
3
4
4.若 2sin 3 = 3sin 7，则 tan2 =( )
A. 4 3 B. 4 3 C. 2 33 D.
2 3
3
5.已知 > 0，且 2 2 + 6 = 0 ，则 + 4的最小值为( )
A. 32 B.
13
4 C. 2 D. 3
6.某乡镇计划对一荒山区域进行植树绿化，已知该区域到 2025 年年底植树绿化面积为 10 万亩，以此值为
1 30
初始值 0( 0 = 10)，该区域经过 年，到年底植树绿化面积 万亩，且 ， 满足关系式 =
0
2 0(30 )
，
其中 为年增长率．若 2025 年以后每年的增长率均为 20%，则到 2030 年年底植树绿化面积为( )
A. 20 万亩 B. 18 万亩 C. 15 万亩 D. 13 万亩
7.已知集合 = ∣ 2 + + ≤ 0 , = ∣1 ≤ ≤ 2 ，若 ∈ 是 ∈ 的必要条件，则 3 + 2 的最大值
为( )
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
8.若 > 1， ∈ ，且 + 2 = 1 ，则( )
A. 2 < B. 2 > C. e > 1 D. e > 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 > > 0，则下列选项正确的有( )
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A. 5 < 5 B. 0.6( + 1) < 0.6( + 1)
C. 3 < 3 D. < +1 +1
10 ( ) = 2sin2 + 2 3sin cos 1 5π.已知将函数 的图象向左平移 6 得函数 ( )的图象，则下列说法正确的
是( )
A. ( )的最小正周期为π
B. ( ) = 2cos2
C. ( ) = π π的对称轴为 2 + 2 , ∈
D.若函数 ( ) = ( ) + + π4 ，则 = 2 ( ) + 在 ∞, π 上有 6 个零点
11.已知函数 ( )与 ( )的定义域均为 ，若 ( ) = (1 + ) ( )， ( 1)为奇函数，且 ( )在[ 1, + ∞)
上单调递增，则下列说法正确的是( )
A. ( 1) = 0 B. ( )的最小值为 0
C. ( 2) < 2 (1) D.若 ( ) < ( + 1)，则 > 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若 > 0， > 0，2 + 9 = 1 1 2，则 + 的最小值为 ．
13.若函数 ( ) = (2 + )cos 1 为奇函数，则 = ．
14.定义：若函数 ( )在区间[ , ]上的值域为[ , ]，则称区间[ , ]是函数 ( )的“完美区间”，已知函
数 ( ) = ln( 1) ln( + 1)，若函数 ( ) = ( ) + ln 存在“完美区间”，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知角 为第二象限的角，且 tan = 512．
(1)求三角函数 sin ，cos 的值；
(2) sin( ) cos π+ 求 的值．
cos 2π tan π sin π2
16.(本小题 15 分)
已知命题 ：函数 ( ) = log3
1
在区间( 9 , 9)上没有零点；命题 ： 0 ∈ [0,2]，使得
2
0 3 0 + 5 > 0
成立．
(1)若 和 均为真命题，求实数 的取值范围；
(2)若 和 其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数 的取值范围．
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17.(本小题 15 分)
已知 > 0， > 0，完成下列各题：
(1)讨论 2 2 + 2 与 2 + 3 2的大小关系；
(2)若 + 3 2 = 0，求 3 + 的最小值；
3(3)若 > ，且 2 1 + + + 2 ≥ 恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知向量 = (sin , cos2 )， = (2cos , 3)，函数 ( ) = ．
(1)求函数 ( )的解析式和图象的对称中心；
(2) π若函数 ( )的图象向左平移12个单位长度，得到函数 ( )的图象，且关于 的方程 ( ) = 1 (2sin + 1)
在 ∈ [ π 5π6 , 6 ]上有 3 个不同的解，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
函数 ( )和 ( )具有如下性质：①定义域均为 R；② ( )为奇函数， ( )为偶函数；③ ( ) + ( ) = e (常
数 e 是自然对数的底数)．
(1)求函数 ( )和 ( )的解析式；
(2)对任意实数 ， ( ) 2 ( ) 2是否为定值，若是请求出该定值，若不是请说明理由；
(3)若不等式 2 ( ) (2 ) ≥ 0 对 ∈ ln2, ln3 恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.32
13.0
14.(3 + 2 2, + ∞)
15.解：(1)角 为第二象限的角，则有 > 0， < 0，
sin = 5
tan = 5 cos 12 sin = 5 cos = 12又 12，可得 ，解得2 2 13
， 13；
sin + cos = 1
sin( ) cos π+ sin + cos
(2) =
cos 2π tan π sin π cos tan cos 2
5
= sin +cos = tan +1
+1
= 12 = 17．
sin cos tan 1 5 1 712
16. 1解：(1)函数 ( ) = log3 在区间( 9 , 9)上单调递增，
1若 为真命题： ( ) = log3 在区间( 9 , 9)上没有零点，
∴ ( 19 ) = log
1
3 9 = 2 ≥ 0 或者 9 = log39 = 2 0，
得 ≤ 2 或 ≥ 2；
若 为真命题：令 ( ) = 2 3 + 5 (0 ≤ ≤ 2)，∴ < 2 3 + 5 有解，即 < 5;
(1) 和 均为真命题，则 2 或 2 ,
< 5
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所以 ， 均为真命题， 的范围为：( ∞, 2] ∪ [2,5)；
(2) ， 一真一假，
2 或 2
若 真， 假，则 ，解得 的取值范围是 ≥ 5;
5
2 < < 2若 假， 真，则 < 5 ，即 2 < < 2;
∴ 的取值范围是：( 2,2) ∪ [5，+∞)．
17.(1)解：由 2 2 + 2 2 + 3 2 = 2 + 2 3 2 = ( )( + 3 )，
因为 > 0, > 0，可得 + 3 > 0，
当 > 时，2 2 + 2 2 + 3 2 > 0，所以 2 2 + 2 > 2 + 3 2；
当 = 时，2 2 + 2 2 + 3 2 = 0，所以 2 2 + 2 = 2 + 3 2；
当 < 时，2 2 + 2 2 + 3 2 < 0，所以 2 2 + 2 < 2 + 3 2．
(2)解：因为 + 3 2 = 0 3 1，所以 + = 2，
则 3 + = 12 (3 + )
3+ 1 = 1 10 + 3 3 1 3 3 2 + ≥ 2 10 + 2 = 8，
当且仅当 = = 2 时等号成立，所以 3 + 的最小值为 8．
(3)
3 1 3 1
解：由 + +
2 + 2 2 2 = + + 2 + 2
3 3
= + ( ) + 2 2
1 1
+ 2 ≥ 2 ( ) + 2
2 +
2
= 4 2 + 1 ≥ 2 4 2 2
1
2 = 4，
3
当且仅当 = ( )，且 4 2 1 = 2，即 = 2, =
2
2 时等号成立，
故实数 的取值范围为( ∞,4]．
18.(1)由题 ( ) = = 2sin cos + 3cos2 = sin2 + 3cos2 = 2sin 2 + π3 ，
令 2 + π3 = π ∈ Z =
π π
2 6 ∈ Z ，
所以函数 ( ) π π图象的对称中心为 2 6 , 0 ∈ Z ．
(2) ( ) = ( + π ) = 2sin 2 + π由题得 12 2 = 2cos2 ，
因为方程 2cos2 = 1 (2sin + 1)在 ∈ [ π , 5π6 6 ]上有 3 个不同的解，
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所以由二倍角公式得 (2sin + 1) = (2sin + 1)(2sin 1) π 5π在 ∈ [ 6 , 6 ]上有 3 个不同的解，
π π
因为 = 6时，2sin + 1 = 0，故 = 6是方程 (2sin + 1) = (2sin + 1)(2sin 1)的一个解，
所以 (2sin + 1) = (2sin + 1)(2sin 1)在 ∈ π6 ,
5π
6 上有 2 个不同的解，
此时 sin + 1 ≠ 0，所以 = 2sin 1 即 + 1 = 2sin ∈ π 5π在 6 , 6 上有 2 个不同的解，
= 2sin 图像如下：
所以由三角函数图像可知 1 ≤ + 1 < 2，即 0 ≤ < 1．
故方程 ( ) = 1 (2sin + 1)在 ∈ [ π6 ,
5π
6 ]上有 3 个不同的解，则实数 的取值范围为[0,1)．
19.(1)由性质③知 ( ) + ( ) = e ，则． ( ) + ( ) = e ，
由性质②知 ( ) = ( )， ( ) = ( )，故 ( ) + ( ) = e ．
( ) + ( ) = e e e e +e
则 ( ) + ( ) = e ，解得 ( ) = 2 ， ( ) = 2 ；
2 2
(2)由(1)可得 ( ) 2 ( ) 2 = e +e e e2 2
e2 = +e
2 +2 e2 +e 2 24 4 = 1；
2 2
(3)因为 (2 ) = e +e > 0 2 ( )2 ，所以 2 ( ) (2 ) ≥ 0 ≤ (2 )，
2 ( ) 2 e e 2 e e
而 (2 ) = e2 +e 2 = e e 2+2， ∈ ln2, ln3 ，
令 = e e ，易知 = e e 3 8在 ∈ ln2, ln3 上单调递增，所以 ∈ 2 , 3 ，
( ) = 2 3 8 2记 2+2 , ∈ 2 , 3 ，则 ( ) = ， +2
2
因为当 = , > 0 时 = 2
3
，且2 > 2，
3 8
故由对勾函数性质可得 ( )在 2 , 3 上单调递减，
所以 ( ) 8 24min = 3 = 41，因此 ≤ ( )
24 24
min = 41，故 的取值范围是 ∞, 41 ．
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