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5.4 角平分线的性质
课时1 角平分线的性质与判定
第5章 直角三角形
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质及逆定理.
2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.
拿出一个小三角形纸，按照如图所示的步骤，动手折叠.
B
D
A
C
M
②
B
A
M
①
B
D
A
C
M
P
③
观察折叠后的展开图，你发现了什么?
设第一次折痕为BD，第二次折痕为 PE 和 PF，三条折痕相交于点 P，并且点 P 在角平分线 BD上.
B
D
A
C
M
P
E
F
对于任意角的平分线的点P，是否都有这样的结论？
观察折痕与边的关系得到：
PE⊥AB，PF⊥BC，PE = PF.
探究 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······.
C
A
B
O
D1
E1
P1
D2
E2
P2
D3
E3
P3
D4
E4
P4
分别比较 P1D1 与 P1E1、P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3······，你有什么发现？
P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：
一个点在一个角的平分线上.
求证：
这个点到这个角两边的距离相等.
问题：写出上述猜想的已知和求证.
已知：如图，在∠AOB 的平分线 OC 上任取一 点 P，作 PD ⊥ OA， PE ⊥ OB ，垂足分别为点 D， E.
求证：PD = PE.
P
A
O
B
C
D
E
思考
已知：如图，在∠AOB 的平分线 OC 上任取一 点 P，作 PD ⊥ OA， PE ⊥ OB ，垂足分别为点 D， E.
求证：PD = PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：因为PD ⊥ OA于点D，PE ⊥ OB于点E，
所以∠PDO = ∠PEO = 90°.
在△PDO和△PEO中，∠????????????=∠????????????∠????????????=∠????????????????????=????????
所以△PDO ≌ △PEO（角角边）.
因此PD = PE.
?
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
符号语言：
∵OC 是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，
∴PD = PE
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E
P
A
O
B
C
D
E
角平分线的性质定理：
1.判一判：(1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)，所以 BD ＝ CD .
(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
×
B
A
D
C
(2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)，所以 BD ＝CD.
(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
×
B
A
D
C
角平分线的性质定理的逆命题是什么？
条件：一个点在一个角的平分线上.
结论：这个点到这个角两边的距离相等.
逆命题：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
这个命题是否为真命题，应该如何证明呢？
思考
已知：如图，点P 在∠AOB 的内部，作PD⊥OA ，PE⊥OB ，垂足分别为点D，E，且 PD = PE.
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
P
A
O
B
D
E
C
证明：过点O，P作射线OC.
因为PD ⊥ OA，PE ⊥ OB， 所以∠PDO = ∠PEO = 90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中，????????=????????????????=????????
所以Rt△PDO ≌ Rt△PEO（斜边、直角边），从而∠AOC = ∠BOC.
因此OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.
?
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
符号语言：
如图，∵P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE，
∴点 P 在∠AOB 的平分线上，
即 OP 平分∠AOB.
P
A
O
B
C
D
E
位置关系
数量关系
角的平分线的判定定理：
2.如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝5 cm，当PD＝____cm时，点P在∠AOB的平分线上．
5
所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线
角的平分线的性质及判定的关系
点在角的平分线上
角的内部，点到角两边距离相等
性质
判定
角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.
例1 如图，∠BAD = ∠BCD = 90°，∠1 = ∠2. 求证：
（1）点B在∠ADC的平分线上；
（2）BD平分∠ABC.
证明（1）在△ABC中， 因为∠1 = ∠2，所以BA = BC.
又BA ⊥ AD，BC ⊥ CD，
所以点B在∠ADC的平分线上.
（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，????????=????????????????=????????
所以Rt△BAD ≌ Rt△BCD（斜边、直角边）.
因此∠ABD = ∠CBD， 从而BD平分∠ABC.
?
性质定理
添加
辅助线
一个点：
角平分线的性质与判定
二距离：
两相等：
角平分线上的点
点到角两边的距离
两条垂线段相等
判定定理
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
1.如图，点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，则PE=________cm.
6
2.如图，AD 为∠BAC 的平分线，DF⊥AC 于点 F，∠B = 90°，DE = DC，试说明：BE = FC.
解：∵∠B = 90°，∴ BD⊥AB.
∵ AD 为∠BAC 的平分线，且 DF⊥AC，
∴ DB = DF.
在Rt△BDE 和 Rt△FDC 中，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC (HL).
∴BE = FC.
?
DE = DC，
DB = DF，
3.如图所示，点O 在一块直角三角板ABC 上（其中∠C=60?），OM⊥AB于点M ，ON⊥BC于点N.若OM=ON ，求∠BOM 的度数.
?
解：∵∠A=90? ，∠C=60? ，
∴∠ABC=30? .
∵ON⊥BC，OM⊥AB，OM=ON，
∴BO是∠ABC 的平分线.
∴∠ABO=12∠ABC=15? .
∴∠BOM=90??∠ABO=75? .
?
解：∵ AB＝10，BC＝ 8，AC ＝ 6，∴????????2=????????2+????????2，∴AC⊥BC，
又∵DE⊥AB，BD 平分∠ABC，∴DE=DC，
∴AD+DE=AD+DC=AC=6
在 Rt△CDB 和 Rt△EDB 中， ???????? = ???????????????? = ????????
∴Rt△CDB≌Rt△EDB(斜边，直角边)，
∴BE ＝ BC ＝ 8. ∴ AE＝AB - BE = 2.
∴△AED的周长 = AE + AD+DE = 2 + 6 = 8.
?
E
D
C
B
A
4.如图，在 Rt△ABC 中，BD 平分∠ABC，DE⊥AB 于 E，若 AB＝10，BC＝ 8，AC ＝ 6，求△AED 的周长.

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