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河北省部分校2026届高三上学期一轮复习阶段性检测（10月月考）
数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设为虚数单位，若复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则“”是“”的( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4.若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
5.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.已知中，，，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象与直线相交，相邻两个交点之间的距离的最小值为，则函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数下列结论正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 当时，只有一个零点
D. 的图象上存在两对关于原点对称的点
10.若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是( )
A. 角一定为锐角 B.
C. D. 的最大值为
11.在中，，，为所在平面内的动点，且，若，则下列结论正确的是( )
A. 长度的取值范围为
B. 若，则，
C. 的最大值为
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“，的否定为 ．
13.已知向量，，其中，若，则的最大值为 ．
14.已知函数，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，满足，，且．
求与的夹角
求
若，求的值．
16.本小题分
已知函数
求的最小正周期和单调递增区间
当时，关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知定义在上的函数满足，当时，．
求的值，并判断的奇偶性
证明：
证明：函数在上单调递增．
18.本小题分
已知函数．
讨论的零点个数
若存在两个极值点，，证明：当时，
19.本小题分
某社区外有一块三角形空地，记为，内角，，的对边分别为，，，若，，且，，成等差数列．
求的余弦值
在边上取一点，将修成荷花池，将修成花园，满足，现过的中点修一条社区公路用于车辆进出社区，其中，点在边上，点在边上，为桥梁，造价为万元米，为公路，造价为万元米，问：当为何值时，社区公路造价最低并求出最低造价．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，，，与的夹角为，
，
，
故．
，
故．
，
，
，
．
16.解：
，
故的最小正周期．
令，，得，，
所以的单调增区间为，，
当时，，
令，
易知函数在上单调递增，，
函数在上单调递减，
当时，函数的图象与直线有两个交点，
即关于的方程有两个不等实根，
也即关于的方程有两个不等实根，此时，
故实数的取值范围是．
17.解：令，，代入函数方程得：
，即，化简得，故。
令，代入函数方程得：
，因，故。
将替换为，得，即。
结合上述两式：，两边除以，得，
故是定义在上的奇函数。
由函数方程，得。
令，，代入函数方程得：
，即。
将代入左边，化简得：
，
故，两边除以，得。
将视为，结合待证结论，若成立，则。
代入，得：
。
将其代入，得：
，故结论成立。
构造辅助函数，由的结论，两边除以得：
，即。
由是奇函数，得，故是偶函数。
当时，且，故。
任取，令，则。由，得：
。
因，故，因此，即在上单调递增。
任取，令，。由，得：
因是偶函数，，。
因，在上单调递增，故。又，
故：。
因此，即，故在上单调递增。
18.解：．
若，则，只有一个零点．
若，当和时，，单调递增
当时，，单调递减．
当时，，又因为，
所以在时有一个零点，当时，，无零点，
综上，当时，有一个零点．
若，则，单调递增，当时，，
当时，，所以有一个零点．
若，当和时，，单调递增
当时，，单调递减．
当时，，又因为，
所以在时有一个零点，
当时，，无零点，
所以当时，有一个零点．
综上，有一个零点．
由知，当时，有两个极值点和，不妨设，，
则问题等价于证明当时，，即，
令，则，，
则，令，
则，令，
则，令，则，
当时，，则单调递减，，
则单调递减，则，则，则单调递减，
当时，，
由洛必达法则，，
则综上，，得证．
19.解：因为，，成等差数列，，
所以，得，
由，得，
故，得，
故或，
当时，，又因为，
故，，
得，，不满足，，成等差数列，舍去
当时，得，
即，解得或，
当时，舍去
当时，，此时．
由知，，．
因为，所以，故BD，．
易知，得，
所以，则．
在中，由余弦定理知，则，
则，
．
设，则，其中为锐角，
当点与点重合时，最小，记为，
连接，易知，
则，则，
在中，由正弦定理可得，故．
当点与点重合时，最大，记为，因为，故．
在中，由正弦定理可得，同理，，
设社区公路造价为万元，则，
令，则，
，由得，
所以，即，
所以，
易知函数在上单调递增，所以，
所以，此时，即，也即．
综上，当时，社区公路造价最低，最低造价为万元．
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