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课时2 平行线的性质
7.3 平行线的证明
1.掌握平行线的性质定理，会证明“两直线平行，内错角相等（或同旁内角互补）”；了解平行于同一条直线的两条直线平行.
2.了解性质定理与判定定理的联系，感受互逆的思维过程.
同位角相等， 两直线平行；
内错角相等， 两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行．
条件
结论
思考 如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角又各有什么关系呢？
请叙述平行线的三种判定方法的内容，并指出它们的条件和结论.
c
a
b
1
2
我们曾用度量的方法探索：两直线平行，同位角相等.
探究1：如图，直线a∥b，测量同位角∠1和∠2的大小，它们有什么关系？
60°
60°
∠1=∠2
猜想：两条平行线被第三条直线所截得的同位角_____.
相等
问题1：再任意画一条截线 d，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？
a
b
d
图形的性质并不都是通过测量得出的；往往缺乏说服力.
a
b
d
问题2：如果两直线不平行，上述猜想还成立吗？
验证猜想：
已知：如图，直线AB//CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2.
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH,使∠EMH=∠2，如图所示.
A
B
C
D
F
M
N
1
2
G
H
E
根据“同位角相等，两直线平行”可知GH//CD.
又因为AB//CD,这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.
归纳
性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
符号语言：
∵a∥b（已知），
∴ ∠1=∠2
（两直线平行，同位角相等）.
a
b
c
2
1
练习1 如图，直线a∥b，直线c与a，b相交.若∠1=60°，则∠2的度数为______.
120°
3
直线a∥b
∠3=∠1=60°
∠2+∠3=180°
∠2=120°
分析：
探究2：前面我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”.类似地，你能由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？
同位角
内错角
转化为
a
b
c
2
1
a
b
c
2
1
3
∠1与∠3是对顶角
问题：如图，已知 a∥b，那么 2 与 3 相等吗？为什么？
解：∵ a∥b，(已知)
∴∠1=∠2.(两直线平行，同位角相等)
又∵ ∠1=∠3，(对顶角相等)
∴ ∠2=∠3.(等量代换)
a
b
c
2
1
3
归纳
性质2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
符号语言：
∵a∥b（已知），
∴ ∠1=∠2
（两直线平行，内错角相等）.
a
b
c
2
1
练习2 如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD.若∠EFD=70°，则∠EGF的度数是_____.
35°
AB∥CD
∠EGF=∠GFD
FG平分∠EFD
∠EFD=2∠GFD
∠GFD=35°
∠EGF=35°
分析：
探究3：类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角之间的数量关系？
同位角
同旁内角
转化为
a
b
c
2
1
a
b
c
2
1
4
∠1与∠4是邻补角
问题：如图，已知 a∥b，那么 2 与 4 有什么关系呢？为什么？
解: ∵a//b ，(已知)
∴ 1= 2.(两直线平行，同位角相等)
∵ 1+ 4=180°，(邻补角的性质)
∴ 2+ 4=180°.(等量代换)
a
b
c
2
1
4
归纳
性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
符号语言：
∵a∥b（已知），
∴ ∠1+∠2=180°
（两直线平行，同旁内角互补）.
a
b
c
2
1
练习3 如图，直线l1∥l2，l3∥l4.若∠1=70°，则∠2的度数是_____.
110°
直线l3∥l4
∠2=∠3
直线l1∥l2
∠1+∠3=180°
∠3=110°
∠2=110°
3
分析：
平行线的判定和性质的联系和区别
角的数量关系
线的位置关系
判定
性质
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
条件
结论
结论
条件
判定
性质
例：已知：如图所示，直线a∥b，a∥c，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角.
求证：b∥c.
a
c
d
1
2
b
3
证明：∵ b∥a(已知)，
∴∠2=∠1( 两直线平行，同位角相等).
∵c∥a(已知)，
∴∠3=∠1( 两直线平行，同位角相等).
∴∠2=∠3(等量代换).
∴b∥c(同位角相等，两直线平行).
归纳
性质4 平行于同一条直线的两条直线平行.
符号语言：
如图，b∥a，c∥a（已知），
∴ b∥c
（平行于同一条直线的两条直线平行）.
a
c
d
1
2
b
3
回顾·反思：
（1）回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？
（2）对于证明思路的分析，你积累了哪些经验？
(1) 弄清题设和结论；
(2) 根据题意画出相应的图形；
(3) 根据题设和结论写出已知，求证；
(4) 分析证明思路，写出证明过程.
证明一个命题的一般步骤：
命题证明
的一般步骤
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
平行于同一条直线的两条直线平行
平行线的性质
1. 根据题意，画出图形
2. 根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证
3. 用数学符号和数学语言写出证明过程.
1.如图，CD//AB，点 O 在 AB 上，OE 平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=110°，则∠AOF 的度数是（ ）
A.20° B.25° C.30° D.35°
D
2.如图，如果∠1=∠3，∠2= 60°，那么，∠4的度数为（ ）
A.60° B.100°
C.120° D.130°
C
3.如图，AB//CD，∠ABD 的平分线与∠BDC 的平分线交于点 E，则∠1+∠2= .
90°
4.如图，在 ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC//ED，CE是∠ACB的平分线，则∠EDF=∠BDF，请说明理由.
解：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴DF//EC .
∴∠BDF=∠1， ∠EDF=∠3.
∵ED//AC， ∴∠3=∠2 ，∴∠EDF=∠2.
又CE平分∠ACB ，∴∠1=∠2 ，
∴∠BDF=∠EDF.

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