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2025-2026学年北京市海淀区清华大学附属中学高三上学期10月月考数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
4.已知向量，则( )
A. B. C. D.
5.在交通工程学中有如下定义：交通流量辆小时是单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度千米小时是单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度辆千米是单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数，其中和的测量通常视为连续不断的数值设某路段的和满足其中是正数，则随着车流密度增大，以下说法正确的是( )
A. 车流速度增大 B. 交通流量增大
C. 交通流量先减小后增大 D. 交通流量先增大后减小
6.设正项等比数列的前项和为，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.若是函数图象上两个不同的点，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
8.先将函数且的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若方程有无数个解，则的值不能为( )
A. B. C. D.
9.已知函数和的定义域都为，且图象都是连续不断的，则“和都是奇函数”是“存在最大值或存在最小值”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.已知、、是的三条边且设函数，则下列结论中正确的是( )
A. 对任意正数，、、能作为一个三角形的三条边
B. 对任意，、、都不能作为一个直角三角形的三条边
C. 当是钝角三角形时，有零点
D. 存在，使得
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是 ．
12.在中内角、、所对边分别为、、，能说明“若，则是直角三角形”为假命题的一组、的值 ， ．
13.已知正方形边长为为线段的中点，若为线段上的动点，为的中点，则的最小值为 ．
14.已知函数
当时，不等式的解集为 ；
若是的一个极值点，则的取值范围是 ．
15.已知等差数列与等比数列都是无穷递增数列，给出下列四个结论：
不存在数列与，使得是递减数列；
存在数列与，使得是递增数列；
不存在数列与，使得同时有无穷个正项和无穷个负项；
存在数列与，使得恰好出现三个为的项．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知等差数列的前项和为，且．
求的通项公式：
等比数列的首项为，公比为，在下列三个条件中选择一个，使得的每一项都是中的项若对任意的，有，求的通项公式和前项和．
条件
条件
条件．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17.已知函数．
求函数的对称中心和单调递增区间：
若在区间上的取值范围是，求的取值范围．
18.已知函数，其中．
求的极大值和极小值
设点，其中为的极值点，若直线与轴交于点，求的最小值．
19.某自然保护区为研究某动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观察人员分别在处观测该动物种群如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得注：在同一平面内
求的面积；
求点之间的距离．
20.已知函数，其中．
若曲线在处的切线为轴，求的值：
函数的导函数为，曲线与曲线交于两点，求证：直线的斜率小于．
21.设数表是一个由和构成的行列的数表，且中所有数字之和不小于，所有这样的数表构成的集合记为记为的第行各数之和为的第列各数之和为的最大值．
对如下数表，求的值．
设数表，求的最小值：
已知为正整数，对于所有的，若，且的任意两行中最多有列各数之和为，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
答案不唯一，只需满足即可
13.

14.

15.
16.由题意，设等差数列的首项为，公差为．
则有
所以通项公式为
选择条件．
由可知，若，则，
显然当为偶数时，不是中的项，
因此，选择条件不符合要求；
选择条件：．
等比数列的首项为，公比为，则，
由题意，即
当时，；当时，．
但必须为整数，因此时成立，时不成立．
因此，选择条件不符合要求；
选择条件：．
等比数列的首项为，公比为，则，
由题意，即
当时，；当时，因为任意均不是中的因子，
所以为奇数，所以为偶数，
所以均为整数，因此条件符合要求．
于是，
故其前项和为
．

17.函数化简：
，
由，，解得，所以的对称中心为，．
由，可得，
所以的单调递增区间为，．
由题意，在上的取值范围为．
即：，
解得：，
又，则，解得，
因此，的取值范围为．

18.，
令，得或，
由于，则，
所以当时，，当时，，
所以为极大值点，为极小值点，
所以函数极大值为，极小值为．
由可知为极大值点，为极小值点，极大值为，极小值为；
不妨设为极大值点，，则点，点，
则直线的斜率为，
所以直线方程为，
令，得，求导得，
令，得舍去或．
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
时，取得最小值为．

19.在中，，，则．
因为，，
所以由正弦定理得，
所以的面积为；
在中，，，
则，，
因此，．
在中，由余弦定理
，
因此．

20.函数求导，
由题意，曲线在处的切线为轴，则，
即，令，易知，
则在上单调递增，在上单调递减，所以，
即只有一个解，得；
曲线与的交点满足，
化简得，
则或即，
不妨令交点，则．
直线的斜率为，
由上可知，所以，
令，则，故，
于是．

21.数表的行和为：，
列和为：，
因此．
由题意知，中所有数字之和不小于，
即至少有个，要使得取到最小值，则中只有个，
如下表：
由上表可得 的最小值为，
下面说明：
当某行某列全都是时，则其它行或列的个数分别为：
，此时；
当某行某列只有个时，则其它行或列的个数分别为：
，此时；
当某行某列只有个时，则其它行或列的个数分别为：
，此时；
由上可知，．
，故中的所有数字之和为，
由题意定义得出，可得出，
当时，每行中仅有列为，任意两行中至多有列和为，舍去；
当时，每行中仅有列为，任意两行中至多有列和为，舍去；
当时，如下表所示，
每行中仅有列为，任意两行中至多有列和为，合乎题意；
当或时，无法满足“任意两行中最多有列各数之和为的条件”，故不成立．
综上所述：．

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