资源简介

课时1 平行线的判定
7.3 平行线的证明
1.通过实例，初步了解证明的基本步骤和书写格式.
2.会根据基本事实“同位角相等，两直线平行”来证明“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”，并能简单应用这些结论．
请找出图中的平行线！它们为什么平行?
思考：你还记得如何用三角尺和直尺画平行线的方法.
(1) 放
(2) 靠
(3) 推
(4) 画
a
b
问题1：画图过程中，三角尺起着什么作用？
问题2：直线 a，b 位置关系如何？
a∥b
保持∠1与∠2 相等
a
b
1
2
公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等,那么这两条直线平行.
几何语言：
1
2
l2
l1
A
B
（已知）,
（同位角相等，两直线平行）.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
∵∠1=∠2
∴l1∥l2
练习1：如图，已知直线AB，CD 被直线EF 所截，∠1+∠2 =180°，AB与CD平行吗？请说明理由.
导引：找出一对同位角，利用“同位角相等，两直线平行”证明.
解：AB∥CD. 理由如下：
∵∠1+∠2=180°（已知），
∠2+∠3=180°（邻补角的定义），
∴∠1= ∠3（同角的补角相等）.
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等互补，那么这两条直线平行．
探究1：利用“同位角相等，两条直线平行”这个基本事实(公理)，试证明：
已知：如图，∠1 和∠2 是直线 a、b 被直线 c 截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a∥b.
a
b
3
2
1
c
解：∵∠1 = ∠2 (已知条件)，
∠1 = ∠3(对顶角相等)，
∴∠2 = ∠3(等量代换).
∴ a∥b (同位角相等，两直线平行).
已知：如图，∠1 和∠2 是直线 a、b 被直线 c 截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a∥b.
a
b
3
2
1
c
定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
几何语言：
简单说成：内错角相等，两直线平行.
∵∠1 =∠2(已知)，
∴ a∥b (内错角相等，两直线平行).
a
b
3
2
1
c
练习2：如图，已知AB，CD与直线EF分别相交于点B，C，且∠ABE＝∠DCF.
求证：AB∥CD.
证明：∵∠ABC＋∠ABE
＝∠DCB＋∠DCF＝180°(邻补角的定义)，
∠ABE＝∠DCF(已知)，
∴∠ABC＝∠DCB(等角的补角相等)，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
探究2：利用“同位角相等，两条直线平行”这个基本事实(公理)，试证明：
已知：如图，∠1 和∠2 是直线 a、b 被直线 c 截出的同旁内角，且∠1 与∠2 互补.
求证：a∥b.
a
b
3
2
1
c
已知：如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补.求证：a∥b
证明：∵∠1与∠2互补 (已知),
∴∠1+∠2=180°(互补的定义).
∴∠1= 180°-∠2(等式的性质).
又∵∠3+∠2=180° (平角的定义),
∴∠3= 180°-∠2(等式的性质).
∴∠1=∠3(等量代换).
∴ a∥b(同位角相等,两直线平行).
a
b
3
2
1
c
还有其他证法吗？
∵∠2+∠3=180°(补角的定义)，
∴ ∠1=∠3(同角的补角相等).
∴ a∥b(内错角相等，两直线平行).
a
b
3
2
1
c
证明：∵∠1 与∠2 互补 (已知)，
∴ ∠1 +∠2 = 180° (互补的定义)，
方法二
已知：如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补.求证：a∥b
定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
几何语言：
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
∵∠1 +∠2 = 180°(已知)，
∴ a∥b (同旁内角互补，两直线平行).
a
b
3
2
1
c
练习3：如图所示，一个合格的弯形管道经两次拐弯后,如果∠C＝68°,∠B＝112°,则AB与CD的位置关系是 ，理由是 ．
平行
同旁内角互补，两直线平行
证明一个命题的一般步骤：
(1)弄清条件和结论；
(2)根据题意画出相应的图形；
(3)根据题设和结论写出已知，求证；
(4)分析证明思路，写出证明过程.
已给的公理，定义和定理以后都可以作为依据，用来证明新的命题.
总结归纳
目前学到的平行线的判定定理有哪些？
2. 内错角相等，两直线平行.
3. 同旁内角互补，两直线平行.
1. 同位角相等，两直线平行.
已给定的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明新的结论.
1. 如图，在四边形ABCD中，连接BD，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为_____________________________________________________
_________________________________.(任意添加一个符合题意的条件即可)
∠A＋∠ABC＝180°
或∠C＋∠ADC＝180°
或∠CBD＝∠ADB
或∠C＝∠CDE(答案不唯一)　
证明：因为BE⊥DE，
所以∠BED＝90°，
所以∠1＋∠2＝90°.
因为∠A＋∠1＋∠B＝180°，
∠C＋∠2＋∠D＝180°，
∠1＝∠B，∠2＝∠D，
所以∠A＋∠C＝180°，所以AB∥CD.
2. 如图，BE⊥DE，∠1＝∠B，∠2＝∠D，求证：AB∥CD.
3. 如图，△ABC中，D，E，F三点分别在AB，AC，BC三边上，过点D的直线与线段EF的交点为点H，请从以下给出三个条件：
① ∠1+∠2=180°；② ∠3=∠C；③ DE∥BC中选取两个为条件，剩下的一个作为结论，并请完成证明．
条件(已知)________________________________；
结论(求证)_____________.
?
① ∠1+∠2=180°，② ∠3=∠C
③ DE∥BC
证明：∵ ∠1是△DEH的外角(已知)，
∴ ∠1=∠3+∠4(外角的性质)；
又∵ ∠1+∠2=180°(已知)，
∴ ∠3+∠4+∠2=180°(等量代换)；
∵ ∠3=∠C(已知)，
∴ ∠C+∠4+∠2=180°(等量代换)，
即∠DEC+∠C=180°，
∴ DE∥BC(同旁内角互补，两直线平行).
?
4. 如图，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝∠30°，∠E＝10°.求证：AB∥EF.
证明：如图，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，
在∠CDE的内部作∠EDN＝10°.
因为∠B＝25°，∠E＝10°，
所以∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN，
所以AB∥CM，EF∥ND.
因为∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，
所以∠DCM＝20°，∠CDN＝20°，所以∠DCM＝∠CDN，
所以CM∥ND，所以AB∥EF.

展开更多......

收起↑