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5.3 直角三角形全等的判定
第5章 直角三角形
1.?掌握判定直角三角形的全等的“斜边、直角边”定理.
2. 能够熟练地利用这个定理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等.
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员需要知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量，你能帮工作人员想个办法吗？
如图，Rt△ABC中，∠C =90°，直角边是_____、_____，斜边是______.
C
B
A
AC
BC
AB
【思考】前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？
A
B
C
A′
B′
C′
1.若测得AC= A′C′，∠A=∠A′，则可以用_______判断△ABC≌△A′B′C′；
2.若测得AC=A′C′，∠C=∠ C′，则可以用_______判断△ABC≌△A′B′C′ ；
?
角角边
角角边
3.若测得AB= A′B′，∠A=∠A′， ∠B=∠B′则可以用_______判断△ABC≌△A′B′C′；
4.若测得AC=A′C′，∠A=∠ A′， AB= A′B′则可以用_______判断△ABC≌△A′B′C′ .
?
角边角
边角边
如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？
?
A
B
C
D
E
F
证明三角形全等不存在边边角定理.
如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？
?
A
B
C
D
E
F
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'， AC=A'C'.
在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC2?= AB2?- AC2?，
同理，在Rt△A'B'C'中，B'C' 2?= A'B' 2?- A'C' 2?.
由于AB = A'B'，AC = A'C'，
因此BC2?= B'C' 2?，从而BC = B'C'.
在△ABC与△A'B'C'中，????????=????′????′????????=????′????′AC=????′????′
因此△ABC ≌ △A'B'C'（边边边）.
?
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
在Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，
A′B′ = AB，
BC = B′C′，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (斜边、直角边).
?
几何语言：
“斜边、直角边”判定定理：
C
A
B
C'
A'
B'
注意：“斜边、直角边”是判定直角三角形全等的特有方法，两个“△”前要加“Rt”.
例1 如图，BD，CE 是△ABC 的高，且BE = CD.
求证：Rt△BEC ≌ Rt△CDB.
?
证明：因为BD，CE是△ABC的高，
所以∠BEC = ∠CDB = 90°.
在Rt△BEC和Rt△CDB中
????????=????????????????=????????
所以Rt△BEC ≌ Rt△CDB（斜边、直角边）.
?
A
B
C
E
D
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角 ∠B 和 ∠F 的大小有什么关系？
解：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
BC = EF，
AC = DF，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (斜边、直角边).
?
∴∠B = ∠DEF
∵ ∠DEF +∠F = 90°，
∴∠B +∠F = 90°.
例2 已知一直角边和斜边作直角三角形.
如图，已知线段a，c（c> a）求作 Rt△ABC，使得斜边 AB = c，一条直角边BC = a.
作法 (1) 作∠MCN= 90°.
(2)在CN上截取CB，使CB=a.
(3)以点B为圆心，以c为半径画弧，交CM于点A，连接AB.
则△ABC为所求作的直角三角形，如图所示.
A
M
C
B
N
内容
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.（斜边、直角边）
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）
直角三角形全等的判定
1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
A.两条直角边对应相等
B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
D
2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4， 则 CH的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
A
3. 如图，AB⊥CD，垂足为 O，添加下列一组条件后，不能判定 Rt△AOC ≌ Rt△BOD 的是（ ）
A. AC = BD，OA = OB
B. OA = OD，∠A =∠B
C. AC = BD，OC = OD
D. AC = BD，AC // BD
?
B
证明：∵ BF ⊥ AC，DE ⊥ AC，
∴∠BFA =∠DEC = 90°.
∵AE = CF，∴AE + EF = CF + EF.
即 AF = CE.
在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中，
A
F
C
E
D
B
4. 如图，AB = CD， BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF.
求证：BF = DE.
AB = CD，
AF = CE，
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL).
?
∴BF = DE.

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