资源简介

2025-2026学年北京市顺义区牛栏山第一中学高三上学期10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果集合，则( )
A. B. C. D.
2.复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.若，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.下列函数中满足定义域为且在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
5.若函数满足且当，则( )
A. B. C. D.
6.设是所在平面内的一点，满足，若，则( )
A. B. C. D.
7.对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知数列为单调递增的等差数列、前项和为，若，，成等比数列，则当取最小值时，( )
A. B. C. D.
9.某种生物的数量与时间单位：天之间的关系为：，其中表示该生物的初始数量，已知经过天后，种群数量变为原来的倍求至少经过多少天，使该生物数量超过初始数量的倍参考数据：( )
A. B. C. D.
10.设，其中当满足时，的最大可能取值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.已知是定义域为的连续奇函数，则函数在区间上的最大值与最小值之和为 ．
13.若，则的最小值为 ．
14.已知函数，当时，函数的值域为 若函数有三个不同零点，则的取值范围是 ．
15.定义，集合是的非空子集若集合满足：对于任意均有，则称集合为的“凸子集”对于下列命题：
集合是的“凸子集”；
集合是的“凸子集”；
若集合、均为的“凸子集”，则集合也是的“凸子集”：
若集合、均为的“凸子集”，且，则集合也是的“凸子集”；
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知．
若，求的值；
若，求的值；
若与的夹角余弦值等于，求的值直接写答案
17.已知函数．
求；
若，求的取值范围；
设函数的定义域为，若存在，使得，求的最小值．
18.数列满足．
求；
当时，判断数列是否为等差数列，并说明理由：
求证：“”是“数列单调递增”的充分不必要条件．
19.已知．
令，求的最小值；
求证：当时，．
20.已知函数．
求函数在点处的切线方程；
已知，且直线是曲线在点处的切线求证：当时，存在使得直线过点．
21.已知是元数组集合，是的非空子集对于任意元数组，定义与之间的距离为，记为子集的致密度，其中表示有限集中的最小数．
当时，直接写出的一个三元子集，使得其致密度；
当时，设是的子集且满足致密度，求集合中元素个数的最大值，并说明理由：
设，记的致密度为，用表示集合中元素个数的最大值，证明：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.因为，又，则，
解得，此时，，满足题意，所以．
因为，则，，
又，则，所以，
整理得到，解得或，所以的值为或．
因为，整理得到，
解得或，当时，，所以不合题意，
所以的值为．

17.；
由该函数的解析式可知，
由，或，
因为，所以解得，或，或，或，
因此的取值范围为；
显然，，
即，当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，
因为存在，使得，
所以，因此的最小值为．

18.因为数列满足，
所以；
假设数列能为等差数列，设它的公差为，
，
因此当时，恒成立，
所以等式在时恒成立，
所以有．
因为，所以数列不能是等差数列．
当时，因为，
所以，因此数列单调递增，
当时，，显然数列单调递增，
但是不成立，
故“”是“数列单调递增”的充分不必要条件．

19.因为，则，
所以，易知，，
当时，，当时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以的最小值为．
因为，则，
由可知在恒成立，
所以在恒成立，
即在区间上单调递增，
所以当时，，
即，命题得证．

20.函数，求导得，则，而，
所以函数图象在点处的切线方程为．
当时，函数，令，，
则直线是曲线在点处的切线，当时，存在使得直线过点，
等价于直线是曲线在点处的切线，当时，存在使得直线过点，
由，求导得，则，而，
于是直线的方程为，即，
由，得，
依题意，原问题转化为当时，方程有小于的解，
设，其中，且，
则，令，求导得，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
于是，即，而，且函数图象连续不断，
则存在，使得，即函数有小于的零点，
因此当时，方程有小于的解，
所以当时，存在使得直线过点．

21.．
当时，满足题意．
中有个元素，与间的距离为．
要想满足，集合中的任意两个元数组中至少有两个数不同．
不妨选定是的子集中含数组，则集合中的元素有如下几种情况：
含有与有两个不同数的数组中的任意数组；
含有与有三个不同数的数组中的任意数组；
含有与有四个不同数的数组中的任意数组；
同时含有与有两个不同数的数组和与有四个不同数的数组．
因为，所以集合中最多有个元素，即．
故集合中元素个数的最大值为．
因为，所以集合中至少可以包含两个元素，故，
不等式右侧为。
对于，恒成立，因此，，原不等式得证

第1页，共1页

展开更多......

收起↑