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第五章《二元一次方程组》单元测试2025-2026学年北师版八年级数学上册（解析版）
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知方程是关于的二元一次方程，则的值是（ ）
A．2 B．0或2 C．1 D．0
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，得到，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故选D．
足球联赛积分规则如下：每胜一场得分，平一场得分，负一场得分．
第轮后（即每队均比了场），甲球队的积分为分，若设甲队胜了场，负了场，
则与应满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出方程．设甲队胜了场，负了场，则平了场，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：共踢了场，设甲队胜了场，负了场，则平了场，
胜一场得分，平一场得分，负一场是分，共得分．
，
，
故选：B．
3．已知是关于x，y的方程的一个解，则k的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟知方程的解是使方程两边相等的未知数的值是解题的关键．把二元一次方程的解代入方程得到k的一次方程，然后解关于k的一次方程即可．
【详解】解：把代入方程，
得，
解得．
故选：B．
4．某农户，养的鸡和兔一共70只，已知鸡和兔的腿数之和为196条，则鸡的只数比兔多多少只（ ）
A．20只 B．14只 C．15只 D．13
【答案】B
【分析】设该农户养了x只鸡，y只兔，根据题意列出二元一次方程组，然后求解方程得到x与y的值，再相减计算即可.
【详解】设该农户养了x只鸡，y只兔，
根据题意，得，
解得，
∴x－y＝42－28＝14.
故选B.
如果是方程组的解，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，求代数式的值等知识，将解代入方程组，解出a和b的值，再代入代数式计算．
【详解】解∶将解，代入方程组，
得：，
解得，
∴，
故选∶B．
我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：
“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”
大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺：
如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？
设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了列二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．设竿长尺，绳索长尺，根据“索比竿子长一托”可得；对折绳索后长度为，此时“比竿子短一托”，即，由此建立方程组．
【详解】解：∵绳索比竿长5尺，
即，对应方程。
∵对折后的绳索长度为，比竿短5尺，
即，
对应方程，
联立方程：，
故选：A
7．如果方程组的解为．那么被“”遮住的两个数分别为（　 　）
A．3，10 B．4.10 C．10，4 D．10，3
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入，求出，再代入，进行求解即可．
【详解】解：把代入，得：，
解得：，
把代入，得：；
故选C．
8．根据图中提供的信息，可知每个杯子的价格是（ ）
A．51元 B．35元 C．8元 D．7.5元
【答案】C
【分析】要求一个杯子的价格，就要先设出一个未知数，然后根据题中的等量关系列方程求解．题中的等量关系是：一杯+壶=43元；二杯二壶+一杯=94．
【详解】解：设一杯为x，一杯一壶为43元，
则右图为三杯两壶，即二杯二壶+一杯，
即：43×2+x=94
解得：x=8（元）
故选C．
9．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（　 　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：设过点（1，1）和（0，-1）的直线解析式为y=kx+b，
则，解得，
所以过点（1，1）和（0，-1）的直线解析式为y=2x-1；
设过点（1，1）和（0，2）的直线解析式为y=mx+n，
则，即得，
所以过点（1，1）和（0，2）的直线解析式为y=-x+2，
所以所解的二元一次方程组为，
故选：D．
一群人去袁山公园坐小船游湖，若租用座的小船若干条，则有人没座位，
若租用座小船则刚好坐满，但要多租条，若同时租两种或只租一种，
使每条小船坐满且每人都有座位，则共有租船方案（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，设需租座的小船条，则需租座的小船条，利用一元一次方程求出人数，再设租座的小船条，座的小船条，可得二元一次方程，根据解方程即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出一元一次方程和二元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设需租座的小船条，则需租座的小船条，
依题意得，，
解得，
∴人数，
设租座的小船条，座的小船条，
依题意得，，
∴，
∵均为非负整数，
∴当时，
当时，；
当时，；
当时，；
∴共有种租船方案，
故选：．
二、填空题：（本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在题中横线上．）
11．已知方程，用含x的代数式表示y，则y＝ ．
【答案】/
【分析】本题考查用含有x的代数式表示y，能够熟练掌握方程的移项是解决本题的关键．将含x的项直接移项即可．
【详解】解：∵，
∴移项得．
故答案为：．
12．若是关于x和y的二元一次方程的解，则k的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程进行求解即可．
【详解】解：把代入，得：，
解得：；
故答案为：．
13. 如图，足球的表面是由块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，
已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多块，则白色皮块的块数是____________

【答案】20
【分析】本题考查了二元一次方程的运用，设黑色的有x块，白色的有y块，根据数量关系列二元一次方程组求解即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【详解】解：设黑色的有块，白色的有块，
∴，
解得，，
∴白色皮块的块数为，
故答案为：20．
14．若，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组．初中范围内常见的非负数有：任何数的平方，任何数的绝对值，以及二次根式．
根据任何数的平方，以及绝对值都是非负数，两个非负数的和是0，则每个非负数都等于0，即可求得x，y的值，进而就可求得的值．
【详解】解：∵，，且，
∴，，
∴，，
解得，
∴．
故答案为：．
15.若关于x，y 的方程组和有相同的解，则的值为___________
【答案】1
【分析】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，将方程组中不含a、b的两个方程联立，求得方程的解，联立含有含a、b的两个方程，把方程的解代入，两方程相加可求解即可，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键．
【详解】∵和有相同的解，
∴可以把四个二元一次方程重新组合成方程组，
∵解方程组，得，
∴的解也为，
把代入，
得：，
两个方程相加，得，
整理，得，
∴
故答案为：1
16．现有1角、5角、1元硬币各25枚，从中取出36枚，共值24元，则1元硬币取 枚．
【答案】12或16或20
【分析】本题主要考查了三元一次方程组、方程组的解等知识点，结合题意判断x的取值范围是解题的关键．
设1角、5角、1元硬币各取x枚，y枚，z枚，然后根据题意列三元一次方程组，并结合题意可判断x必须是5的倍数且，又x为整数，可分类讨论当，5，10时，再将三元一次方程组化为二元一次方程组再进行求解即可．
【详解】解：设1角、5角、1元硬币各取x枚，y枚，z枚，
由题意可列：
∵取出的硬币共值24元，
∴x必须是5的倍数，
∵当时，取出硬币的总价值小于24元，
∴，
（1）当时，方程化为，解得：符合题意；
∴1元硬币取12枚；
（2）当时，方程化为，解得：符合题意；
∴1元硬币取16枚；
（3）当时，方程化为，解得：符合题意；
∴1元硬币取20枚．
综上：1元硬币取12枚，16枚，20枚．
故答案为：12或16或20．
三、解答题：（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程组：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
由可得：，
解得，
将代入①可得：，
解得，
∴原二元一次方程组的解为；
（2）解：，
由可得：，
解得，
将代入①可得，
解得，
∴原方程组的解为 ．
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”
某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书，
根据以下对话，求甲，乙两种书的单价分别为多少元；

【答案】甲种书的单价为25元，乙种书的单价为30元．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键．
甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，根据购买3本甲种书和2本乙种书共需135元，
购买2本甲种书和1本乙种书共需80元，列出二元一次方程组，即可解答．
【详解】解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元．
由题意得： ，
解得： ，
答：甲种书的单价为25元，乙种书的单价为30元．
19．已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值．
【答案】1
【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、代数式求值，根据两个方程组的解相同可得，解得x，y的值，再代入，可求得a，b的值，最后代入代数式求值即可．
【详解】解：由题意得，，
由得，，
解得，
把代入得，，
解得，
方程组得解集为，
把代入得，
，
由得，，
把代入得，，
解得，
．
20．小江在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯按图示的方式整齐地叠放在一起．
(1)求一个纸杯的高度约为多少厘米？
(2)若小江要把这些纸杯摆高，那么最多可摆多少个？
【答案】(1)一个纸杯的高度约为厘米
(2)最多可摆个
【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键．
（1）设杯身高，杯口高，由此列方程组求解即可；
（2）设最多可摆个，由此列式即可求解．
【详解】（1）解：设杯身高，杯口高，
∴，
解得，，
∴设杯身高，杯口高，
∴一个纸杯的高度约为厘米；
（2）解：设最多可摆个，
∴，
解得，，
∴最多可摆个．
21.在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为；
乙看错了方程组中的b，得解为．
(1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？
(2)求出原方程组的正确解．
【答案】(1)甲把错看成了1；乙把错看成了1
(2)
【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组等知识．
（1）分别将两组解代入方程组，求出正确的与的值，以及错误与的值即可；
（2）将正确的与的值代入方程组，确定出方程组，求出解即可．
【详解】（1）解：将，代入方程组得
，
解得：，
将，代入方程组得
，
解得：，
∴甲把错看成了1；乙把错看成了1；
（2）解：根据（1）得正确的，，
则方程组为，
解得：．
为了响应“阳光运动一小时”校园体育活动，我校计划再购买一批篮球，
已知购买2个品牌的篮球和3个品牌的篮球共需380元；
购买4个品牌的篮球和2个品牌的篮球共需360元．
（1）求、两种品牌的篮球的单价．
（2）我校打算网购20个品牌的篮球和3个品牌的篮球，“双十一”期间，京东购物打折促销，
其中品牌打八折，品牌打九折，问：学校购买打折后的篮球所花的费用比打折前节省了多少钱？
【答案】（1）A品牌的篮球的单价为40元/个，B品牌的篮球的单价为100元/个；（2）学校购买打折后的篮球所花的费用比打折前节省了190元．
【分析】（1）设A品牌的篮球的单价为x元/个，B品牌的篮球的单价为y元/个，根据“购买2个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球共需380元；购买4个A品牌的篮球和2个B品牌的篮球共需360元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总价=单价×数量，列式计算，即可求出结论．
【详解】解：（1）设A品牌的篮球的单价为x元/个，B品牌的篮球的单价为y元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：A品牌的篮球的单价为40元/个，B品牌的篮球的单价为100元/个；
（2）20×40×（1-0.8）+3×100×（1-0.9）=190（元）．
答：学校购买打折后的篮球所花的费用比打折前节省了190元．
游泳自古以来深受大家的喜爱，伟大领袖毛主席畅游长江时，写下了“才饮长沙水，又食武昌鱼．
万里长江横渡，极目楚天舒．不管风吹浪打，胜似闲庭信步，今日得宽馀”的千古名篇．暑期将至，
某游泳俱乐部推出暑期游泳活动，活动方案如下：
方案一：不办理会员金卡，每次按原价收费；
方案二：办理会员金卡，每次游泳按原价的五折收费．
设游泳次，按照方案一所需费用为元；按照方案二，所需费用为元，
其函数图象如图所示．
(1)求直线的解析式；
(2)求直线的解析式及点的坐标，并说明点的实际含义；
(3)小明暑假准备到该游泳俱乐部学习游泳，请你帮助小明设计一个最优惠的方案．
【答案】(1)
(2)，点的坐标为，点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元
(3)见解析
【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设直线的解析式为，再把代入进行计算，即可作答．
（2）理解题意，得每次游泳的原价为（元），设直线的解析式为，故．因为点为直线的交点，则，得点的坐标为，点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元．
（3）结合（2），则当游泳次数大于20时，，选择方案二更优惠；当游泳次数小于20时，，选择方案一更优惠，即可作答．
【详解】（1）解：设直线的解析式为．
由图可知的图象经过．
解得
．
（2）解：由可知，金卡会员每次游泳的费用为10元．
办理会员金卡后，每次游泳按原价的五折收费，
每次游泳的原价为（元）
设直线的解析式为，
．
点为直线的交点，
此时，
即．
解得．
此时．
点的坐标为．
点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元．
（3）解：由（2）得游泳20次的时候，方案一与方案二的费用相同，此时选择方案一与方案二都可以；
当游泳次数大于20时，，选择方案二更优惠；
当游泳次数小于20时，，选择方案一更优惠．
已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；
用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，
计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，
根据以上信息﹐解答下列问题：
1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
请你帮该物流公司设计租车方案．
若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次﹐
请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】(1)辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨；
(2)有种租车方案：方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆；
(3)租型车辆，型车辆，最少租车费为元．
【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组及二元一次方程是解题的关键．
（）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意，列出二元一次方程组即可求解；
（）根据题意，列出二元一次方程，再根据都是正整数解答即可求解；
（）分别求出每一种方案的费用即可求解；
【详解】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，
依题意得，，
解得，
答：辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨；
（2）解：由（）得，，
∴，
∵都是正整数，
∴或或，
∴有种租车方案：
方案一：型车辆，型车辆；
方案二：型车辆，型车辆；
方案三：型车辆，型车辆；
（3）解：∵型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次，
∴方案一需租金：元；
方案二需租金：元；
方案三需租金：元；
∵，
∴最省钱的租车方案是方案三，
答：租型车辆，型车辆，最少租车费为元．
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第五章《二元一次方程组》单元测试2025-2026学年北师版八年级数学上册
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知方程是关于的二元一次方程，则的值是（ ）
A．2 B．0或2 C．1 D．0
足球联赛积分规则如下：每胜一场得分，平一场得分，负一场得分．
第轮后（即每队均比了场），甲球队的积分为分，若设甲队胜了场，负了场，
则与应满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是关于x，y的方程的一个解，则k的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．7
4．某农户，养的鸡和兔一共70只，已知鸡和兔的腿数之和为196条，则鸡的只数比兔多多少只（ ）
A．20只 B．14只 C．15只 D．13
如果是方程组的解，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．3
我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：
“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”
大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺：
如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？
设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
7．如果方程组的解为．那么被“”遮住的两个数分别为（　 　）
A．3，10 B．4.10 C．10，4 D．10，3
8．根据图中提供的信息，可知每个杯子的价格是（ ）
A．51元 B．35元 C．8元 D．7.5元
9．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（　 　）
A． B．
C． D．
一群人去袁山公园坐小船游湖，若租用座的小船若干条，则有人没座位，
若租用座小船则刚好坐满，但要多租条，若同时租两种或只租一种，
使每条小船坐满且每人都有座位，则共有租船方案（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
二、填空题：（本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在题中横线上．）
11．已知方程，用含x的代数式表示y，则y＝ ．
12．若是关于x和y的二元一次方程的解，则k的值是 ．
13. 如图，足球的表面是由块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，
已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多块，则白色皮块的块数是____________

14．若，则代数式的值为 ．
15.若关于x，y 的方程组和有相同的解，则的值为___________
16．现有1角、5角、1元硬币各25枚，从中取出36枚，共值24元，则1元硬币取 枚．
三、解答题：（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程组：
(1) (2)
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”
某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书，
根据以下对话，求甲，乙两种书的单价分别为多少元；

19．已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值．
20．小江在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯按图示的方式整齐地叠放在一起．
(1)求一个纸杯的高度约为多少厘米？
(2)若小江要把这些纸杯摆高，那么最多可摆多少个？
21.在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为；
乙看错了方程组中的b，得解为．
(1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？
(2)求出原方程组的正确解．
为了响应“阳光运动一小时”校园体育活动，我校计划再购买一批篮球，
已知购买2个品牌的篮球和3个品牌的篮球共需380元；
购买4个品牌的篮球和2个品牌的篮球共需360元．
（1）求、两种品牌的篮球的单价．
（2）我校打算网购20个品牌的篮球和3个品牌的篮球，“双十一”期间，京东购物打折促销，
其中品牌打八折，品牌打九折，问：学校购买打折后的篮球所花的费用比打折前节省了多少钱？
游泳自古以来深受大家的喜爱，伟大领袖毛主席畅游长江时，写下了“才饮长沙水，又食武昌鱼．
万里长江横渡，极目楚天舒．不管风吹浪打，胜似闲庭信步，今日得宽馀”的千古名篇．暑期将至，
某游泳俱乐部推出暑期游泳活动，活动方案如下：
方案一：不办理会员金卡，每次按原价收费；
方案二：办理会员金卡，每次游泳按原价的五折收费．
设游泳次，按照方案一所需费用为元；按照方案二，所需费用为元，
其函数图象如图所示．
(1)求直线的解析式；
(2)求直线的解析式及点的坐标，并说明点的实际含义；
(3)小明暑假准备到该游泳俱乐部学习游泳，请你帮助小明设计一个最优惠的方案．
已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；
用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，
计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，
根据以上信息﹐解答下列问题：
1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
请你帮该物流公司设计租车方案．
若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次﹐
请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
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