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2025-2026 学年北京市顺义区牛栏山第一中学高三上学期 10 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.如果集合 = 1,2,3 , = 1,2,6 ，则 ∩ =( )
A. 1,2,3,6 B. 3 C. 1,2 D. 1
2.复数 满足 1 + = 1 ，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 22
1 3.若 2 < 0, 2 > 1, =
3 2，则 , 、 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
4.下列函数中满足定义域为 且在 0, + ∞ 上单调递增的是( )
A. = 1 B. = C. = 3 +
2 D. = 2 2
5.若函数 满足 + 1 = .且当 0 < ≤ 2, = 1 ，则 4 =( )
2
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
6.设 是 所在平面内的一点，满足 + = ，若 = 1，则 =( )
A. 14 B.
1
2 C. 1 D. 2
7.对于等比数列 ，则“ 1 + 3 < 2 + 4”是“数列 为单调递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知数列 为单调递增的等差数列、前 项和为 ，若 5， 6， 10成等比数列，则当 取最小值时， =( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
9.某种生物的数量 与时间 (单位：天)之间的关系为： = 0 ，其中 0表示该生物的初始数量，已知经
过 10 天后，种群数量变为原来的 2 倍.求至少经过多少天，使该生物数量超过初始数量的 10 倍(参考数据：
25 ≈ 2.32)( )
A. 23 B. 24 C. 33 D. 34
10.设 = 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + 4 5 64 + 5 + 6 ，其中 ∈ 1,1 = 0,1,2, , 6 .当满足 1 =
1 时， 2 的最大可能取值为( )
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A. 127 B. 120 C. 113 D. 112
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11 ln .函数 = 的定义域为 ．
1 2
12.已知 是定义域为 的连续奇函数，则函数 在区间 1,1 上的最大值与最小值之和为 ．
13.若 = max , + 2 ，则 的最小值为 ．
2
14 + 1, ≥ 0.已知函数 = 4 2 , < 0 ，当 = 0 时，函数的值域为 .若函数 有三个不同零点，则
的取值范围是 ．
15.定义 = | = , , , ∈ ，集合 是 的非空子集.若集合 满足：对于任意 , ∈ 均有 | = +
1 , 0 ≤ ≤ 1 ，则称集合 为 的“凸子集”.对于下列命题：
①集合 = | = , , ≥ 是 的“凸子集”；
②集合 = | = , , ≤ ln 是 的“凸子集”；
③若集合 1、 2均为 的“凸子集”，则集合 1 ∪ 2也是 的“凸子集”：
④若集合 1、 2均为 的“凸子集”，且 1 ∩ 2 ≠ ，则集合 1 ∩ 2也是 的“凸子集”；
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知 = 1,2 , = , 2 ．
(1)若 // ，求 的值；
(2)若 2 + ⊥ 2 ，求 的值；
(3)若 与 5的夹角余弦值等于 5 ，求 的值. (直接写答案)
2 217 +1.已知函数 = ．
(1)求 1 , 1 ；
(2)若 ≥ 3，求 的取值范围；
(3)设函数 的定义域为 ，若存在 0 ∈ ，使得 0 ≤ ，求 的最小值．
18 1.数列 满足 21 = 2, +1 = 2 + , = 1,2,3, ．
(1)求 2, 3；
(2)当 < 0 时，判断数列 是否为等差数列，并说明理由：
(3)求证：“ > 1”是“数列 单调递增”的充分不必要条件．
19.已知 ≥ 0, = 1 ln 2 + 2 ln ．
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(1)令 = ′ ，求 的最小值；
(2)求证：当 > 1 时， > ln 2 2 ln + 1．
20 +2.已知函数 ( ) = , > 0．
(1)求函数 ( )在点(0, (0))处的切线方程；
(2)已知 = 1，且直线 是曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线.求证：当 > 0 时，存在 < 0 使得直线 过点
( , ( ))．
21.已知 = ∣ = 1, 2, , , ∈ 0,1 , = 1,2, , ≥ 3 是 元数组集合， 是 的非空子集.对于任
=1
意 元数组 = 1, 2, , , = 1, 2, , ∈ ，定义 与 之间的距离为 , = ∑ ，记

= min , ∣ , ∈ , ≠ 为子集 的致密度，其中 表示有限集 中的最小数．
(1)当 = 3 时，直接写出 3的一个三元子集 ，使得其致密度 = 2；
(2)当 = 4 时，设 是 4的子集.且满足致密度 ≥ 2，求集合 中元素个数的最大值，并说明理由：
(3)设 ，记 的致密度为 = ≥ 2 ，用 max 表示集合 中元素个数的最大值，证明：max ≥
2
0+ 1+ + 1
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. |0 < < 1
12.0
13.1
14.(0, + ∞)；(2,4)
15.①④
16.(1)因为 = 1,2 , = , 2 ，又 // ，则 2 = 2 ，
解得 = 2，此时 = 2, 4 ， = 2 ，满足题意，所以 = 2．
(2)因为 = 1,2 , = , 2 ，则 2 + = + 2, + 2 ，2 = 2 , 6 ，
又 2 + ⊥ 2 ，则 2 + 2 = 0，所以 2 + 2 + 2 + 6 = 0，
整理得到 2 2 8 = 0，解得 = 4 或 = 2，所以 的值为 4 或 2．

(3)因为 cos , = +2 4 5 2

= = > 0，整理得到 7 20 + 12 = 0，
5× 2+ 2 2 5
= 2 = 6 6 18 6解得 或 7，当 = 7时，3 4 = 7 4 < 0，所以 = 7不合题意，
所以 的值为 2．
2
17.(1) = 2 +1 2+1 1 = 1 = 3, 1 =
2+1
1 = 3；
(2)由该函数的解析式可知 ≠ 0，
≥ 3 2
2+1
由 ≥ 3 2
2 + 1 ≥ 3 2 1 1 ≥ 0 ≥ 1 1，或 ≤ 2，
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因为 ≠ 0 1，所以解得 ≥ 1，或 ≤ 1，或 2 ≤ < 0，或 0 < ≤
1
2，
因此 的取值范围为 ∞, 1 ∪ 12 , 0 ∪ 0,
1
2 ∪ 1, + ∞ ；
2
(3) 2 +1 1 1显然 = ≠ 0 ， = = 2 + ≥ 2 2 ，
即 ≥ 2 2 1 2，当且仅当 2 = 时取等号，即当且仅当 =± 2 时取等号，
因为存在 0 ∈ ，使得 0 ≤ ，
所以 ≥ 2 2，因此 的最小值为 2 2．
18.(1)因为数列 满足 1 = 2,
1 2
+1 = 2 + , = 1,2,3, ，
1 1
所以 22 = 2 × 2 + = 2 + , 3 = 2 × 2 +
2 + = 1 22 + 3 + 2；
(2)假设数列 能为等差数列，设它的公差为 ，
1 1
2 2 +1 = 2 + 2 + = 2 2 + 1 +
2 2 + 2 2 + 2 4 + 2 = 0，
因此当 ∈ 1时， 2 +1 = 2 + 恒成立，
所以等式 2 2 + 2 2 + 2 4 + 2 = 0 在 ∈ 时恒成立，
2 = 0
所以有 2 = 0 = = 0．
2 4 + 2 = 0
因为 < 0，所以数列 不能是等差数列．
(3) 1 1 1当 > 1 时，因为 2 2 +1 = 2 + = 2 1 + 2 > 0，
所以 +1 > ，因此数列 单调递增，
1
当 = 1 时， 2 +1 = 2 + 1 =
1 2 1
2 1 + 2 > 0，显然数列 单调递增，
但是 > 1 不成立，
故“ > 1”是“数列 单调递增”的充分不必要条件．
19.(1)因为 = 1 ln 2 + 2 ln ，则 ′ = 1 2ln 2 + ，
所以 = 2ln + 2 ，易知 > 0， ′ = 1 2 2 = ，
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当 ∈ 0,2 时， ′ < 0，当 ∈ 2, + ∞ 时， ′ > 0，
即 在区间 0,2 上单调递减，在区间 2, + ∞ 上单调递增，
所以 的最小值为 2 = 2 2ln2 + 2 ．
(2)因为 ≥ 0，则 2 = 2 2ln2 + 2 = 2 1 ln2 + 2 > 0，
由(1)可知 = ′ > 0 在 ∈ 0, + ∞ 恒成立，
所以 ′ > 0 在 ∈ 0, + ∞ 恒成立，
即 = 1 ln 2 + 2 ln 在区间 0, + ∞ 上单调递增，
所以当 > 1 时， = 1 ln 2 + 2 ln > 1 = 1 1 = 0，
即 > ln 2 2 ln + 1，命题得证．
20.(1)函数 ( ) = +2 , > 0，求导得 ′( ) =
2
，则 ′(0) = 2，而 (0) = 2，
所以函数 ( )图象在点(0, (0))处的切线方程为 = ( 2) + 2．
(2) = 1 +2 +1当 时，函数 ( ) = ，令 + 1 = ， ( ) = 1，
则直线 是曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线，当 > 0 时，存在 < 0 使得直线 过点( , ( ))，
等价于直线 ′是曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线，当 > 1 时，存在 < 1 使得直线 ′过点( , ( ))，
由 ( ) = +1 +1 1，求导得 ′( ) = 1，则 ′( ) = 1，而 ( ) = 1，
+1 2
于是直线 ′的方程为 1 = 1 ( ) =

，即 1 +
+ +1
1 ，
=
2+ +1
1 + 1 +1 2+ +1由
= +1
，得 + = 0，
1
+1 2+ +1
依题意，原问题转化为当 > 1 时，方程 + = 0 有小于 1 的解，
+1 2+ +1
设 ( ) = + ，其中 < 1， > 1 且 ( ) = 0，
2
(1) = 2 +1 2
1
=
2 1
则 ，令 ( ) = 2
1 2 1, > 1，求导得 ′( ) = 2 1 2 ，
令函数 = 2 1 2 , > 1，求导得 ′ = 2 1 2 > 0，函数 ′( )在(1, + ∞)上单调递增，
2
于是 ( ) > (1) = 0，即 (1) > 0，而 ( 1) = +2 +1 < 0，且函数 ( )图象连续不断，
则存在 0 ∈ ( 1,1)，使得 ( 0) = 0，即函数 ( )有小于 1 的零点，
2
因此当 > 1 +1 + + +1时，方程 = 0 有小于 1 的解，
所以当 > 0 时，存在 < 0 使得直线 过点( , ( ))．
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21.(1) 3 = 0,0,0 , 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 , 1,1,0 , 1,0,1 0,1,1 , 1,1,1 ．
当 = 0,0,0 , 1,1,0 , 1,0,1 时，满足题意．
(2) 44中有2 = 16 个元素， 0,0,0,0 与 1,1,1,1 间的距离为 4．
要想满足 ≥ 2，集合 中的任意两个 4 元数组中至少有两个数不同．
不妨选定 是 4的子集中含数组 0,0,0,0 ，则集合 中的元素有如下几种情况：
含有与 0,0,0,0 有两个不同数的数组中的任意数组；
含有与 0,0,0,0 有三个不同数的数组中的任意数组；
含有与 0,0,0,0 有四个不同数的数组中的任意数组；
同时含有与 0,0,0,0 有两个不同数的数组和与 0,0,0,0 有四个不同数的数组．
因为 24 > 34 > 44，所以集合 中最多有 1 + 2 44 + 4 = 8 个元素，即 =
0,0,0,0 , 1,1,0,0 , 1,0,1,0 , 1,0,0,1 , 0,1,1,0 , 0,1,0,1 0,0,1,1 , 1,1,1,1 ．
故集合 中元素个数的最大值为 8．
(3)因为 ( ) = ≥ 2，所以集合 中至少可以包含两个元素，故 max| | ≥ 2，
不等式右侧为 。

对于 ≥ 3 1 2，2 > 1 + 2 1恒成立，因此，max| | ≥ 2 > 2 1，原不等式得证
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