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广西部分学校2026届高三上学期金太阳联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.若，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的( )
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知等差数列的前项和为，若，，则
A. B. C. D.
6.已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数若函数恰有个零点，，，则的取值范围是
A. B. C. D.
8.已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式化简正确的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，在四边形中，为边上的一列点，连接交于点，且满足，其中数列是首项为的正项数列，则
A. 数列为等比数列 B. 数列的前项和为
C. 数列为递增数列 D.
11.已知函数的部分图象如图所示，，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点．将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图所示，此时，则下列结论正确的有
A.
B.
C. 图中，
D. 图中，是及其内部的点构成的集合．设集合，则表示的区域的面积小于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，则复数 ．
13.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则 ．
14.对圆周率的计算几乎贯穿了整个数学史．古希腊数学家阿基米德借助正边形得到著名的近似值：我国数学家祖冲之得出近似值，后来人们发现，这是一个“令人吃惊的好结果”随着科技的发展，计算的方法越来越多，已知，定义的值为的小数点后第个位置上的数字，如，，规定记，，集合为函数的值域，则集合 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
我国人脸识别技术处于世界领先地位．所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点．，，为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，，的余弦距离为已知，，，若，的余弦距离为，，求，的余弦距离．
16.本小题分
已知和为椭圆：上两点．
求的离心率；
若过的直线交于另一点，且的面积为，求的方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．
证明：平面平面．
若直线与平面所成角的正弦值为，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
18.本小题分
已知函数的极值点构成数列
证明：当时，．
求函数的单调区间，并证明为等差数列．
若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
设数列的前项和为，已知，且．
证明为等比数列，并求数列的通项公式．
设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字命名的函数即为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，设，数列的前项和为，求除以的余数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意得 ，
，的余弦距离为，所以 ，
则 ，
又 ，
，
，
．
故答案为：

16.解：由题意，得解得
所以．
，则直线的方程为，即，
，由知，：．
设点到直线的距离为，则．
又原点到直线的距离，设过点且平行于的直线为，所以原点到直线的距离等于点到直线的距离，即直线与直线关于原点对称．
又由椭圆的对称性，得或．
当时，此时，直线的方程为，即；
当时，此时，直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．

17.解：因为平面，平面，所以，
取中点，连接，
因为，，，
所以，又，所以四边形为平行四边形，
因为，，所以四边形为正方形，
故A，，
所以为等腰直角三角形，
故，，即，
又，，平面，
故AC平面，
因为平面，
所以平面平面
因为平面，，平面，
所以，，
由得，，
故以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
，，，设，，则，
设平面的法向量为，
则
令，则，，故，
则直线与平面所成角的正弦值为
，，
所以，解得，或舍去，负值也舍去，
故平面的法向量为，
又平面的法向量为，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，．

18.证明：当时，令，，
令，，所以单调递增，
当时， ，
所以在上单调递增，所以，
即得，所以；
证明：因为，所以，
又因为，
当时，即，或，，单调递增；
当时，即，，单调递减；
所以函数的单调增区间为，，
单调减区间；
令，即得，所以，
结合单调区间知函数的极值点为，
因为，，所以，
即得，所以是以为首项以为公差的等差数列；
由知，则，
因为不等式对一切恒成立，即不等式对一切恒成立，
令，
因为，
令，，
当，，单调递增，
当，单调递减，
当时，，
当时，，，
所以当时，，
所以单调递减，所以，
所以的取值范围是．
19.解：证明：当时，由已知得，，即，
当时，由已知得，，又，
两式相减得，
即，又因为，
所以当时，，
即，
即，
因为，所以，
所以，
即是首项为，公比为的等比数列，
即，
所以；
由可知，
故对于任意的，不等式恒成立，
即恒成立，设，
于是，
整理得，，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以，即，
所以的取值范围为；
由可知，
因为
，
所以当为奇数时，，当为偶数时，，
所以
，
而
，
考虑到当时，能被整除，
也能被整除，
所以除以的余数等于除以的余数，
而，
所以除以的余数等于．
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