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广东省广州市增城区2026届高三10月教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
4.平面向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为，则( )
A. B. C. D.
5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升至如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，他至少经过小时才能驾驶机动车，则整数的值为参考数值：
A. B. C. D.
6.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
7.设，，且，则( )
A. B. C. D.
8.若是方程的实数解，则称是函数与的“复合稳定点”若函数且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的内角，，的对边分别为，，，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则为钝角三角形
10.设公差为的等差数列的前项和为，数列的前项和为，已知，，则( )
A. 当且仅当时，取得最大值 B. 使成立的最大整数
C. 当且仅当时，取最大值 D. 使成立的最大整数
11.函数及其导函数的定义域均为，函数的图象关于对称，且，则( )
A. 为偶函数 B. 为奇函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记为数列的前项和，若，则 ．
13.若函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
14.在中，，，设，为线段上的两个动点，且则的面积的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期和单调递增区间
将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象若，求的值．
16.本小题分
已知函数，
当时，求曲线在点处的切线方程
若有极小值，且，求的取值范围．
17.本小题分
设的内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，点在的延长线上，且．
若，求角和
若，求的长．
18.本小题分
已知等差数列与递增等比数列满足：，，．
求和通项公式
保持数列的各项顺序不变，在与之间插入个，使它们与数列的项组成一个新数列，记数列的前项和为，求
记其中，证明：．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调区间
若函数有个零点，，，其中．
(ⅰ)求实数的取值范围
(ⅱ)求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
所以函数的最小正周期．
由，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为．
， 由，得．

16.解：因为，所以，定义域为，
，所以，
又因为，
故曲线在点处的切线方程为．
函数，，定义域为
，
当时，因为，所以，
此时为单调递增函数，没有极小值，与题意不符
当时，，
令，，舍去，
当时，，
当时，，
所以函数有最小值为
又，所以，
即，
因为，所以
设，则，
所以在上单调递增，
又，
所以的解集为，
即的取值范围是．
17.由正弦定理得，
化简得，
又因为，则，可得，即，
且，所以．
在中，
解得，因为，所以，
在中，，，解得
由正弦定理得．
在与中，
由余弦定理得，
因为，所以
整理得，
而，则，
在中，．
解得，所以，
所以

18.解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题意得， 解得，或，，
因为等比数列递增，，所以，所以，
所以，．
设在数列的前项中，来自的有项，若，
则应有，整理可得，无整数解，不满足题意．
若，则应有
当时，满足题意，即数列前项包含，，，，及个，
所以．
当时，，设，
，
，
，即
当时，
设
所以，所以．
19.解：当时，，定义域为，
所以函数的单调递增区间为，无递减区间；
因为，
若函数有个零点，
此时除外还有两个不同的零点，
可得，
令，函数定义域为，
当时，在恒成立，
所以，在上单调递减，
此时在上只有个零点，不符合题意；
当时，
因为除外还有两个零点，
所以不单调，
所以存在两个零点，
此时，
解得，
当时，
设的两个零点为，，
可得，，
所以，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
又，
所以，，
因为，，
又，，
所以存在，使得，
则函数有个零点，，，
综上所述，实数的取值范围为；
(ⅱ)证明：由知，
即，
若，
此时，
所以，
当时，设，
可得，
所以在上单调递增，
则，
即当时，不等式恒成立，
因为，
所以，
因为，
所以，
即，
对等式两边同除以，
可得，
即．
故．
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