资源简介

惠州中学2025——2026学年高二年级第一学期期中考试
数 学
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，不得折叠。
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 过点(1,2)和点(3,0)的倾斜角为 ( )
A. 45° B. 60° C. 135° D.150°
2.若方程 表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为()
A.(2,3) B.(1,3) C. (-1,2) D.(-1,1)
3. 如图, 在三棱锥O-ABC中, 若点M,N分别在棱OA,BC上，且 则
4.过点A(1，4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()
A. x-y+3=0 B. x+y-5=0
C. 4x-y=0或x-y+3=0 D. 4x-y=0或x+y-5=0
5.直线 直线l :x+(a+1)y-2=0,若l ∥l ，则两直线的距离为 ()
A. C. / D.
6.点M(x,y)在曲线上运动， 且t的最大值为b，若a， 则 的最小值为()
A. 1 B. C. 2 D.
第1页(共4页)
7.教材44页第17题(2)：在空间直角坐标系中，若平面α经过点. 且以 为法向量，P(x，y，z)是平面α内的任意一点，求证： 利用教材给出的材料, 解决下面的问题: 已知平面α的方程为x-y+z-7=0, 直线l是平面x+2y-3=0与x+z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为 ()
8. 如图, 在四棱锥E-ABCD中, CE⊥底面ABCD, BC=BD=CD=2, CE=4, F是棱AE的中点, 则三棱锥B-DEF的外接球的表面积为 ()
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分)
9.下列结论正确的是 ()
A.已知向量 则向量 在上的投影向量为(2，-2，4)
B.若对空间中任意一点O，有 则P,A,B,C四点共面
C. 若 是空间的一组基底，若 则 也是空间的一组基底
D.若直线l的方向向量为 平面α的法向量 则直线l⊥α
10. 已知圆O: 则( )
A. 圆O与直线 mx+y-m-1=0必有两个交点
B.圆O上存在4个点到直线l： 的距离都等于 1
C.若圆O与圆 恰有三条公切线，则m=16
D. 已知动点P在直线x+y-4=0上, 过点P向圆O引两条切线, A, B为切点, 则|OP||AB|的最小值为8
11. 在棱长为2的正方体ABCD-A B C D 中, E为棱CD的中点, F为棱A B 上一动点, 点P在平面C EF 内运动，下列说法正确的是 ()
A.三棱锥D-C EF 的体积为定值
B.在动点F由A 运动至B 的过程中，二面角E-FM-B先增大后减小
C.平面C EF截正方体 所得截面图形可能是等腰梯形
D.若F为棱A B 的中点，D P与平面C EF所成角为，则点P的轨迹长度为
第2页(共4页)
三、填空题(本题共 3小题，每小题 5 分，共15 分)
12. 在空间直角坐标系O-xyz中, 点P(1,2,4)到 Ox轴的距离为 .
13.已知椭圆 的左焦点为F ，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，若点M 是线段PF 的中点, 则△MOF 的周长为 .
14. 已知点P (0, 2),圆上两点M(x ,y ), N(x ,y )且M,P,N三点共线, 则 的最小值为 .
四、解答题(本题共 5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)求下列直线方程：
(1)已知B(3,1), C(-1,-1),
(i)求BC边所在的直线方程；
(ii)求 BC边上的垂直平分线所在直线的方程；
(2)已知点P(3，-1)，求过点P 且与原点距离为3的直线l的方程.
16. (15分) 如图, 已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'.
(1)若AB=4,AD=2,AA'=2,∠BAD=90°,∠BAA'=60°,∠DAA'=60°, 求.AC'的长度；
(2)若AB=AD=AA'=2,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°, 求AC与BD'所成角的余弦值.
17. (15分)(1) 如图, 已知圆E 点 ，P是圆E上任意一点.线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，求动点Q的轨迹Γ的方程；
(2)已知椭圆 的左、右焦点分别为 点M在椭圆C上运动.若 求点N 的轨迹方程.
第3页(共4页)
18.(17分)立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨(méng)”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF 折起，连接AB、CG 就得到了一个“刍薨”(如图2).
(1)若O是四边形EBCF对角线的交点, 求证: AO//平面GCF;
(2)若二面角A-EF-B的大小为 求直线AB与平面GCF所成角的正弦值；
(3)在(2)的条件下，在棱AG上是否存在点P，使得平面EBP与平面GCF所成的二面角的正切值为 若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.
19. (17分)已知圆 圆O 与圆O 关于直线y=x+2对称，圆
(1)求圆O 与圆O 的公共弦所在的直线方程和圆O 的方程；
(2)Q为平面内一动点，QC，QD分别为圆O 与圆O 的切线(C，D为切点)且 求点Q的轨迹方程；
(3)斜率为k(k≠0)的直线l过点(-1,0)与圆O 交于A,B两点(A在x轴上方). 将平面xOy沿x轴折叠, 使平面AOx⊥平面BOx，设折叠后|AB|的长度为f(k)，求函数f(k)的解析式，并求函数的值域.
第4页(共4页)惠州中学2025一2026学年高二年级第一学期期中考试
数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
9
不
A
A
BC
ACD
ACD
12.25
13.8
14.48
6.【解】曲线C:x2-4x+y2-21=0可化为(x-2)+y2=25,表示圆心为A(2,0),半径为5的
圆.t=(x+6)2+(y-6)2-222-a,(x+6)2+y-6)2可以看作圆C上一点M到点N(-6,6)的距离的平方，
而圆C上一点M到N的距离的最大值为AW+5=10+5=15,
.1max=152-222-a=225-222-a=b,∴.a+b=3,
+合+a+b治++222+2)月
当且仅当a-b时等号成立.故选B.
7.【解】：平面a的方程为x-y+z-7=0,∴.平面a的一个法向量m=(1,-1,),
同理，可得平面x+2y-3=0的一个法向量n=(1,2,0),平面x+z+1=0的一个法向量p=(1,0,1),
设平面x+2y-3=0与平面x+z+1=0的交线的方向向量为9=(x,y,z),
9i=x+2y=0
可万=x+2=0，取y=1,则9=（←2,12）
则
设直线1与平面a所成角为0，则sin0=os(m,9》
m.q 3
9，
故选：A
8.【解】因为AB=AD,BC=CD,所以AC⊥BD,设AC∩BD=M,则M为BD的中点，
因为CE⊥平面ABCD,AC,BDC平面ABCD,所以BD⊥CE,AC⊥CE,
因为AC,CEC平面ACE,AC∩CE=C,所以BD⊥平面ACE,
由题意知MB=MD=BD=1,
2
所以三棱锥B-DEF的外接球的球心O在平面ACE上.
BC=BD=CD=2,故△BCD为等边三角形，故MC=BCsin60°=√3，
AB=AD=27,MA=AB2-BM2=33,AC=MA+MC=43,
又CE=4,故AE=VCE2+AC2=8,
A
如图，取棱AE的靠近E的四等分点Q,
则Q为线段EF的中点，QM∥CE,因为F为AE的中点，
所以CF=】AE=4,所以CF=CE,所以QC⊥EF,所以三棱锥B-DEF的外接球的球心O在直线QC上.
2
以M为坐标原点，MA,MB,MQ分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系Mz,则A3W5,0,0),B(01,0),C(-V3,0,0),
E(V5,0,4),(0,0,3),所以C0=(W5,0,3）,
因为0在0C上，设Co=C@=(V5元，0,3入，所以0的坐标为(V5(2-1),0,32),
又0B=0,即5a-+1+9=5+6以-4，解得=号
故o9a2
所以0-590-
16
所以S=4,0B=4元16_64怀故选：A
33
10.【解】对于A,将直线mx+y-m-1=0整理得(x-1)m+y-1=0,
-18解得x=1.y=1,
x-y+√2=0
所以直线mx+y-m-1=0过定点(1,1)，因为12+12<4，
所以该定点在圆内，则圆0与直线mx+y一m一1=0必有两个交点，故A正确：
府干B,圆x2+y上4的圆心到直线：X二y+V2=0的距离为D
过圆心且与直线1平行的直线，与圆相交，且两个交点到直线1的距离为1，
与直线1平行且与直线1在圆心同侧，若此直线与圆相切，则切点到1的距离为1，
所以圆上只有三个点满足题意，故B错误：
对于C,将圆x2+y2-6x-8y+m=0化成标准形式为(x-3)2+(y-4)2=25-m,
因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，
所以√(0-3)2+(0-4)2=√25-m+2,解得m=16,故C正确：
对于D,连接OP,OA,OB,
因为A,B为切点，所以OA⊥PA,OB⊥PB,
所以S四边形PAOB=2S△POA=2S△POB,且当P0最小时，SAPOA最小，
所以当P0与直线x+y-4=0垂直时，1P0lmin=0t0-=2√2，
V12+12
又因为半径为2，所以IPAlmn=、(22)2-1OA2=2,(SAPOA)min=左PAlinI0(A|=2,
又IPA=PB1,IOA=IOBI,所以PO垂直平分AB,所以S四边形PAOB=IPOIIAB,
所以(IOPIIABI)min=2(S四边形PAoB)min=4(SAPOA)min=8,故D正确.故选：ACD.
2

展开更多......

收起↑