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街
吉林油田高级中学2025-2026学年度第一学期期初考试
四、解答题(77分)
高二数学答题卡
16(15分)
15(13分)
考号
姓名
缺考
贴条形码区
班级
注意事项：
准考证号
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号
码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区
域内。
⊙
岛
p>2.选择题必须使用2B铅笔填涂且按正确填
涂方式填涂：■非选择题必须使用0.5毫
米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹
清浙。
回
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作
答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿
四
四
四
纸、试题卷上答题无效。
回回
四四四
单选题(40分)》
1四围回回
2四围回D
3四围四D
4四回回回5四回回回
6B D
7四B 四8B围 D
二、多选题(18分)
9四aD
10B
11 LA
三、填空题(15分)
12(5分)
13(5分)
14(5分)
第1页
第2页
第3页
◆
■
17(15分)
18(17分)
19(17分)
C
A
D
D
第4页
第5页
■
第6页
吉林油田高级中学2025-2026学年度第一学期期初考试
4.+5
B.22+3
c.D.
高二数学试卷
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多
时间：120分钟满分：150分
个选项符合题目要求.
第I卷
9.已知ab<0,bc<0,则直线ar+by=c通过()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的
10.下列命题正确的是()
A.直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为一1
四个选项中，只有一项是符合题目要求的、
B.直线2x+(m-1)y-2m=0过定点(1,2)
1.已知直线1的倾斜角为45°，则直线1的斜率为()
A.B.C.
C.若a,b是方程x2-x一√20的两个实根，则点P(a,b)在圆C:x2+y2=8外
D.1
2
D.若方程x2+y2+2mx一2y+m2+m=0表示圆，则正数m的取值范围是(0,1)
2.己知点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，则OB=()
11.如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，AD=DE-4,
A.3B.4C.5D.52
G为线段AE上的动点，则()
3.在直三棱柱ABC-AB1C1中，∠BCA=90°，D1,F分别是A1B1,A1C的中点，
BC=CA=CC,则BD1与AF1所成角的余弦值为()
A.若G为线段AE的中点，则GB/平面CEF
40BcD.西
B.多面体ABCDEF的体积为
10
15
10
4.经过点(2,2)圆心为C(1,1)的圆的方程是(
C.AE⊥CF
A.(x+1)2+(y+1)2=2
B.(x-1)2+(0y-1)2=2
C.(x+1)2++1)2=√2D.xD.BG+CG2的最小值为44
-1)2+0y-1)2=√2
第Ⅱ卷
5.己知△ABC的顶点A(1,一1,2)，B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
的高BD的长等于()
A.3B.4C.5D.6
12.己知a=(2,-1,3),6=(-4,2,x),且a⊥b,则x=
6.若直线x一2y+5=0与直线2x+my-6-0互相垂直，则实数m等于()
13.若直线1沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度，
4-1a1c;n.月
又回到原来位置，则直线1的斜率是
7.若平面a与B的法向量分别是a=(1,0,-2),i=(-1,0,2),则平面a与B的位
置关系是()
14.在四棱锥P-ABCD中，PA1平面ABCD,∠BAD=90°，PA=AB=BC=)AD=1,
A.平行B.垂直C.相交不垂直D.无法判断
8.若直线a-by+2=0(a>0,b>0)经过圆x2+y2+4x-4y+4=0的圆心，则+2的最
BC1/AD,Q是四边形ABCD内一点，且二面角Q-PD-A的平面角的大小为子，则
a b
动点Q的轨迹长度为一
小值为()
高二数学试卷第1共2页一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线l的倾斜角为45o，则直线l的斜率为( )
A． B． C． D．1
2．已知点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，则( )
A．3 B．4 C．5 D．
3．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90o，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
4．经过点(2,2)圆心为C(1,1)的圆的方程是( )
A．(x+1)2+(y+1)2=2 B．(x－1)2+(y－1)2=2 C．(x+1)2+(y+1)2= D．(x－1)2+(y－1)2=
5．已知△ABC的顶点 A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
6．若直线x－2y+5=0与直线2x+my－6=0互相垂直，则实数m等于( )
A．－1 B．1 C． D．
7．若平面与的法向量分别是=(1,0,－2)，=(－1,0,2) ，则平面与的位置关系是( )
A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．无法判断
8．若直线经过圆的圆心，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由直线过圆心得到，再结合乘“1”法即可求解.
【详解】由，可得圆心坐标，
因为直线过圆心，所以，即，
所以(当且仅当，即)取等号，
所以的最小值为，故选：B
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．已知ab<0，bc<0，则直线ax+by=c通过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ACD
A．直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为－1
B．直线2x+(m－1)y－2m=0过定点(1,2)
C．若a，b是方程x2－x－=0的两个实根，则点P(a,b)在圆C：x2+y2=8外
D．若方程x2+y2+2mx－2y+m2+m=0表示圆，则正数m的取值范围是(0，1)
11．如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则( )
A．若G为线段AE的中点，则平面
B．多面体的体积为
C．
D．的最小值为44
【答案】ACD
【分析】利用空间向量可判断A,C,D，把多面体分割成两个四棱锥，求出体积可判定B.
【详解】因为矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，且两个平面的交线为，，
所以平面；以为原点，分别为轴的正方向，建系如图，
.
对于A，G为线段AE的中点，，;
，设是平面的一个法向量，
则，，令，则，即.
因为，所以，又平面，所以平面，A正确.
对于C，，因为，所以，C正确.
对于D，设，，
，，所以当时，取到最小值44，D正确.
对于B，由正方形的性质可得，由题设条件可知平面，
由可得，所以四棱锥和四棱锥的高均为.
其体积，所以多面体的体积为，B不正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知=(2，－1，3)，=(－4，2，x)，且⊥，则x=________.
若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度，又回到原来位置，则直线l的斜率是__________.
14．在四棱锥中，平面，，，，是四边形内一点，且二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹长度为 ．
【答案】
【分析】根据题设构建合适的空间直角坐标系，由二面角确定点轨迹为平面与平面的交线，与轴交点为，标注出相关点坐标，并求出平面、平面的法向量，应用向量法及面面角大小列方程求参数，最后应用坐标法求向量的模即可得.
【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
因为二面角的平面角大小不变，所以点轨迹为平面
与平面的交线，
设点的轨迹与轴的交点坐标为，又，，
则，，，且平面的一个法向量，
设平面的一个法向量，则，取，得，
设为二面角，即的平面角，则，解得，
所以动点的轨迹长度.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．(13分)求下列直线方程
(1)已知直线l经过直线2x+y－5=0和x－2y=0的交点，且A(5,0)到l的距离为3, 求直线l的方程；
(2)求与直线l：x－y－2=0平行且到l距离为的直线方程.
解(1)设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0.
“点 A(5.0)到l的距离为3,
∴
即 2λ2－5λ十2=0, ∴λ=2,或λ=
∴直线l的方程为x=2或4x-3y-5=0. （7分）
(2)设所求直线方程为x－y+λ=0，
∵所求直线到直线l：x－y－2=0的距离为2
∴
所以λ=2或λ=－6
∴所求直线方程为x－y+2=0或x－y－6=0 （13分）
16．(15分)
已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,－2)两点，且圆心C在直线l: x－y+1=0上，
(1)求圆C的标准方程.
(2)在(1)的条件下，求x+y的取值范围.
解：(1)解法一：设圆心C的坐标为(a,b).因为圆心C在直线l:x-y+1=0上，
所以a-b+1=0.① 因为A，B是圆上两点，所以|CA|=|CB|.
根据两点间距离公式，有，
即a-3b-3=0.② 由①②可得a=-3，b=-2.
所以圆心C的坐标是(-3,-2).
圆的半径r=|AC|==5.
所以，所求圆的标准方程是.（8分）
解法二：如图，设线段AB的中点为D.由A，B两点的坐标为(1,1)，(2,-2)，
可得点D的坐标为，直线AB的斜率为kAB=.
因此，线段AB的垂直平分线l’的方程是，
即x-3y-3=0.由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，
所以它的坐标是方程组的解.解得
所以圆心C的坐标是(-3,-2).圆的半径r=|AC|==5.
所以，所求圆的标准方程是.（8分）
(2)解法一：∵
∴
∴，即
∴
∴x+y的取值范围是.（7分）
解法二：设x+y=λ，则直线x+y－λ=0与圆C有公共点
∴圆心C到直线x+y－λ=0的距离
即，
∴x+y的取值范围是.（7分）
17．(15分)如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60o.
(1)求AC1长；
(2)求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.
(1)解：设=，，，则{，，}为空间的一个基底，
且++，
∵AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°
∴||=||=||=1， ·=·=·=
即AC1长为。 （7分）
(2)证明：，.+-
在平面BDD1B1上，取，为基向量，
则对于平面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对()，
使得，
所以
所以是平面BDD1B1的法向量，所以A1C⊥平面BDD1B1.
说明：直接计算也正确。（8分）
18．(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA∥平面EDB；
(2)求证：PB⊥平面EFD；
(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
（6分）
19．(17分)在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为()；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.平面内任一点在面的两侧分别对应和.
(1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；
(2)已知平面的点法式方程可表示为，点与点在平面外的同侧，点B在平面内的投影点为，且，点C为平面内任意一点，求的最小值；
(3)若平面为，平面与平面的交线为，且平面与平面所成面面角余弦值大小为，求平面的点法式方程.
参考答案：(1)(2)(3)或
【分析】(1)会借助公式，从条件中得到直线的方向向量和平面的法向量，即可求解；
(2)会利用将军饮马问题的解法，来求对称点坐标，从而计算两点间距离即可；
(3)利用方程组求解思想来求法向量，然后通过取一个点来写出平面的点法式方程.
【详解】(1)由直线的标准式方程为可知，直线l的一个方向向量坐标为，
由平面的点法式方程为可知，平面的一个法向量为，
设直线l与平面所成角为，
所以有，
所以，即直线l与平面所成角的余弦值为. （5分）
(2)由平面的点法式方程为可知，平面的法向量为，
设点在平面内的投影点为，易知与共线，
故，又由点在平面上，则满足，
令，则把代入可得：
，解得，
再代入，即可得，
由点A及点B在平面外的同侧，点C为平面内任意一点，要求的最小值，
利用将军饮马问题，可设点关于平面的对称点为，
则为中点，故由中点公式可得，
所以由两点间距离公式可得，
因为，所以，
由几何关系可知. （11分）
(3)由平面为可知，平面的法向量，
由交线方程为可知，的方向向量，
设平面的法向量，则有，
整理得，不妨设，解得或；
故平面的法向量或
又直线在平面内，不妨取其上一点，
若，则平面为；
若，则平面为
综上，平面的点法式方程为：
或 （17分）

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