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广东省广州市花都区 2026 届高三上学期 10 月调研考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {( , )| 2 + 2 ≤ 3， ∈ ， ∈ }，则 中元素的个数为( )
A. 9 B. 8 C. 5 D. 4
2.下列函数中，在区间(0, + ∞)上单调递增的是( )
A. = 2 B. = log1 C. = 3 D. = 3
3
3.已知命题 : ∈ ，sin + cos = 2；命题 : ∈ ， | | ≥ 1，则( )
A. 真 真 B. 真 假 C. 假 真 D. 假 假
4.已知 ， 都是实数，若 是 ，1 的等差中项，则e + e +1的最小值为( )
A. 2e2 B. 2e C. 2 e D. 2
log2(1 ), < 15.若函数 ( ) = ，则 ( 1) + (log 6) =( )
2 1, ≥ 1 2
A. 7 B. 6 C. 4 D. 3
6.设函数 ( ) = sin( + )，其中 > 0，| | < π.若 ( 5 8 ) = 1， (
11π
8 ) = 0，且 ( )的最小正周期大于 ，
则( )
A. = 23， =
π
12 B. =
2
3， =
11
12
C. = 1 = 11 D. = 13， 24 3， =
7π
24
7 +1.已知 ( )为奇函数，当 < 1 时， ( ) = ln 1，则曲线 ( )在点(3, (3))处的切线方程是( )
A. + 4 4ln2 3 = 0 B. + 2 + 2ln2 3 = 0
C. 4 + 4ln2 3 = 0 D. 2 2ln2 3 = 0
8 2π.已知 是公差为 3的等差数列，记集合 = { = sin , ∈ N
}.若 = { 1, 2}，令 1 < 2，则( )
A. 1 1 1 2 2 51 + 2 = 2 B. = 2 C. 1 + 2 = 4 D.
2
1 2
3
2 =
2 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线 1: = 2 ， 2: = 2 +1，则( )
A.把 1向上平行移动 1 个单位长度，得到曲线 2
B.把 1向左平行移动 1 个单位长度，得到曲线 2
C.把 1向右平行移动 1 个单位长度，得到曲线 2
D.把 1上各点的纵坐标变成原来的 2 倍(横坐标不变)，得到曲线 2
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10.若2 = 3 = 5 ，则以下大小关系可能成立的有( )
A. > > B. < < C. 3 < 2 < 5 D. 2 < 3 < 5
11.设直线 = 与曲线 ( ) = 3 + 3 2的三个交点分别为 ( , )， ( , )， ( , )，且 < < ，则( )
A. + + > 3 B. 的取值范围为(0,4)
C. 的取值范围为(0,4) D. 的取值范围为 3,2 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若 ( ) = ( + )2 + cos 为偶函数，则实数 = ．
13.已知 为第一象限角，且 sin cos = 22 ，则 sin = ；tan = ．
14.若函数 ( ) = (e + )有且仅有 2 个极值点，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知函数 ( ) = 2 3 + 3( + 1) 2 + 6 + 1( ∈ )．
(1)当 = 0，求 ( )在区间[ 2,1]上的最大值；
(2)讨论 ( )的单调性．
2 , = 2 1, ∈ N
16.已知数列 满足 =
2 , = 2 , ∈ N
．
(1)记 = 2 ，求数列 的通项公式，并求 的前 99 项和 99；
(2)记 = lg ，其中[ ]表示不超过 的最大整数，如[0.9] = 0, lg100 = 2．
(ⅰ)求 9, 99, 999, 1999；
(ⅱ)求数列 的前 2025 项和 2025．
17 ( ) = sin +cos sin2 .已知函数 sin ( ∈ )．
(1)求 ( )的定义域；
(2)若 12 = 3 + 1．
(ⅰ)求 ( ) π π在区间 12 , 3 上的最小值；
(ⅱ)求 ( )在区间 π, 0 的单调递减区间．
18.已知函数 ( ) = ln( + )．
(1) 1当 = 0 时，求证 1 ≤ ( ) ≤ 1；
(2)当 ≤ 2 时，求证： ( ) < e ．
19 3 1 1.已知数列{ }满足 1 = 2，且 +1 = 2 + 2．
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(1)证明：数列{ +1 }是等比数列；
(2)求数列{ }的通项公式；
(3)设 ∈ ，若 1 2 3 2 1 < 对 ∈ 恒成立，求 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12/0.5
13. 2+ 64 ； ； ； ；
；2 + 3
14. 0, e 2
15.【详解】(1)当 = 0 时， ( ) = 2 3 + 3 2 + 1，求导得 ′( ) = 6 2 + 6 = 6 ( + 1)，
因 ∈ [ 2,1]，当 2 < < 1 或 0 < < 1 时， ′( ) > 0；当 1 < < 0 时， ′( ) < 0，
则函数 ( )在( 2, 1), (0,1)上单调递增，在( 1,0)上单调递减，
故函数 ( )在 = 1 时取得极大值为 ( 1) = 2，又 (1) = 6，
故 ( )在区间[ 2,1]上的最大值为 6．
(2)因 ′( ) = 6 2 + 6( + 1) + 6 = 6( + 1)( + )，令 ′( ) = 0 = 1 或 = ，
则当 = 1，即 = 1 时， ′( ) = 6( + 1)2 ≥ 0，即 ( )在 R 上单调递增；
当 < 1，即 > 1 时，由 ′( ) > 0 可得 < 或 > 1;由 ′( ) < 0 可得 < < 1，
故 ( )在( ∞, ), ( 1, + ∞)上单调递增，在( , 1)上单调递减；
当 > 1，即 < 1 时，由 ′( ) > 0 可得 < 1 或 > ；由 ′( ) < 0 可得 1 < < ，
故 ( )在( ∞, 1), ( , + ∞)上单调递增，在( 1, )上单调递减；
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综上，
当 = 1 时， ( )在 R 上单调递增；
> 1 时， ( )在( ∞, ), ( 1, + ∞)上单调递增，在( , 1)上单调递减；
< 1 时， ( )在( ∞, 1), ( , + ∞)上单调递增，在( 1, )上单调递减．
2 , = 2 1, ∈ N
16.【详解】(1)解：由 = 2 ，因为 2 为偶数，且 = ,
2 , = 2 , ∈ N
= = 2 所以 2 2 = ，即数列 的通项公式为 = ，
又由 +1 = 1，所以数列 是首项为 1 = 1，公差为 = 1 的等差数列，
= 99( 1+ 99) = 99×(1+99)所以 99 2 2 = 4950．
(2)解：(ⅰ)由 9 = 9，所以 9 = lg 9 = lg9 ，
因为 0 < lg9 < 1，根据取整函数的定义，可得 9 = lg9 = 0，
又由 9 = 99，所以 99 = lg 99 = lg99 ，
因为 1 < lg99 < 2，根据取整函数的定义，可得 99 = lg99 = 1，
由 999 = 999，故 999 = lg 999 = lg999 ，而 2 < lg999 < 3，
所以 999 = 2．
由 1999 = 1999，所以 1999 = lg 1999 = lg1999 ，
因为 3 < lg1999 < 4，根据取整函数的定义，可得 1999 = lg1999 = 3．
(ⅱ)由( )知，当 1 ≤ < 10 时，可得 0 ≤ lg < 1，此时 = 0，共有 9 项；
当 10 ≤ < 100 时，可得 1 ≤ lg < 2，此时 = 1，共有 90 项；
当 100 ≤ < 1000 时，可得 2 ≤ lg < 3，此时 = 2，共有 900 项；
当 1000 ≤ < 10000 时，可得 3 ≤ lg < 4，此时 = 3，共有 9000 项，
因为 2025 = 9 + 90 + 900 + 1026，
所以 2025 = 0 × 9 + 1 × 90 + 2 × 900 + 3 × 1026 = 4968．
17.【详解】(1)由题意得 sin ≠ 0，则 ≠ π, ∈ ，
则 ( )的定义域为 | ≠ π, ∈ ．
sin + cos sin2 sin + cos 2sin cos
(2)(ⅰ) ( ) = sin = sin
= 2cos sin + cos = sin2 + 2cos2 1 + 1 = sin2 + cos2 + 1，
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因为 12 = 3 + 1
π π 1
，即 sin 6 + cos 6 + 1 = 2 +
3
2 + 1 = 3 + 1，解得 = 3，
( ) = 3sin2 + cos2 + 1 = 2sin 2 + π则 6 + 1，
π
因为 ∈ 12 ,
π
3 ，则 2 +
π
6 ∈
π 5π 5π
3 , 6 ，则 ( )min = 2sin 6 + 1 = 2．
(ⅱ)令 2 + π2 ≤ 2 +
π 3π π
6 ≤ 2 + 2 , ∈ ，解得 + 6 ≤ ≤ +
2π
3 , ∈ ，
令 = 1 5π π，则 6 ≤ ≤ 3，又因为 ∈ π, 0 ，
则 ( )在区间 π, 0 5π π的单调递减区间为 6 , 3 ．
18.【详解】(1)当 = 0 时， ( ) = ln , > 0，
令 ( ) = ln ( 1)，
′( ) = 1 1，
由 ′( ) > 0，得 0 < < 1，由 ′( ) < 0，得 > 1，
所以 ( ) = ln ( 1)在(0,1)单调递增，在(1, + ∞)单调递减，
最大值 (1) = 0，
所以 ( ) = ln ( 1) ≤ (1) = 0, > 0，即 ( ) ≤ 1，
令 ( ) = ln 1 1 , > 0，
′( ) = 1 1 1 1 2 = 1 , > 0，
由 ′( ) > 0，得 > 1，由 ′( ) < 0，得 0 < < 1，
所以 ( ) = ln 1 1 , > 0 在(0,1)单调递减，在(1, + ∞)单调递增，
最小值 (1) = 0，
( ) = ln 1 1所以 ≥ (1) = 0, > 0，即 ( ) ≥ 1
1
，
1
综上：1 ≤ ( ) ≤ 1
(2)当 ≤ 2 时，ln( + ) ≤ ln( + 2)，
要证明 ln( + ) ≤ e ，只需证明e ln( + ) ≥ 0，
故只需证明 ( )= e ln( + 2) > 0．
′( ) = e 1 +2 ( > 2)．
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因为函数 = e 和函数 = 1 +2在( 2, + ∞)上单调递增，
′( )在( 2, + ∞)上单调递增，．
1
′( 1) = e 1 1 < 0, ′(0) = 2 > 0
所以 ′( )必定存在唯一一个零点 0，且 0 ∈ ( 1,0)，
所以 ( )在 2, 0 上单调递减，在 0, + ∞ 上单调递增，
所以 ( )min = 0 = e 0 ln 0 + 2 ．
由 ′ 0 = 0
1
，得e 0 = +2，ln 0 + 2 = 0，0
2
所以 = 10 +2+ =
0+1
0 > 0，
0 0+2
所以 ( ) ≥ 0 > 0．
所以，当 ≤ 2 时， ( ) < e ．
19. 1 1 1 1【详解】(1)因 +1 = 2 + 2，则 = 2 1 + 2 , ≥ 2，
1
两式作差得 +1 = 2 1 ，
= 3 1 1 5 1因 1 2，则 2 = 2 1 + 2 = 4，则 2 1 = 4 ≠ 0，
1
由递推关系可知，数列{ +1 }各项均不为零，故 +1 = 2， 1
则数列{ +1 }是等比数列；
(2)因 1 1 +1 = 2 + 2，则 +1 1 =
1
2 1
1
，又 1 1 = 2，
1 1
结合以上递推关系可知，数列 1 各项均不为零，故 +1 = ， 1 2
故数列 1
1 1
是以2为首项，2为公比的等比数列，
1
1
则 1 = 2 ，则 = 2 + 1；
1 2 2 1
(3)由(2) 1可知， 1 2 3 2 1 = 2 + 1
1
2 + 1
1
2 + 1 ，
1 1 1 2 1 2 1
令 = 2 + 1 2 + 1 2 + 1 ，
1 2 1 2 +1 1 1 2
则 +1 = + 1 + 1 = +
3 1 + 1，
2 2 2 4 2 4
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1 2 1
因 > 0, +14 4 > 0，则 > 1，即 +1 > ，则数列 为递增数列，
下面求证： + 1 < e , > 0，
令 ( ) = e 1, > 0，则 ′( ) = e 1 > 0，
则 ( )在(0, + ∞)上单调递增，则 ( ) > (0) = 0，即e 1 > 0，得证；
1 1 1 2 1 2 1
下面求证：2 < = 2 + 1 2 + 1 2 + 1 < e，
1 1

因 2 > 0, ∈ N
1，则 2 + 1 < e 2 ，
1 1 1 2 1 2 1 1
1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1
则 2 + 1 + 1 + 1 < e 2 e 2 e 2 = e 2
+ 2 + + 2
2 2
1 2
2
1
2
1 1
1 2 1
= e 2 = e1 2 < e，
1
= 1 1
2 1 3 135
因 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 = 64 > 2，则 2 < <
故若 1 2 3 2 1 < 对 ∈ 恒成立，则 ≥ e，
又 ∈ ，则 的最小值为 3．
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