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7.3 平行线的证明
课时1 平行线的判定
第七章 证明
1.会用“同位角相等，两直线平行”证明“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”的正确性．
2.会用平行线的三个判定定理解决问题．
如图，直线AB、CD被直线EF所截，图中哪些角是同位角？哪些角是内错角？哪些角是同旁内角？（写出其中一组即可）
N
B
A
M
D
C
F
E
∠EMB与∠END是同位角.
∠AMN与∠DNM是内错角.
∠AMN与∠CNM是同旁内角.
小明采用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？
解：小明的作法对.
理由：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
a
b
平行线的判定定理1：
定理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简述为：同位角相等，两直线平行．
a
b
c
1
2
符号语言：
因为∠1=∠2（已知），
所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）.
我们曾探索过两条直线平行的判别条件，利用“同位角相等，两条直线平行”这个基本事实(公理)，你能证明它们吗？试一试.
平行线的判定定理
定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简述为：内错角相等，两直线平行.
定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简述为：同旁内角互补，两直线平行.
定理证明：“内错角相等，两直线平行”
已知:如图,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角,且∠1=∠2.
求证:a∥b.
证明：∵∠1=∠2(已知)，∠1=∠3(对顶角相等)，
∴∠3=∠2(等量代换).
∴a∥b(同位角相等，两直线平行).
3
在证明前，先把命题的文字语言转化为几何图形和符号语言，根据题意转换成如下形式：
平行线的判定定理2：
定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简述为：内错角相等，两直线平行．
符号语言：
因为∠1=∠2（已知），
所以 a∥b（内错角相等，两直线平行）.
1.如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∠1=∠2. 求证:DC∥AB.
证明：∵BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的平分线(已知),
∴∠CDE=12∠ADC，∠2=12∠ABC(角平分线的定义).
?
又∵∠ABC=∠ADC(已知)，
∴∠CDE=∠2(等式的性质).
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠CDE(等量代换)，
∴DC∥AB(内错角相等,两直线平行).
定理证明：“同旁内角互补,两直线平行”
已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补. 求证:a∥b.
证明:如图，∵∠1与∠2互补(已知),
∴∠1+∠2=180°(互补的定义).
∴∠1=180°-∠2(等式的性质).
∵∠3+∠2=180°(平角的定义),
∴∠3=180°-∠2(等式的性质).
∴∠1=∠3(等量代换).
∴a∥b(同位角相等,两直线平行).
3
你还有其他证明方法吗？
平行线的判定定理3：
定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简述为：同旁内角互补，两直线平行．
符号语言：
因为∠1+∠3=180°（已知），
所以 a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.
2.如图，BC平分∠ABD交ED于点C，且∠1+∠2=180°.
求证:AB∥ED.
证明:∵BC平分∠ABD(已知),
∴∠ABC=∠2(角平分线的定义).
∵∠1+∠2=180°(已知)，
∠1=∠BCE(对顶角相等),
∴∠ABC+∠BCE=180°(等量代换),
∴AB∥ED(同旁内角互补,两直线平行).
（1）已给定的基本事实，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明新的结论.
（2）证明中的每一步推理都要有根据（已知条件、定义、公理、已证定理），不能“想当然”.
(1) 我们可以用下图的方法画出平行线，你能说说其中的道理吗?
思考·交流
1
2
依据：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
如图所示，将不规则四边形纸片OMPN折叠，使O落在O′处，折痕分别交MO，NO于点A，C，再进行折叠，分别使AM与直线AO′，CN与直线CO′重合，折痕分别交MP于点B，交PN于点D，即得到AB∥ CD.
(2) 任意撕一张纸片，用它折出两条平行线，并予以证明.
思考·交流
思考·交流
证明：由折叠可以得到∠1=∠2，∠3=∠4.
∵ ∠1+∠2+∠3+∠4=180°.
∴ 2(∠2+∠3)=180°，即∠BAC=∠2+∠3=90°.
同理可得∠ACD=90°.
∵ ∠BAC+∠ACD=90°+90°=180°.
∴ AB∥ CD.
(2) 任意撕一张纸片，用它折出两条平行线，并予以证明.
基本事实：同位角相等，两直线平行
平行线的判定
判定定理
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
① ∵ ∠1 =_____（已知）
∴ AB∥CE( )
② ∵ ∠1 +∠5 =180o（已知）
∴ _____∥_____( )
③ ∵ ∠4 +_____=180o（已知）
∴ CE∥AB( )
1.根据条件完成填空
∠2
AB
CE
∠3
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
2.已知：如图，a⊥c，b⊥c，求证a∥b.
证明：∵a⊥c，b⊥c（已知），
∴∠1=90°，∠2=90°（垂直的定义），
∴∠1=∠2（等量代换），
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
1
2
3.已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，CD平分∠ACB，∠DCB=40°，∠AED=80°.求证：DE∥BC .
A
D
E
B
C
证明：∵CD平分∠ACB（已知）
∴∠ACB=2∠DCB=80°
（角平分线的定义）
∵∠AED=80°（已知）
∴∠ACB=∠AED（等量代换）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
4.如图, BE 平分 ∠ABD , DE 平分 ∠BDC ,且 ∠1+∠2=90? .
求证: AB//CD .
?
证明：∵BE平分∠ABD，DE 平分∠BDC（已知），
∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2（角平分线定义）.
∵∠1+∠2=90? ，
∴∠ABD+∠BDC=2∠1+∠2=180? ，
∴AB//CD （同旁内角互补，两直线平行）.

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