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广西部分学校 2026 届高三上学期金太阳联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = { ∈ | ≤ 6}，集合 = {1,2,3,4}， = {1,3,5}，则 ( ∪ ) =( )
A. {1,2,3,4,5} B. {6} C. {0,6} D. {0,1,3,5,6}
2 .已知 = 1 ，则 =( )
A. 1 B. 1+ C. 1 D. 1 +
3.若 = 1.010.5, = 1.010.6, = 0. 60.5，则 , , 的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
4.“sin2 + cos2 = 1”是“ ± = 0”的( )
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知等差数列{ }的前 项和为 ，若 4 = 2， 8 = 12，则 20 =
A. 30 B. 58 C. 60 D. 90
6.已知函数 ( ) = cos + π π3 ( > 0)的图像向左平移3个单位后，得到 ( )的图像，若 ( )， ( )的图像
关于 轴对称，则 的最小值为( )
A. 4 B. 8 C. 2 33 D. 2
7.已知函数 ( ) = 4 + 6, ≤ 0,|ln |, > 0, 若函数 ( ) = ( ) 恰有 3 个零点 1， 2， 3，则 1· 2· 3的取值范围
是
A. 3 32 , 0 B. 2 , 0 C. ( ∞,0] D. ( ∞,0)
8.已知函数 ( )是定义在 上的偶函数， ′( )是 ( )的导函数， ( ) + ′( ) = 2 ，若 [ ( ) ] ≤
在 上恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 1 ] B. [
1
, 0) C. ( ∞, 1] D. [ 1,0)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式化简正确的是( )
A. 3 π 2 = π 3 B. lg3 + lg7 = 1
7
C. 2 2 2 = 28 D. 1 1 1log =864 log644 6
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10.如图，在四边形 中， ( ∈ )为边 上的一列点，连接 交 于点 ( ∈ )，且 满足
+1 = 2 +1 ，其中数列{ }是首项为 1 的正项数列，则
A. 1 1数列 + 1 为等比数列 B.数列 的前 项和为2
+1 2

C.数列{ 1 }为递增数列 D. = 2 1
11.已知函数 ( ) = sin 2 + ( > 0,0 < < )的部分图象如图 1 所示， ， 分别为图象的最高点和
最低点，过 作 轴的垂线，交 轴于 ′，点 为该部分图象与 轴的交点．将绘有该图象的纸片沿 轴折成
直二面角，如图 2 所示，此时| | = 10，则下列结论正确的有
A. = 3
B. = 3
C.图 2 中， = 5
D.图 2 中， 是△ ′ 及其内部的点 构成的集合．设集合 = { ∈ || | ≤ 2}，则 表示的区域的面积
π
小于8
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 2+3 .已知复数 = 3 2 ，则复数 +
2 + 3 + 4 = ．
13.过点(0, 3)与圆 2 + 2 4 = 0 相切的两条直线的夹角为 ，则 = ．
14.对圆周率 的计算几乎贯穿了整个数学史．古希腊数学家阿基米德借助正 96 22边形得到著名的近似值：7 .
355 355
我国数学家祖冲之得出近似值 ，后来人们发现 6113 113 < 10 ，这是一个“令人吃惊的好结果”.随着科
技的发展，计算 的方法越来越多，已知 = 3.141592653589793238462643383279502…，定义 ( )( ∈ )
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的值为 的小数点后第 个位置上的数字，如 (1) = 1， (4) = 5，规定 (0) = 3.记 1( ) = ( )， +1( ) =
( ( ))( ∈ )，集合 为函数 ( )( ∈ )的值域，则集合 4 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
我国人脸识别技术处于世界领先地位．所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离
是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点． ( 1, 1)， ( 2, 2)， 为坐标原点，余弦相似度为
向量 ， 夹角的余弦值，记作 cos( , )， ， 的余弦距离为1 cos( , ).已知 (cos , sin )， (cos , sin )，
(cos , sin )，若 1 1， 的余弦距离为3，tan tan = 7，求 ， 的余弦距离．
16.(本小题 15 分)
2 2
已知 (0,3) 3 和 3, 2 为椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)上两点．
(1)求 的离心率；
(2)若过 的直线 交 于另一点 ，且△ 的面积为 9，求 的方程．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ， ⊥ ， = 2， = = 1， 为 的
中点．
(1)证明：平面 ⊥平面 ．
(2) 2 2若直线 与平面 所成角的正弦值为 3 ， > 1，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
sin
已知函数 ( ) = ( > 0)的极值点构成数列{ }( ∈
).
(1)证明：当 ∈ (0, ]时， ( ) < ．
(2) sin 求函数 ( ) = ( > 0)的单调区间，并证明{ }为等差数列．
(3) 若不等式 ≥ | |对一切 ∈
恒成立，求 的取值范围．

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19.(本小题 17 分)
设数列{ }的前 项和为 ，已知 2 = +1 +1 2 + 1( ∈ )，且 2 = 5．
(1) 证明 2 + 1 为等比数列，并求数列{ }的通项公式．
(2)设 = log3( + 2 )，若对于任意的 ∈ ，不等式 (1 + ) ( + 2 ) 6 < 0 恒成立，求实数
的取值范围．
(3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字命名的函数即为

高斯函数 ( ) = [ ]，其中[ ]表示不超过 的最大整数，如[2.3] = 2，[ 1.9] = 2. +2设 = 4 ，数列{ }
的前 项和为 ，求 2024除以 16 的余数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0
13.125
14.{1,3,4,5,9}
15.解：由题意得 = cos , sin , = cos , sin , = cos , sin ，
1 1， 的余弦距离为3，所以 1 cos( , ) = 3 ，cos( , ) =
2
3

则 cos , = 2 ∣ = cos cos + sin sin = 3 ， ∣
tan tan = sin sin 1又 cos cos = 7 ，
∴ cos cos = 7sin sin ，
∴ sin sin = 112 , cos cos =
7
12 ，
1 cos , = 1 cos cos sin sin 1 = 1
7
12
1 1
12 = 2 ．
1
故答案为：2
= 3, 2
16. (1) 9 = 9,解： 由题意，得 9 4 解得
2 + 2 = 1,
2 = 12,
2 = 1 = 1 9 = 1所以 2 12 2．
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3 3
(2) = 2
1
0 3 = 2，则直线 的方程为 =
1
2 + 3，即 + 2 6 = 0，
| | = (0 3)2 + (3 3 )2 = 3 5 (1)
2
+
2
2 2 ，由 知， ：12 9 = 1．
2×9
设点 到直线 的距离为 1，则 1 = =
12 5
．
3 5 5
2
又原点 到直线 的距离 2 =
6 = 6 5 15 5 = 2 1，设过点 且平行于 的直线为 ，所以原点 到直线 的距
离等于点 到直线 的距离，即直线 与直线 关于原点对称．
3
又由椭圆的对称性，得 (0, 3)或 3, 2 ．
当 (0, 3) 3 3时，此时 = 2，直线 的方程为 = 2 3，即 3 2 6 = 0；
当 3, 3 1 12 时，此时 = 2，直线 的方程为 = 2 ，即 2 = 0．
综上，直线 的方程为 3 2 6 = 0 或 2 = 0．
17.解：(1)因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
取 中点 ，连接 ，
因为 / / ， = 2， = 1，
所以 = = 1，又 // ，所以四边形 为平行四边形，
因为 ⊥ ， = = 1，所以四边形 为正方形，
故 A = = 1， ⊥ ，
所以△ 为等腰直角三角形，
故∠ = ∠ = 45 ，∠ = 90 ，即 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
故 AC⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ;
(2)因为 ⊥平面 ， ， 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
由(1)得， ⊥ ，
故以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
(0,0,0)， (1, 1,0)， (1,1,0)，设 (0,0, ) 1 1 ， > 1，则 ( 2 , 2 , 2 )，
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设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，
= ( 1, 1, 1) (1,1,0) = 1 + 1 = 0
则 ,
= ( 1 1 1 1 1, 1, 1)·( 2 , 2 , 2 ) = 2 1 2 1 + 2 1 = 0
令 = 1 2 21 ，则 1 = 1， 1 = ，故 = (1, 1, )，
则直线 与平面 所成角的正弦值为
|cos < ， ，
4 2 2
所以 =2+ 2· 2+ 4 3 ，解得， = 2 或 = 1(舍去)，负值也舍去，
2
故平面 的法向量为 = (1, 1, 1)，
又平面 的法向量为 = (1,0,0)，
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，

则 cos = |cos < > | = | | = |(1, 1, 1) (1,0,0)| = 3， ．
| || | 1+1+1 3
18.证明：(1)当 ∈ (0, ]时，令 ( ) = ， ′( ) = ( + 1) ，
令 ( ) = ( + 1) ， ′( ) = ( + 2) + > 0，所以 ′( ) = ( )单调递增，
当 ∈ (0, ]时， ′( ) = ( + 1) > ′(0) = 0 0 = 0，
所以 ( )在(0, ]上单调递增，所以 ( ) = > (0) = 0，
即得 > ，所以 ( ) = < ；
2cos( + )
(2)证明：因为 ( ) = ( > 0)，所以 ( ) =
cos sin
′ 2 =
cos sin
=
4
，
又因为 > 0，
当 cos( + 4 ) > 0 时，即 ∈ (
3
4 + 2 ,

4 + 2 ) ∈ ，或 ∈ (0,

4 )， ′ > 0， ( )单调递增；
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当 cos( + 4 ) < 0 时，即 ∈ (

4 + 2 ,
5
4 + 2 ) ∈ ， ′ < 0， ( )单调递减；

所以函数 ( ) = ( > 0) (
3
的单调增区间为 4 + 2 , 4 + 2 ) ∈ ，(0, 4 )，
5
单调减区间( 4 + 2 , 4 + 2 ) ∈
；
2cos( + )
令 ′( ) = 4 = 0，即得 +
= 4 2 + ，所以 = 4 + , ∈ ，
sin
结合单调区间知函数 ( ) = ( > 0)的极值点为 ，
5
因为 1 = 4， 2 = 4，…所以 = 4 + ( 1) ，

即得 +1 = 4 + [

4 + ( 1) ] =

，所以{ }是以4为首项以 为公差的等差数列；
|sin( 3 )| 2
(3)由(2)知 =

4 + ( 1) =
3
4 , ∈ ，则| ( )| =
4
3 = 2 3 ，
4 4

因为不等式 ≥ | ( )|对一切 ∈
恒成立，即不等式 对一切 ∈ 恒成立，
2
令 ( ) = | ( )| = ( 3 ) 2 4 3 ， 4
2 2 + 3
因为 ( + 1) ( ) = ( + ) 2 ( 3 ) 2 = 24 [
4
4 ]，
+4 4
3 2 +4 4
3
4
( ) = ( ) = 1 令 ， ′ ，
当 ∈ (0,1)， ′( ) = 1 > 0， ( )单调递增，
当 ∈ (1, + ∞) 1 ， ′( ) = < 0, ( )单调递减，
3 +
3
当 ≥ 2 时， + 4 > 4 > 1,
4 < 4 ，
+
3
4 4
5
当 = 1 时，5 < ， 4 < 45 ，
4 4
3
≥ 1 ( + 1) ( ) = 2
+4 所以当 时， ( 42 ) < 0， +

4
3
4
2×
所以 ( )单调递减，所以 ( ) 2 4 2 max = (1) = = ，
4 8 4
所以 2 的取值范围是[ , + ∞)．
8 4
19.解：(1)证明：当 = 1 时，由已知得，2 21 = 2 2 + 1，即 1 = 1 = 1，
当 ≥ 2 时，由已知得，2 1 = 2 + 1，又 2 = +1 2 +1 + 1，
两式相减得 2 = 2 +1 +1 + 2 ，
即 +1 = 3 + 2 ，又因为 2 = 5 = 3 × 1 + 2 = 3 1 + 21，
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所以当 ∈ 时， +1 = 3 + 2 ，
+1 = 3 2
3 1即2 +1 2 2 + 2 +1 = 2 2 + 2，

即 +1
3
2 +1 + 1 = 2 ( 2 + 1)，

因为 1 + 1 = 32 2 ≠ 0

，所以 2 + 1 ≠ 0，
+1
2 +1
+1 3
所以
2 +1
= 2，
{ 3 3即 2 + 1}是首项为2，公比为2的等比数列，

即
3 3 1
2 + 1 = 2 ( 2 ) =
3
2 ，
所以 = 3 2 ；
(2)由(1)可知 = 3(3 2 + 2 ) = ，
故对于任意的 ∈ ，不等式 (1 + ) 6 < 3 恒成立，
2+ 6 2+ 6
即 > 3 恒成立，设 = 3 ，
( +1)2+( +1) 6 3( 2+ 6)
于是 +1 = 3 +1 ，
2
整理得， = 2(7 ) +1 3 +1 ，
所以当 ≥ 3 时， +1 < 0，即 3 > 4 > 5 > … > > …，
当 ≤ 2 时， +1 > 0，即 3 > 2 > 1，
2 2
所以 ≤ 3 = 9，即 > 9，
所以 的取值范围为( 29 , + ∞)；

(3) 3 2 +2 3由(1)可知 = [ 4 ] = [ 4 ]，
因为3 = (4 1) = 04 + 14 1 1 ( 1) + … + 141 ( 1) 1 + ( 1)
= 4 × 0 4 1 + 1 4 2( 1)1 + … + 1 ( 1) 1 + ( 1) ，
3 3 3 3 3 1
所以当 为奇数时， 4 = [ 4 ] + 4，当 为偶数时， 4 = [ 4 ] + 4，
所以 2024 = 1 + 3 + … + 2023 + 2 + 4 + … + 2024
3+ 33 +…+ 32023 3 32 +34 +…+32024 1
= 4 1012 × 4 + 4 1012 × 4
= 1 3(1 3
2024) 2024
4 1 3 1012 =
3(3 1)
8 1012，
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32024 1 1012 1012
而 8 =
9 1
8 =
(8+1) 1
8
= 0 810111012 + 1 1010 1010 101110128 + … + 10128 + 1012，
考虑到当 ≥ 2 时，8 能被 16 整除，
101010128 = 506 × 1011 × 8 也能被 16 整除，
所以 10112024除以 16 的余数等于 3 × 1012 1012 除以 16 的余数，
而 3 × 10111012 1012 = 2024 = 16 × 126 + 8，
所以 2024除以 16 的余数等于 8．
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