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第八章　圆
一、选择题(每题4分，共32分)
1．平面内，已知⊙O的半径是8 cm，线段OP＝7 cm，则点P(　　)
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定
2．如图，点A，B，C，D在⊙O上，则图中一定与∠ABC相等的角是(　　)
A．∠BAD B．∠ACD C．∠BCD D．∠ADC
(第2题)　　(第3题)
3．如图，点B，C，D在⊙A上，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为(　　)
A．68° B．78° C．88° D．98°
4.(真实情境)如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5 cm，瓶内液体的最大深度CD＝2 cm，则截面圆中弦AB的长为(　　)
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
(第4题)　　(第5题)
5.(跨学科·地理)如图，A地位于北纬40°(即∠AOC＝40°)，东经116°，B地位于北纬15°(即∠BOC＝15°)，东经116°.设地球的半径约为R km，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为(　　)
A.πR km B.πR km C.πR km D.πR km
6．如图，AB与⊙O相切于点B，OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连接CD，若∠A＝20°，则∠DCO的度数为(　　)
A．20° B．35° C．40° D．70°
7.(新考法)我们将一个三角形内切圆的半径r与外接圆的半径R的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形的底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为(　　)
A. B. C. D.
8．如图，在边长为4的正六边形ABCDEF中，先以点B为圆心，AB的长为半径作，再以点A为圆心，AB的长为半径作交于点P，则图中阴影部分的面积为(　　)
A．4 ＋
B．2
C．2 ＋
D．4
二、填空题(每题4分，共16分)
9．若圆锥的底面半径为2，母线长为3，则该圆锥的侧面积为________.
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140°，那么∠CDE＝________°.
11．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B两点，若∠P＝40°，则弦AB所对圆周角的度数是________.
(第11题)　　　　(第12题)
12.(数学文化)《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，在⊙O中，M是的中点，MN⊥AB于点N.“会圆术”给出的弧长l的近似计算公式：l＝AB＋.当⊙O的半径为5，sin∠AOB＝时，则的弧长l的近似值为________.
三、解答题(共32分)
13．如图，AB为⊙O的直径，AD，BE是⊙O的弦，延长AD，BE交于点C，连接BD，DE.(14分)
(1)若DE平分∠BDC，求∠ABE的度数；
(2)若E为的中点，CD＝2，CE＝，求⊙O的半径．
14．如图，AB为⊙O的直径，点C，D为⊙O上异于A，B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC，AD.(18分)
(1)若∠ABD＝2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为，tan∠BDC＝，求AC的长．
第八章　圆
一、1.C　2.D　3.C　4.C　5.C　6.B　7.B　8.D
二、9.6π　10.70　11.70°或110°
12．9－2 　点拨：如图，过点A作AH⊥OB于点H，连接OM，
∵在Rt△AOH中，sin∠AOB＝＝，OA＝5，
∴AH＝4，∴OH＝＝3，
∴BH＝OB－OH＝2，
∴AB＝＝2 .
∵M是的中点，
∴OM⊥AB，
∵MN⊥AB，
∴O，N，M三点共线，
∴AN＝AB＝，
∴ON＝＝2 ，
∴MN＝OM－ON＝5－2 ，
∴l＝AB＋＝2 ＋＝9－2 .
三、13.解：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°.
∵DE平分∠BDC，∴∠EDB＝45°，
∴∠ADE＝∠ADB＋∠BDE＝90°＋45°＝135°.
∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠ABE＝180°－∠ADE＝180°－135°＝45°.
(2)如图，连接OE，
∵E为的中点，
∴＝，∴DE＝BE，OE⊥BD.
又∵AD⊥BD，∴OE∥AD，
∴＝.
∵OA＝OB，∴BE＝CE＝，
∴DE＝BE＝，BC＝CE＋BE＝2 .
∵∠ABE＝180°－∠ADE＝∠CDE，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA，∴＝，
∴＝，∴AB＝3，
∴OB＝，即⊙O的半径为.
14．(1)证明：如图，连接OC，则∠COB＝2∠OAC.
∵∠BDC＝∠OAC，∠ABD＝2∠BDC，
∴∠COB＝∠ABD，∴OC∥DE.
∵CE⊥DB，∴OC⊥CE.
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
(2)解：如图，连接BC，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴tan∠BAC＝tan∠BDC＝.
∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴＝.
∴可设BC＝x，则AC＝2x，∴AB＝x.
∵⊙O的半径为，∴x＝2 ，
∴x＝2，∴AC＝2x＝4.第八章　圆(提升)
时间：45分钟　满分：80分
一、选择题(每题4分，共32分)
1．已知⊙O的半径为3，则⊙O中最长的弦的长为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
2．如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝34°，则∠OAC等于(　　)
A．68° B．58° C．72° D．56°
(第2题)　　(第3题)
3．如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么(　　)
A.>2
B.<2
C.＝2
D.与2的大小无法比较
4．如图，已知点M(0，－3)，N(0，－9)，半径为5的⊙A经过M，N，则点A的坐标为(　　)
A．(－5，－6) B．(4，－6) C．(－6，－4) D．(－4，－6)
(第4题)　　(第5题)
5．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为18，面积为9，则⊙O的半径是(　　)
A．1 B. C．1.5 D．2
6.(新考法)半圆的直径AB在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上，且＝2，连接AC，取AC的中点D，连接BD，则图中阴影部分的面积为(　　)
A. B. C. D.
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝90°，DC＝BC，直线EA与⊙O相切于点A.若∠BCD＝128°，则∠DAE的度数为(　　)
A．52° B．54° C．64° D．74°
(第7题)　　　(第8题)
8．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是矩形ABCD内一动点，且∠BPC＝90°，连接AP，PD，则△APD面积的最小值为(　　)
A. B．3 C．2 D．5
二、填空题(每题4分，共16分)
9.(真实情境)如图，已知某一条传送带转动轮的半径为20 cm，如果该转动轮转动了一周后又转过60°，那么传送带上的物体A被传送的距离为(物体A始终在传送带上)________cm.
(第9题)　　　(第10题)
10．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在格点上，⊙O是△ABC的外接圆，则sin∠BAC的值是________.
11．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，对角线AE，BF交于点G，若⊙O的半径为，则FG的长为______.
(第11题)　　(第12题)
12.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆，交BC于点D，延长CA交圆于点E，连接DE，交AB于点F.若AF∶BF＝1∶4，则的值为________.
三、解答题(共32分)
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，BF是⊙A的切线，连接EF，DF.
(1)求证：EF∥AB；
(2)若⊙A的半径为2，当四边形ADFE为菱形时，BF的长为______．(14分)
14.(推理能力)已知△ABC内接于⊙O，AC为直径，在CA的延长线上取一点E，使得AE＝AB，连接BE，在AE下方，作∠AFE＝∠BCA，连接CF交⊙O于点D，连接BD.(18分)
(1)如图①，若∠BDC＝∠AEF.
①求证：AF是⊙O的切线；
②若tan∠AEF＝2，则cos∠ACD的值为________；
(2)如图②，若AF＝EF，2∠CBD＝3∠BCA，试探究BD与EF的数量关系，并说明理由．
　圆(提升)
一、1.B　2.D　3.A　4.D　5.A　6.A　7.C　8.C
二、9.π　10.　11.1　12.
三、13.(1)证明：如图，连接AF.
∵BF是⊙A的切线，∴AF⊥BF，
∴∠AFB＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ABF中，
∵AC＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABF，
∴∠CAB＝∠FAB.
∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE.
∵∠CAF＝∠CAB＋∠FAB＝∠AEF＋∠AFE，
∴2∠CAB＝2∠AEF，∴∠CAB＝∠AEF，
∴EF∥AB.
(2)2
14．(1)①证明：∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，∴∠BCA＋∠CAB＝90°.
∵＝，∴∠CAB＝∠BDC.
∵∠BDC＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAB.
∵∠AFE＝∠BCA，
∴∠AEF＋∠AFE＝∠CAB＋∠BCA＝90°，
∴∠FAE＝90°，∴AF⊥OA.
又∵OA是半径，∴AF是⊙O的切线．
②
(2)解：BD＝EF.理由如下：
如图，在⊙O上取一点G，使得GB＝GA.
∵＝，∴∠BGA＝∠BCA＝∠AFE.
设∠BCA＝∠BGA＝∠AFE＝2α.
∵AF＝EF，BG＝AG，
∴∠GBA＝∠GAB＝90°－α，∠FAE＝∠AEF＝90°－α，
∴∠GBA＝∠GAB＝∠FAE＝∠AEF，
∠CBG＝∠CBA－∠GBA＝α.
∵AE＝AB，∴△ABG≌△AEF，
∴AG＝BG＝AF＝EF.
∵2∠CBD＝3∠BCA，∴∠CBD＝3α，
∴∠GBD＝∠CBD－∠CBG＝2α＝∠BGA，
∴易知＝，∴＋＝＋，即＝，
∴AG＝BD，∴BD＝EF.

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