资源简介

7.3 平行线的证明
课时2 平行线的性质
1.掌握平行线的性质定理，会运用两条直线是平行关系判断角相等或互补.
2.了解性质定理和判定定理的联系，初步感受互逆的思维过程.
根据右图，填空：
① 如果∠1＝∠C，
　那么 ∥ .（ 　　　　　 　 ）
② 如果∠1＝∠B ，
那么 ∥ .（ 　　 　　 　 ）
③ 如果∠2＋∠B＝180°，
　那么 ∥ .（ 　　 ）
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
AB
CD
EC
BD
EC
BD
问题：平行线的判定方法有哪些？
1.同位角相等
2.内错角相等
3.同旁内角互补
两直线平行
1.同位角？
2.内错角？
3.同旁内角？
思考：反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系？
知识点1：平行线的性质定理1
问题1：你能作出相关的图形吗？
证明：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
A
C
E
2
1
B
F
D
M
N
已知：如图，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2.
问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
A
C
E
2
1
B
F
D
M
N
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？
A
C
E
2
1
B
F
D
M
N
G
H
已知：如图，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2.
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过M点作直线GH，使∠EMH =∠2，如图所示.
已知：如图，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2.
又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD.
A
C
E
2
1
B
F
D
M
N
G
H
反证法
提出与结论相反的假设
将假设作为条件，通过推论导出矛盾
假设不成立，从而肯定原命题成立
问题3：你能说说证明的思路吗？
定理 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
①文字简述：两直线平行，同位角相等.
②符号语言：
如图，AB∥CD（已知），
∴∠1=∠2
（两直线平行，同位角相等）.
A
C
E
2
1
B
F
D
M
N
已知：如图，直线 l1∥l2，∠1和∠2是直线 l1 ， l2 被直线 l 截出的内错角.
求证：∠1=∠2.
l1
l2
l
1
2
3
证明：∵ l1∥l2（已知），
∴ ∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）.
∴ ∠1=∠2（等量代换）.
又∵ ∠2=∠3（对顶角相等），
知识点2：平行线的性质定理2
定理 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
①文字简述：两直线平行，内错角相等.
②符号语言：
如图，l1∥l2（已知），
∴∠1=∠2
（两直线平行，内错角相等）.
l1
l2
l
1
2
已知：如图，直线a∥ b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角.
求证：∠1+∠2=180°.
证明：∵ a∥ b(已知)，
∴ ∠2=∠3(两直线平行，同位角相等).
又∵ ∠1+∠3=180°(平角的定义)，
∴ ∠1+∠2=180°(等量代换).
知识点3：平行线的性质定理3
b
3
2
a
c
1
定理 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
①文字简述：两直线平行，同旁内角互补.
②符号语言：
如图，l1∥l2（已知），
∴∠1+∠2=180°
（两直线平行，同旁内角互补）.
b
2
a
c
1
角的数量关系
线的位置关系
判定
性质
平行线的判定定理与性质定理互为逆命题
问题：平行线的性质定理与判定定理在条件和结论方面有什么关系?
平行线的性质是判断两个角相等或互补的依据；
而平行线的判定是说明两直线平行的依据.
例 如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线 d 截出的同位角. 求证：b∥c.
a
c
d
1
2
b
3
证明：∵b∥a（已知），
∴∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∵c∥a（已知），
∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2=∠3（等量代换）.
∴b∥c（同位角相等，两直线平行）.
知识点4：平行线的性质定理4
定理 平行于同一条直线的两条直线平行.
②符号语言：
如图，b∥a，c∥a（已知），
∴ b∥c
（平行于同一条直线的两条直线平行）.
a
c
b
证明命题的一般步骤：
①弄清题设和结论；
②根据题意画出相应的图形；
③根据题设和结论写出已知、求证；
④分析证明思路，写出证明过程.
平行线的性质
性质定理
命题证明步骤
根据题意画出图形
根据题意写出已知及求证
写出证明过程
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
平行于同一条直线的两条直线平行
1.如图所示是一条街道的路线图，若 AB//CD ，BC//DE ，且 ∠ABC=130? ，那么 ∠CDE 的度数为( )
?
B
A. 40? B. 50?
C. 70? D. 130?
?
2.如图，已知直线 DE 经过点 A ， ∠1=∠B ， ∠2=50? ，则 ∠3 的度数为( )
?
A
A. 50? B. 40?
C. 130? D. 80?
?
3.如图，在四边形 ABCD 中， AD//BC ，∠A=110? ，则 ∠B= ____ ?? .
?
70
4.如图, AB//CD , ∠1=58? , FG 平分 ∠EFD ,则 ∠FGB 的度数是_ ____
?
151°
5.如图， AB//CF ， DE//CF ， ∠2=40? ， ∠D=30? ，求 ∠1 与 ∠B 的度数.
?
解： ∵DE//CF ,
∴∠1=∠D=30? .
∴∠FCB=∠1+∠2=70? .
∵AB//CF ,
∴∠B+∠FCB=180? .
∴∠B=110? .
?
6.如图，已知 ∠MBA+∠BAC+∠NCA=360? .
?
（1）试说明： MD//NE ；
?
解：如图,过 A 作 AF//MD .
?
∴∠MBA+∠BAF=180? .
又 ∵∠MBA+∠BAC+∠NCA=360? ，
∴∠FAC+∠NCA=180? ，
∴AF//NE ，
∴MD//NE .
?
（2）若 ∠ABD=70? ， ∠ACE=36? ， BP ， CP 分别平分 ∠ABD ， ∠ACE ，求 ∠BPC 的度数.
?
如图，过 P 作 PQ//MD.
∵BP 和 CP 分别平分 ∠ABD ， ∠ACE ，
∴∠DBP=12∠DBA=12×70?=35? ，
∠ECP=12∠ACE=12×36?=18? . ∵PQ//MD ，
∴∠DBP=∠BPQ=35? . ∵MD//NE ， PQ//MD ， ∴PQ//NE ，
∴∠QPC=∠PCE=18? ， ∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=53? .

展开更多......

收起↑