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5.4 角平分线的性质
课时2 角平分线的性质与判定的运用
第5章 直角三角形
1.理解角的平分线的性质及逆定理，并能熟练运用.
2.能够利用角平分线的性质解决实际问题，通过逻辑推理和数学计算，解决与角平分线相关的数学问题.
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角平分线的性质
角平分线的判定
图示
已知
条件
结论
OP 平分∠AOB
PD⊥OA于点 D
PE⊥OB于点 E
PD = PE
PD⊥OA 于点D
PE⊥OB 于点E
PD = PE
OP 平分∠AOB
如图，在△ABC中，D，E，F 分别是 BC，AB，AC 边上的点，若 BE = CF，S△BDE = S△CDF，则点 D 在∠BAC的平分线上吗？
由于S△BDE = S△CDF，BE = CF，所以点 D 到 BE，CF 的距离相等，因而点 D 在 ∠BAC 的平分线上.
如图，已知 EF⊥CD 于点 E ，EF⊥AB 于点 F ，MN ⊥ AC 于点 N ，M 是 EF 的中点.需要添加一个什么条件，就可使 CM ，AM 分别为∠ACD 和 ∠CAB 的平分线呢?
添加条件 MN ＝ ME 即可.
因为 ME⊥CD，MN⊥AC，MN = ME，
所以点 M 在∠ACD 的平分线上，
即 CM 是∠ACD 的平分线.
又 M 是 EF 的中点，则 MF = ME = MN.
同理可证 AM 是∠CAB 的平分线.
反思 添加条件 MN＝MF 可以吗?
思考
例2 如图， 在△ABC的外角∠CAD 的平分线上任取一点P，作 PE⊥DB， PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE + PF 与 PB 的大小关系.
解：因为AP 是∠CAD 的平分线，又PE⊥DB，PF⊥AC，
所以 PE = PF.
在△EBP 中，BE + PE > PB，
因此 BE+ PF > PB.
探究：如图， S 区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点 A，B，C，如果要在△ABC 区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？
A
B
C
分析：到 AB，AC 距离相等的点在∠BAC 的角平分线上，则到 BA，BC 距离相等的点在∠ABC 的角平分线上 ，它们交于一点 P.
P
那么这一点 P 是否到三边的距离都相等呢？
如图. 过点P 作PD ⊥ AB，PE ⊥ AC，PF ⊥ BC，垂足分别为点D，E，F.
因为AP 是∠BAC 的平分线，PD ⊥ AB，PE ⊥AC，
所以PD = PE.
因为BP 是∠ABC 的平分线，PD ⊥ AB，PF ⊥ BC，
所以PD = PF.
故PD = PE = PF，
因此P 为风筝主题公园应建处.
思考：点 P 在∠ACB 的角平分线上吗？
因为PD = PE = PF ，PE⊥AC，PF⊥BC，
所以CP 是∠ACB 的平分线，
故三角形三个角的角平分线经过点P .
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
如图，O 是△ABC 内一点，且点 O 到三边 AB，AC，BC 的距离相等，即 OF = OE = OD，若∠BAC = 100°，则∠BOC 的度数是( )
A. 140° B. 130°
C. 120° D. 110°
A
思考：到三角形三边所在直线距离相等的点一共有几个？
4个
P1
P4
P2
P3
三角形三个内角的平分线的交点 P1；
三角形一个内角与另外两个角的外角的平分线的交点 P2，P3，P4.
角平分线的性质与判定
判定
性质
相关结论
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
1. 如图，△ABC 的三边 AB，AC，BC 的长分别是 5，7，9，其三条角平分线将△ABC 分成三个三角形，则 S△OAB : S△OAC : S△OBC =________.
5∶7∶9
B
A
C
O
2. 如图，O 是△ABC 内一点，且点 O 到三边 AB，AC，BC 的距离相等，即 OF = OE = OD，若∠BAC = 100°，则∠BOC 的度数是（ ）
A
A. 140° B. 130°
C. 120° D. 110°
B
A
C
O
D
F
E
3. 如图，点 D 在边 BC 的延长线上，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，过点 E 作 EH⊥BD 于点 H，∠CEH = 62°，∠ACE = 28°.
求证：AE 平分∠CAF.
B
A
C
D
F
E
H
∵ BE 平分∠ABC，∴EM = EH.
∵∠ACE = 28°，∠CEH = 62°，
∴∠HCE = 90° –∠CEH
= 90° – 62° = 28° =∠ACE.
∴ EN = EH.
∴ EM = EN，
∴ AE 平分∠CAF．
证明：如图，过点 E 作 EM⊥BF 于点 M， EN⊥AC 于点 N.
B
A
C
D
F
E
H
N
M
4. 如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．若△ABC 的面积为 70，AB = 16，DE = 5，求 BC 的长．
解：如图，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F.
∵BD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF = DE = 5．
∵S△ABD = 12AB·DE = 12×16×5 = 40，
S△ABC = 70，
∴S△BCD = S△ABC – S△ABD = 70 – 40 = 30．
又S△BCD = 12?BC·DF = 12?BC×5 = 30，∴ BC = 12．
?
C
A
B
D
E
F

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