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宝安中学2025-2026学年第一学期高一阶段考试数学试卷
考试时间：120分钟 卷面总分：150分
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2．命题，的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3. 已知，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
4．定义差集．现有三个集合，
如图所示，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6.已知函数在[3，4]上具有单调性，则实数k的取值范围是（　　）
A．[6，8] B．（-∞，6]∪[8，+∞） C．[8，+∞） D．（-∞，6]
7. 若命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.定义：表示，中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. B. 集合
C. 集合 D. 若，则
10. 已知的解集是，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 不等式的解集是
C. 的最小值是
D. 当时，，的值域是，则的取值范围
是
11. 已知，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最小值为16 B. 的最小值为13
C. 的最小值为10 D. 的最小值为128
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.函数的定义域为__________.
13. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______.
14．已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题， 13+15+15+17+17=77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若存在正实数，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数的取值范围．
16.（15分）已知为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），在线段AB上距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行.
（1）某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间；
（2）一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值.
17. （15分） 已知函数
（1）若是上的增函数，求实数的取值范围;
（2）当时，求不等式的解集；
（3）当时，用单调性的定义证明：函数在区间上单调递增.
18．（17分）已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）求关于的不等式的解集；
（3）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.
19．（17分）已知正数满足．
(1)求的取值范围．
(2) 求的最小值
(3)若正数满足，证明：．
宝安中学2025-2026学年第一学期高一阶段考试数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A A C D B B A B BD BCD AD
11.
，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C错误；
因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故D正确.
12. 13.
14． 因为，所以当时，；当时.
要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立.则当时，；当时，；
所以当时，，
所以，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
即的最小值为.故答案为：.
15．（1）解：当时，集合，则或，…..2分
又由不等式解得，所以，……………….4分
所以. ………………………………..7分
（2）解：由（1）知，集合，当时，，
因为“”是“”成立的必要不充分条件，即集合是集合的真子集，…..10分
则且等号不能同时成立，解得，
所以正实数m的取值范围中.………………………………..13分
16.解：（1）在中，，所以.
所以此人从海岛到达地的时间为.
又从地到达地的时间为，故此人从海岛到达地的时间为.
答：此人从海岛到达地需. ………………………………..5分
（2）依题意，. ………………………………..9分
所以.
因为（当且仅当时，取“”），所以.
答：快递员速度的最大值为. ………………………………..15分
注：利用方程有解，判别式法亦参照给分
17. 【1】因为，
又是上的增函数，所以，解得，
所以实数的取值范围为；………………………………..5分
（2）当时，不等式即两根为，不等式的解集为…….10分
（3）当时，函数
设
函数在区间上单调递增. ………………………………..15分
18．【详解】（1）当时，即
的两根为 的解集为 …………………..4分
（2）解：由不等式，
若，不等式即为，解得，即不等式的解集为；
若，不等式可化为，即，
此时方程的两根分别为，
当时，不等式即为，解得，解集为；
当时，不等式即为，
若，可得，解得或，不等式的解集为或；
若，可得，不等式即为，此时不等式的解集为；
若，可得，解得或，不等式的解集为或，
综上可得：
当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或. ………………………………..11分
（3）解：,即
设，
的最大值为，
若存在，使得不等式成立
的取值范围是 ………………………………..17分
19．【详解】（1）由，则，则，解得或，
又，则，即的取值范围为； ………………………………..5分
（2），
则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值是9；………………………………..11分
（3），则需证明，
，当且仅当时等号成立，
同理可得、，
当且仅当、时等号成立，
则，
则，
即，当且仅当时等号成立，即得证. ……..17分
试卷第4页，共8页

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