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7.3 平行线的证明
课时2 平行线的性质
第七章 证明
1.理解并掌握平行线的性质公理和定理．
2.能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明．
1.前面我们探索过哪些平行线的性质？
定理 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
简述为：两直线平行，同位角相等.
定理 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等
简述为：两直线平行，内错角相等.
定理 两条平行直线被第三条直线所截 ,同旁内角互补
简述为：两直线平行，同旁内角互补.
在上一节课中，我们证明了有关平行线的判定定理，那么对于平行线的性质，又怎么证明呢?能运用上节课积累的方法进行证明吗?今天这节课我们一起再来试一试证明它们.
首先，你会证明它吗？
定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
已知：如图，直线AB//CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2.
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过M点作直线GH，使∠EMH =∠2，如图所示.
根据“同位角相等，两直线平行”可知GH∥CD.
又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.
本过程体现了反证法解决问题的应用.
A
B
C
D
F
M
N
1
2
G
H
E
性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
简称：两直线平行，同位角相等．
表达方式：
如图，因为a∥b，(已知)
所以∠1＝∠2.(两直线平行，同位角相等)
利用“两直线平行，同位角相等”证明：
定理 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等
分析：这是一个文字证明题，同理需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.
已知：直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1、l2被直线l截出的内错角，
求证：∠1=∠2.
l1
l2
l
1
2
证明：∵l1∥l2 （已知），
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）.
又∵∠2=∠3（对顶角相等），
∴∠1=∠2（等量代换）.
已知：直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1、l2被直线l截出的内错角，
求证：∠1=∠2.
l1
l2
l
1
2
3
分析：由条件l1∥l2可以得到哪些角的等量关系，这些等量关系中的角与∠1，∠2有什么联系?
性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
简称：两直线平行，内错角相等．
表达方式：
如图，因为a∥b (已知) ，
所以∠1＝∠2 (两直线平行，内错角相等) .
要点：两直线平行是前提，只有在这个前提下 才有内错角相等.
利用“两直线平行，同位角相等”证明：
定理 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补
已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角.
求证： ∠1+∠2=180°.
1
2
b
c
a
已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角.
求证： ∠1+∠2=180°.
1
2
b
c
3
a
证明：∵a ∥b （已知），
∴ ∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）.
∵ ∠2与∠3互补，
∴ ∠2+∠3= 180°（互补的定义）.
∴ ∠3=180°-∠2（等式的性质）.
∴ ∠1= 180°-∠2（等量代换）.
∴ ∠1 + ∠2= 180°（等式的性质）.
∴ ∠1与∠2互补.
性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简称：两直线平行，同旁内角互补．
表达方式：
如图，因为a∥b，(已知)
所以∠1+∠2=180°
(两直线平行，同旁内角互补)
联系：平行线的判定和性质反映了角的数量关系和直线的位置关系之间的相互转换.
区别：
平行线的判定以两直线平行为结论，是由数量关系得到位置关系；
平行线的性质以两直线平行为条件，是由位置关系得到数量关系.
平行线的判定和性质的区别和联系
例 已知：如图所示，直线a∥b，a∥c，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角.
求证：b∥c.
证明：∵ b∥a(已知)，
∴∠2=∠1( 两直线平行，同位角相等).
∵c∥a(已知)，
∴∠3=∠1( 两直线平行，同位角相等).
∴∠2=∠3(等量代换).
∴b∥c(同位角相等，两直线平行).
性质4：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
简称：平行于同一条直线的两条直线平行．
表达方式：
∵a∥b， a∥c （已知）
∴ b∥c
（平行于同一条直线的两条直线平行）
(1) 回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节?
回顾·反思
命题证明的一般步骤：
(1) 根据题意，画出图形；
(2) 根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证；
(3) 经过分析，找出由已知推出求证的途径，然后用数学符号和数学语言有条理地写出证明过程.
(1) 从已知条件入手，综合分析探索解题途径(由因导果法)；
(2) 从结论出发，用倒推来寻求证题的思路(执果索因法)；
(3) 综合运用以上两种方法(因果夹击法)
(2) 对于证明思路的分析，你积累了哪些经验?
回顾·反思
定理1：
定理2：
定理3：
定理4：
平行线的性质：
两直线平行，同位角相等.
两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补.
平行于同一条直线的两条直线平行.
1.如图，直线AC∥BD，AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么∠BAO与∠ABO一定(　　)
A．互余　　
B．相等　　
C．互补　　
D．不相等
A 　
2.如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是(　　)
A．20°　　
B．25°　　
C．30°　　
D．35°
D
3. 如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AD∥BE.
证明：因为AB∥CD，所以∠4＝∠BAE.
因为∠3＝∠4，所以∠3＝∠BAE.
因为∠1＝∠2，
所以∠CAE＋∠1＝∠CAE＋∠2，
即∠BAE＝∠DAC，
所以∠3＝∠DAC，
所以AD∥BE.
4. 求证：两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的平分线互相平行.
已知：如图，AB∥ CD，EF分别交AB，CD于点G，H，GK平分∠EGB，HL平分∠GHD.
求证：GK∥ HL.
证明：∵ AB∥ CD(已知)，
∴ ∠EGB=∠GHD(两直线平行，同位角相等).
∵ GK平分∠EGB，HL平分∠GHD(已知)，
∴ ∠EGK=12∠EGB，∠GHL=12∠GHD(角平分线的定义)，
∴ ∠EGK=∠GHL(等量代换)，
∴ GK∥ HL(同位角相等，两直线平行).

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