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第七章 证明
7.2.2 定理与证明
1.了解公理、定理与证明的概念.
2.体会命题证明的必要性，体验数学思维的严谨性.
1.相等的角是对顶角
2.对顶角相等
说出下列两个命题的条件和结论，并判断下列两个命题的真假，说说你的理由.
举反例就可以说明命题是假命题，那么如何证实命题是真命题呢
能不能根据已经知道的真命题证实呢
在证明一个观点或结论正确时，人们常常是通过“因为A正确，所以B正确”来证明.
同学们是否想过，A正确又是因为什么？源头在哪里？如何确定证明的起点？
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古希腊数学家欧几里得编写了一本书，书名为《原本》. 为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据.
1.原名：
2.公理：
3.证明：
4.定理：
某些数学名词称为原名.
公认的真命题称为公理.
演绎推理的过程称为证明.
经过证明的真命题称为定理.
不需要证明 公理=基本事实
除公理外，其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实.
在几何证明中，有哪些内容可以作为证明的依据呢？
①定义 ②定理 ③图形的性质
④反映大小关系的有关性质
⑤数与式的运算律和运算法则
九条基本事实（公理）
1.两点确定一条直线(直线公理)
A
B
2.两点之间线段最短(线段公理)
A
B
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
P
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(简述：同位角相等，两直线平行).
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
P
l1
l2
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.（SAS）
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.（ASA）
8.三边分别相等的两个三角形全等.（SSS）
另外一条将在后面的学习中认识.
等式和不等式的有关性质都可以作为证明的依据.
在等式中，一个量可以用它相等的量来代替.
数与式的运算律和运算法则都可以作为证明的依据.
例如，如果 a=b，b=c ，那么 a=c ， “等量代换”.
如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c，“不等式的传递性”.
一些条件
定理、公理
推理
证实其他命题的正确性
演绎推理的过程叫作证明
经过证明的真命题叫作定理
定义、命题、基本事实(公理)、定理
联系：都是命题
区别
命题
真命题
假命题
公理
一般举一个反例即可
定理
基本事实是定理推导的起点，无需证明但被广泛接受为真.
定理是命题和基本事实的逻辑延伸，通过证明得到的真命题.
定义是命题、基本事实和定理的基础，明确了它们的讨论范围.
定义
我们探索过的定理
定理：同角（或等角）的补角相等.
定理：同角（或等角）的余角相等.
定理：三角形的任意两边之和大于第三边.
从这些基本事实出发，就可以证明这些已经探索过的结论
例1 证明：同角（或等角）的补角相等
该命题的条件和结论分别是什么？
已知的是什么？要求证的是什么？
（2）已知：∠A＝∠B，∠C，∠D分别是∠A，∠B的补角
求证：∠C＝∠D
（1）已知：∠B和∠C是∠A的补角
求证：∠B=∠C.
如何利用已学知识证明？
证明：∵∠B和∠C是∠A的补角，
∴∠B=180°-∠A，∠C=180°-∠A，
∴∠B=∠C（等量代换），
∴同角的补角相等.
例1 证明：同角（或等角）的补角相等
（1）已知：∠B和∠C是∠A的补角
求证：∠B=∠C.
符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”.
定理
该命题的条件和结论是什么？图形怎样画？
该如何写出已知，求证？请参考上一例题并尝试证明
例2 证明： 对顶角相等
提示：在基本事实和定理中，哪些结论可以判定两个角相等？
已知：如图，直线AB与直线CD相交
于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证： ∠AOC =∠BOD.
可以用定理：同角（或等角）的补角相等证明“对顶角相等”
A
C
O
D
B
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴ ∠AOB与∠COD都是平角（平角的定义）.
∴ ∠AOC与∠BOD都是∠AOD的补角（补角的定义）.
∴ ∠AOC =∠BOD （同角的补角相等）.
例2 证明： 对顶角相等
已知：如图，直线AB与直线CD相交
于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证： ∠AOC =∠BOD.
A
C
O
D
B
定理
证明的一般步骤：
①根据题意，画出图形;
②根据条件和结论，结合图形写出已知和求证;
③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明.
已知：如图，三角形ABC.
求证：AB+BC >AC，AB+AC >BC，BC+AC >AB.
证明：观察图中三角形，若把它的任意两个顶点，如A、C看作定点，则由“两点之间线段最短”，可得AB+BC >AC.同理可得AB+AC >BC，BC+AC >AB.
A
B
C
学以致用
定理与证明
定义
定理
公理
证明
作出明确规定的名词术语的含义
公认的真命题
演绎推理的过程
经过证明的真命题
步骤
(1)由题意作出图形
(2)写出已知和求证
(3)写出证明的过程
1.下列说法正确的是（ ）
A．命题一定是正确的
B．不正确的判断就不是命题
C．真命题都是公理
D．定理都是真命题
D
2.下列真命题能作为基本事实的是(　　)
A．对顶角相等
B．三角形的内角和是180°
C．在同一平面没，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．内错角相等，两直线平行
C
3.下列语句中属于定理的是（ ）
A．在直线AB上取一点E
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．同位角相等
D．同角的补角相等
D
4.根据题意可知，下列说理过程中所依据的基本事实或定理是_______________________．
如图，若∠1＝∠4，则AB∥CD；
若∠2＝∠3，则AD∥BC.
内错角相等，两直线平行
5.如图，点 A，O，B在一条直线上，OC平分∠BOD，OE⊥OC 垂足为点O. 试判断∠AOE与∠DOE的数量关系，并说明理由．
解：∠AOE ＝∠DOE.
理由：如图，∵OE⊥OC， ∴∠1＋∠3＝90 °.
又∠AOB＝180 °， ∴∠2＋∠4＝90 °，
又∠1＝∠2 ， ∴∠3＝∠4，
即∠AOE＝∠DOE.

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