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河南省光山县第二高级中学2026届高三上学期第一次段测考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，集合，且，则( )
A. B. C. D.
2.不等式对于恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.下列选项正确的是( )
A. 若，则的最小值是
B. 若，则的最小值为
C. 若，则的最小值为
D. 若正实数满足，则的最小值为
4.已知函数，若存在，使，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知表示中的较小值，若，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第 项．
A. B. C. D.
7.函数的值域为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上单调递增，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正实数、满足，则下列说法正确的有( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.已知数列的通项公式为，前项积为，则下列说法正确的是( )
A. 在数列中，是最大项 B. 在数列中，是最小项
C. 数列单调递减 D. 使取得最小值的为
11.设定义在上的函数与的导函数分别为和，且，，且的图像关于点对称，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数，则曲线在点处的切线的斜率为 ．
13.已知，，，则的最小值为 ．
14.已知函数，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设命题实数满足，其中，命题实数满足．
若，且均为真命题，求实数的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
设数列满足．
证明：数列为等差数列；
给定正整数，设函数，求．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求在处的切线方程．
讨论函数的单调性；
若对恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
定义在上的函数满足下面三个条件：对任意正数，，都有；当时，；
求和的值；
试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
若对任意，恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
对于函数在其定义域内存在实数，使成立，则称是的一个不动点．已知函数．
当时，求函数的不动点；
当时，若函数有两个不动点为，且，求实数的取值范围：
若函数的不动点为，且对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：由，
当时，，
即为真命题时，
实数的取值范围是．
又为真命题时，
实数的取值范围是，
所以，当均为真命题时，
有解得，
所以实数的取值范围是．
是的充分不必要条件，
即且．
设或，
或，
则
所以且，即．
所以实数的取值范围是．

16.解：证明：在数列中，，
，
即
是以为首项，为公差的等差数列．
由知数列是首项为，公差为的等差数列．
，即，
在中，，
，
，
当且时，
，
，
当时，
．

17.解：当时，，
所以，，
所以，即切线斜率为
所以在处的切线方程为．
解：因为，，
所以，令得，
所以当，即时，在区间恒成立，函数在上单调递减；
当，即时，时，，时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
解：因为对恒成立，
所以对恒成立，
所以对恒成立，即对恒成立，
设，则在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
所以对恒成立，即对恒成立，
设，则，
所以在上恒成立，故函数在上单调递增，
所以，所以，
因为，所以，即实数的取值范围为

18.解：令有，得．
令有，又，得．
又令，得．
证明：任取且，
则，
因且，则，得，
则，故函数在上是减函数．
由知，则由可得．
由以及的定义域为可得．
由知函数在上是减函数，则由可得．
因，，则．
要使任意，恒成立，
只需，其中．
令，任取且，
则，
因且，则，，，
则，故在上单调递增，则，
得．
综上的取值范围是．

19.解：函数的不动点即为的实数根，
当时，问题转化为方程的实数根，解得或，
所以函数的不动点为和；
由题意可得方程有两个不相等的实数根，
即有两个不相等的实数根，且，
设，
令，解得，
所以实数的取值范围为；
由题意可知，为方程即的两根，
则，解得，
从而，
因为对任意，总存在，使得成立，即，
由题可知的值域是值域的子集，
因为在上是减函数，则，
即的值域为，
因为且，
当时，，不合题意舍，
当时，在上是增函数，则，
因为，则，解得，
当时，在上是减函数，则，
因为，则，解得，
故的取值范围是或．

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