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7.3 平行线的证明
课时1 平行线的判定
1.会依据基本事实“同位角相等，两直线平行”，熟练证明“内错角相等，两直线平行”以及“同旁内角互补，两直线平行”.
2.能将这些结论应用于简单的几何证明，了解证明的基本步骤与规范书写格式.
据说，人类知识的 75% 是在操作中学到的.
小明用下面的方法作出平行线，你认为他的作法对吗？为什么？
同旁内角互补，两直线平行.
同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行.
前面我们探索过直线平行的判别条件，大家回顾一下：两条直线在什么情况下互相平行呢？
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
平行于同一直线的两条直线平行.
同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
平行线的定义
平行线的传递性
九条基本事实之一
？
符号语言：
如图，∵∠1=∠2（已知），
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
a
b
c
2
1
基本事实 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
试证明：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
a
b
c
1
2
已知：∠1 和 ∠2 是直线 a、b 被直线 c 截出的内错角，且 ∠1=∠2.
求证：a∥b.
已知：∠1 和 ∠2 是直线 a、b 被直线 c 截出的内错角，且 ∠1=∠2.
求证：a∥b.
a
b
c
1
2
3
证明：∵ ∠1=∠2（已知），
∠1=∠3（对顶角相等），
∴ ∠2=∠3（等量代换）.
∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）.
定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
①文字简述：内错角相等，两直线平行.
②符号语言：
如图，∵∠1=∠2（已知），
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）.
a
b
c
1
2
证明的基本过程：
条件
基本事实
定义
已证明的定理
结论
依据
推理
试证明：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
已知：∠1 和 ∠2 是直线 a、b被直线 c 截出的同旁内角，且∠1+∠2=180°.
求证：a∥b.
a
b
c
1
2
已知：∠1 和 ∠2 是直线 a、b 被直线 c 截出的同旁内角，且 ∠1+∠2=180°.
求证：a∥b.
证明：∵ ∠1与∠2互补（已知），
∴∠1+∠2=180°（互补的定义）.
∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）.
a
b
c
1
2
3
∴∠1=180°－∠2（等式的性质）.
∵∠3+∠2=180°（平角的定义），
∴∠3=180°－∠2（等式的性质）.
∴∠1=∠3（等量代换）.
还有其他证法吗？
证明：∵ ∠1+∠2=180°（已知），
∠2+∠3=180°（补角的定义），
∴ ∠1=∠3（同角的补角相等）.
∴ a∥b（内错角相等，两直线平行）.
a
b
c
1
2
3
已知：∠1 和 ∠2 是直线 a、b 被直线 c 截出的同旁内角，且 ∠1+∠2=180°.
求证：a∥b.
定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
①文字简述：同旁内角互补，两直线平行.
②符号语言：
如图，∵∠1+∠2=180°（已知），
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.
a
b
c
1
2
已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明新的结论.
（1）我们可以用下图的方法画出平行线，你能说说其中的道理吗？
一、放
二、靠
三、推
四、画
内错角相等，两直线平行
思考·交流
（2）任意撕一张纸片，用它折出两条平行线，并予以证明. 与同伴交流各自的折纸方法与证明过程.
平行线的判定方法
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}文字简述
符号语言
图示
同位角相等
两直线平行
∵________（已知），∴a∥b
内错角相等
两直线平行
∵________（已知），∴a∥b
同旁内角互补
两直线平行
∵______________（已知），∴a∥b
∠1=∠2
∠3=∠2
∠2+∠4=180°
1.下列图形中，由 ∠1=∠2 能得到 AB//CD 的是( )
?
B
A.&1& B.&2&


C.&3& D.&4&
2.如图,直线 a , b 与 c 相交，给出下列条件：其中能判定 a//b 的是( )
?
B
①∠1=∠2 ; ②∠5=∠6 ;
③∠4+∠7=?180? ; ④∠5+∠3=180? .
A.①②③④ B.①③④ C.①③ D.②④
?
3.如图，工人师傅在工程施工中，需建造一个类似“ U ”形的管道 ABCD ，使其拐角 ∠ABC=150? ， ∠BCD=30? ，则( )
?
C
A. AB//BC B. BC//CD
C. AB//DC D. AB 与 CD 相交
?
4.如图为同一平面上五条直线 l1 ， l2 ， l3 ， l4 ， l5 相交的情形，根据图中标示的角度，判断下列叙述，其中正确的是( )
?
A. l1 和 l3 平行， l2 和 l3 平行
B. l1 和 l3 平行， l2 和 l3 不平行
C. l1 和 l3 不平行， l2 和 l3 平行
D. l1 和 l3 不平行， l2 和 l3 不平行
?
C
5.如图,木棒 AB , CD 与 EF 分别在 G , H 处用可旋转的螺丝铆住, ∠EGB=100? , ∠EHD=80? ,将木棒 AB 绕点 G 逆时针旋转到与木棒 CD 平行的位置,则至少要旋转_ ____.
?
20?
?
6.如图， ∠B=25? ， ∠D=42? ， ∠BCD=67? ，试判断 AB 和 ED 的位置关系，并说明理由.
?
解： AB//ED .理由：如图，过 C 作 CF//AB .
?
∵∠B=25? ，
∴∠BCF=∠B=25? ，
∴∠DCF=∠BCD?∠BCF=42? .
又 ∵∠D=42? , ∴∠DCF=∠D ，
∴CF//ED ， ∴AB//ED .

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